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I. Définitions
Soit
une suite à valeurs dans
ou
. On lui associe une nouvelle suite
en posant
Le couple
est appelé la
série de terme général . On notera
la série
.
Le nombre
est le
-ième terme et le nombre
est la
-ième somme partielle de la série
.
On convient que si la suite
est définie seulement pour
supérieur à un entier
, on pose
, de sorte que
pour
.
L'étude de la
série est l'étude de la
suite . On dira donc que la série
est
convergente si et seulement si la suite
est convergente et on dira que la série
est
divergente si et seulement si la suite
est divergente.
Si la série
est convergente, on appelle
somme de cette série le nombre
et, pour chaque entier
, on appelle
reste de rang de la série le nombre
Il arrive que pour une série convergente, on note
On dit qu'une série
est
absolument convergente si et seulement si la série
est convergente. Une série qui est convergente, mais qui n'est pas absolument convergente, est une série
semi-convergente.
Une série
est à
termes positifs si et seulement si
est un nombre réel positif pour tout
. Une série
alternée est une série
dont tous les termes sont réels et telle que
pour tout
.
Soient
et
deux séries. On appelle
produit de Cauchy de ces séries et on note
la série
où
est défini pour chaque
par
II. Propriétés générales
On ne change pas la nature d'une série si on modifie un nombre
fini de ses termes. Si elle était divergente, elle reste divergente ; si elle était convergente, elle reste convergente, mais sa somme peut changer.
Si
et
sont des séries convergentes et si
et
sont des nombres complexes, alors la série
est convergente et on a
Soient
et
des séries réelles. La série complexe
est convergente si et seulement si les séries
et
sont convergentes.
Si
est une série convergente, alors
.
Critère de Cauchy :
Une série
est convergente si et seulement si
Sommation par tranches :
A une série
on associe une nouvelle série
obtenue en calculant d'abord des sommes de termes consécutifs de la série donnée. Précisément, on se donne une application strictement croissante
et on pose
de sorte que les sommes partielles
de
vérifient
.
Avec ces notations, si la série
converge, alors la série
converge aussi et
. La réciproque est fausse mais on a la proposition suivante :
Si
converge et si
alors
converge et
.
En particulier, si
est un entier supérieur à 2 et si les termes sont groupés
par
, c'est-à-dire si
, on peut affirmer que si
converge et si
, alors
converge et
.
III. Séries à termes positifs
Dans tout ce paragraphe, toutes les séries ont tous leurs termes réels positifs. Si
est une telle série, la suite
de ses sommes partielles est une suite à termes réels positifs qui est croissante. On sait qu'il y a exactement deux possibilités :
la suite
n'est pas bornée, et alors
et la série
est divergente.
la suite
est bornée, et alors elle admet pour limite sa borne supérieure ; dans ce cas la série
est convergente et
.
Principe de comparaison :
Soient
et
deux séries telles que
pour tout
. Alors :
si
diverge,
diverge.
si
converge,
converge et
.
Proposition :
Soient
et
deux séries à termes positifs. On suppose que
pour
tout
. Alors
si
converge et si
, alors
converge.
si
diverge et si
, alors
diverge.
si la suite
a une limite non nulle, alors les deux séries
et
sont de même nature.
Règle de d'Alembert :
Soit
une série à termes strictement positifs telle que la suite
admette une limite
.
Si
, la série converge et si
, la série diverge.
Règle de Cauchy :
Soit
une série à termes strictement positifs telle que la suite
admette une limite
.
Si
, la série converge et si
, la série diverge.
Règle
n un :
Soient
une série à termes positifs et
un nombre réel.
si
et si la suite
a une limite, alors la série
converge.
si
et si la suite
a une limite non nulle ou tend vers
, alors la série
diverge.
Comparaison avec une intégrale :
Soit
une fonction décroissante.
La série
est convergente si et seulement si l'intégrale
est convergente et, lorsque c'est le cas, on a
Sommation par tranches :
Soient
une série à termes positifs,
une fonction strictement croissante et
la série associée en sommant par tranches.
Les séries
et
sont de même nature et, si elles convergent, on a
Remarque :
Dans la mesure ou on peut changer un nombre fini de termes d'une série sans modifier sa nature, les résultats de ce paragraphe, dès lors qu'ils ne concernent que la nature des séries, peuvent s'appliquer si les hypothèses sont vérifiées sauf pour un nombre fini de termes.
IV. Séries absolument convergentes
Si une série
, réelle ou complexe, est absolument convergente, alors elle est convergente et on a
Convergence commutative :
Soient
, une série absolument convergente et
une bijection.
La série
est absolument convergente et l'on a
.
Théorème de Cauchy-Mertens :
Soient
, une série absolument convergente et
une série convergente.
Leur produit de Cauchy
est une série convergente et
. Si
est elle aussi absolument convergente, alors
est absolument convergente.
V. Séries semi-convergentes
Théorème de Leibniz pour les séries alternées :
Soit
une suite positive décroissante qui tend vers 0.
La série alternée
est convergente et, en notant
ses sommes partielles, on a pour tout
Transformation d'Abel :
Soit
, une série dont le terme général est écrit sur la forme
. On note
et
les sommes partielles des séries
et
. On a
Le procédé qui nous fournit cette expression de
est appelé la
transformation d'Abel. On voit donc que si la série
et la suite
sont convergentes, alors la série
converge. Un cas ou ces conditions sont vérifiées est fourni par le
Théorème d'Abel :
Soient
une suite réelle décroissante et
une suite complexe.
Si la suite
des valeurs absolues des sommes partielles de la série
est majorée et si
, alors la série
est convergente.
VI. Exemples et contrexemples
Séries géométriques :
Pour
, on appelle
série géométrique de raison la série
.
si
, la série
diverge.
si
, la série
converge et
.
Séries de Riemann :
Soit
.
Une série de Riemann est une série de la forme
(bien entendu, définie pour
).
La série
converge si et seulement si
.
Pour
, la série
est donc divergente bien que son terme général tende vers 0.
La série
est appelée la série
harmonique.
Par ailleurs, si on note
le terme général d'une série de Riemann, on voit que dans tous les cas
et que
ce qui montre que si le nombre
qui figure dans les règles de d'Alembert et de Cauchy vaut 1, ces règles ne permettent pas d'en déterminer la nature.
Développement décimal :
Considérons une série de la forme
, où
est un entier tel que
et
. Une telle série est convergente, et on a
. On prouve que tout réel
est somme d'une telle série, que l'on appelle un
développement décimal de . S'il existe un entier
tel que
pour
, on dit que le développement est
impropre. Considérons un réel
qui admet un développement impropre
et soit
tel que
et
pour
. Puisque
on a aussi
et
admet un deuxième développement décimal propre (et fini).
Série exponentielle :
Il s'agit de la série
pour
. Cette série est absolument convergente pour chaque
; on pose
et la fonction ainsi définie est appelée l'
exponentielle complexe. On démontre que
, où
est la base du logarithme népérien et que pour
on a
. Ceci justifie l'écriture
pour tout
. Si
et
sont des nombres complexes, en calculant le produit de Cauchy
on voit que
. En particulier, il en résulte que
et par suite que
pour tout
.
Les fonctions trigonométriques, sinus
et cosinus
et les fonctions sinus hyperbolique
et cosinus hyperbolique
sont définies sur
à partir de l'exponentielle par
Si
avec
et
réels, on a
et
.
Remarques sur les règles de d'Alembert et Cauchy :
Soit
une série à termes strictement positifs. On démontre que si la suite
tend vers
, il en est de même pour la suite
. Si, en ayant appliqué la règle de d'Alembert, on se trouve dans le cas
qui ne permet pas de conclure, il est inutile d'essayer la règle de Cauchy. En revanche, si la suite
n'a pas de limite, la règle de Cauchy peut permettre de conclure.
Par exemple, pour la série
définie par
et
, la suite
n'a pas de limite, mais
ce qui montre que cette série converge.
Par ailleurs, dans la mesure où ces deux règles consistent à comparer la série proposée à une série géométrique, on peut en cas de besoin alléger un peu les hypothèses. Par exemple, même si la suite
n'a pas de limite, mais vérifie
pour
supérieur à un
entier
, on a
et le principe de comparaison montre que la série converge.
La série harmonique alternée :
Il s'agit de la série
. C'est une
série alternée semi-convergente (exemple de série qui converge mais pas absolument). On a
Considérons la série
suivante :
qui a les mêmes termes que la série harmonique alternée, mais dans un autre ordre. En groupant ces termes 3 par 3, on obtient une nouvelle série
définie par
C'est une série à termes positifs et, puisque
tend vers
, elle converge, et
. Alors, par sommation par tranches, on voit que
converge et a la même somme que
. On a donc
. Mais
et par suite
. La série harmonique alternée n'est donc pas commutativement convergente.
Un produit de Cauchy de séries convergentes qui est divergent :
Considérons la série
où
. Il s'agit d'une série alternée qui est convergente d'après le théorème de Leibniz, mais qui n'est pas absolument convergente, puisque
. Soit
. On a alors
Pour
on a
et par suite
et, puisque
ne tend pas vers 0, la série
diverge.
Exemple de sommation par tranches d'une série divergente :
Soient
et
les applications
de
dans
définies par
et
. Soit
la série définie par
,
si
et
si
. Les premiers termes de cette série sont
Si on note
les sommes partielles de cette série, on voit que
et
pour tout
. Les sommations par tranches associées aux applications
et
sont donc convergentes et donnent des sommes distinctes. La suite
admettant deux suites extraites de limites différentes, la série
est divergente.
VII. Plan d'étude d'une série
Pour finir, voici un plan et quelques conseils pour étudier une série
.
1. A-t-on
? Si non, la série est divergente. Si oui, elle garde toutes ses chances de
converger.
2. La série est-elle absolument convergente ? On est amené à étudier la série à termes positifs
. En général les tests de d'Alembert, de Cauchy ou des comparaisons permettent de conclure. Si elle est absolument convergente, elle est convergente ; sinon, elle a encore une chance d'être semi-convergente (si elle n'est pas à termes positifs).
3. On essaie d'appliquer le théorème de Leibniz pour une série alternée, ou la transformation d'Abel si Leibniz ne convient pas.
Il se peut qu'aucune de ces méthodes ne permette de conclure. Il faut garder présent à l'esprit que, hormis le critère de Cauchy qui est très malaisé à appliquer, tous les résultats que nous avons mentionnés fournissent des conditions ou bien nécessaires, ou bien suffisantes de convergence, mais pas les deux. Il reste donc toujours quelques cas non couverts (et dans la littérature on trouve bien d'autres tests de convergence).
Il faut aussi comprendre qu'en général on ne sait pas calculer la somme d'une série convergente. L'intérêt des séries est justement le fait que les sommes partielles fournissent des approximations aussi bonnes que l'on désire de la somme que l'on ne connaît pas. L'exemple type est le nombre irrationnel dont on peut calculer la valeur avec une bonne précision en calculant les sommes partielles. Ainsi, la 7-ème somme partielle vaut , et on voit que l'erreur est inférieure à 10-4, donc .