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Séries numériques

I. Définitions

Soit une suite à valeurs dans ou . On lui associe une nouvelle suite en posant Le couple est appelé la série de terme général . On notera la série .
Le nombre est le -ième terme et le nombre est la -ième somme partielle de la série .
On convient que si la suite est définie seulement pour supérieur à un entier , on pose , de sorte que pour .
L'étude de la série est l'étude de la suite . On dira donc que la série est convergente si et seulement si la suite est convergente et on dira que la série est divergente si et seulement si la suite est divergente.
Si la série est convergente, on appelle somme de cette série le nombre et, pour chaque entier , on appelle reste de rang de la série le nombre Il arrive que pour une série convergente, on note On dit qu'une série est absolument convergente si et seulement si la série est convergente. Une série qui est convergente, mais qui n'est pas absolument convergente, est une série semi-convergente.
Une série est à termes positifs si et seulement si est un nombre réel positif pour tout . Une série alternée est une série dont tous les termes sont réels et telle que pour tout .
Soient et deux séries. On appelle produit de Cauchy de ces séries et on note la série où est défini pour chaque par

II. Propriétés générales

On ne change pas la nature d'une série si on modifie un nombre fini de ses termes. Si elle était divergente, elle reste divergente ; si elle était convergente, elle reste convergente, mais sa somme peut changer.

Si et sont des séries convergentes et si et sont des nombres complexes, alors la série est convergente et on a

Soient et des séries réelles. La série complexe est convergente si et seulement si les séries et sont convergentes.

Si est une série convergente, alors .

Sommation par tranches :
A une série on associe une nouvelle série obtenue en calculant d'abord des sommes de termes consécutifs de la série donnée. Précisément, on se donne une application strictement croissante et on pose

de sorte que les sommes partielles de vérifient .
Avec ces notations, si la série converge, alors la série converge aussi et . La réciproque est fausse mais on a la proposition suivante :
Si converge et si alors converge et .
En particulier, si est un entier supérieur à 2 et si les termes sont groupés par , c'est-à-dire si , on peut affirmer que si converge et si , alors converge et .

III. Séries à termes positifs

Dans tout ce paragraphe, toutes les séries ont tous leurs termes réels positifs. Si est une telle série, la suite de ses sommes partielles est une suite à termes réels positifs qui est croissante. On sait qu'il y a exactement deux possibilités :
    la suite n'est pas bornée, et alors et la série est divergente.
    la suite est bornée, et alors elle admet pour limite sa borne supérieure ; dans ce cas la série est convergente et . Remarque :
Dans la mesure ou on peut changer un nombre fini de termes d'une série sans modifier sa nature, les résultats de ce paragraphe, dès lors qu'ils ne concernent que la nature des séries, peuvent s'appliquer si les hypothèses sont vérifiées sauf pour un nombre fini de termes.

IV. Séries absolument convergentes

Si une série , réelle ou complexe, est absolument convergente, alors elle est convergente et on a

V. Séries semi-convergentes

Transformation d'Abel :
Soit , une série dont le terme général est écrit sur la forme . On note et les sommes partielles des séries et . On a

Le procédé qui nous fournit cette expression de est appelé la transformation d'Abel. On voit donc que si la série et la suite sont convergentes, alors la série converge. Un cas ou ces conditions sont vérifiées est fourni par le

VI. Exemples et contrexemples

Séries de Riemann :
Soit .
Une série de Riemann est une série de la forme (bien entendu, définie pour ).
La série converge si et seulement si .
Pour , la série est donc divergente bien que son terme général tende vers 0.
La série est appelée la série harmonique.
Par ailleurs, si on note le terme général d'une série de Riemann, on voit que dans tous les cas et que ce qui montre que si le nombre qui figure dans les règles de d'Alembert et de Cauchy vaut 1, ces règles ne permettent pas d'en déterminer la nature.

Développement décimal :
Considérons une série de la forme , où est un entier tel que et . Une telle série est convergente, et on a . On prouve que tout réel est somme d'une telle série, que l'on appelle un développement décimal de . S'il existe un entier tel que pour , on dit que le développement est impropre. Considérons un réel qui admet un développement impropre et soit tel que et pour . Puisque

on a aussi et admet un deuxième développement décimal propre (et fini).

Série exponentielle :
Il s'agit de la série pour . Cette série est absolument convergente pour chaque ; on pose

et la fonction ainsi définie est appelée l'exponentielle complexe. On démontre que , où est la base du logarithme népérien et que pour on a . Ceci justifie l'écriture pour tout . Si et sont des nombres complexes, en calculant le produit de Cauchy on voit que . En particulier, il en résulte que et par suite que pour tout .
Les fonctions trigonométriques, sinus et cosinus et les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont définies sur à partir de l'exponentielle par Si avec et réels, on a et .

Remarques sur les règles de d'Alembert et Cauchy :
Soit une série à termes strictement positifs. On démontre que si la suite tend vers , il en est de même pour la suite . Si, en ayant appliqué la règle de d'Alembert, on se trouve dans le cas qui ne permet pas de conclure, il est inutile d'essayer la règle de Cauchy. En revanche, si la suite n'a pas de limite, la règle de Cauchy peut permettre de conclure.
Par exemple, pour la série définie par et , la suite n'a pas de limite, mais ce qui montre que cette série converge.
Par ailleurs, dans la mesure où ces deux règles consistent à comparer la série proposée à une série géométrique, on peut en cas de besoin alléger un peu les hypothèses. Par exemple, même si la suite n'a pas de limite, mais vérifie pour supérieur à un entier , on a et le principe de comparaison montre que la série converge.

La série harmonique alternée :
Il s'agit de la série . C'est une série alternée semi-convergente (exemple de série qui converge mais pas absolument). On a

Considérons la série suivante : qui a les mêmes termes que la série harmonique alternée, mais dans un autre ordre. En groupant ces termes 3 par 3, on obtient une nouvelle série définie par
C'est une série à termes positifs et, puisque tend vers , elle converge, et . Alors, par sommation par tranches, on voit que converge et a la même somme que . On a donc . Mais et par suite . La série harmonique alternée n'est donc pas commutativement convergente.

Un produit de Cauchy de séries convergentes qui est divergent :
Considérons la série où . Il s'agit d'une série alternée qui est convergente d'après le théorème de Leibniz, mais qui n'est pas absolument convergente, puisque . Soit . On a alors

Pour on a et par suite et, puisque ne tend pas vers 0, la série diverge.

Exemple de sommation par tranches d'une série divergente :
Soient et les applications de dans définies par et . Soit la série définie par , si et si . Les premiers termes de cette série sont

Si on note les sommes partielles de cette série, on voit que et pour tout . Les sommations par tranches associées aux applications et sont donc convergentes et donnent des sommes distinctes. La suite admettant deux suites extraites de limites différentes, la série est divergente.

VII. Plan d'étude d'une série

Pour finir, voici un plan et quelques conseils pour étudier une série .
1. A-t-on ? Si non, la série est divergente. Si oui, elle garde toutes ses chances de converger.
2. La série est-elle absolument convergente ? On est amené à étudier la série à termes positifs . En général les tests de d'Alembert, de Cauchy ou des comparaisons permettent de conclure. Si elle est absolument convergente, elle est convergente ; sinon, elle a encore une chance d'être semi-convergente (si elle n'est pas à termes positifs).
3. On essaie d'appliquer le théorème de Leibniz pour une série alternée, ou la transformation d'Abel si Leibniz ne convient pas.

Il se peut qu'aucune de ces méthodes ne permette de conclure. Il faut garder présent à l'esprit que, hormis le critère de Cauchy qui est très malaisé à appliquer, tous les résultats que nous avons mentionnés fournissent des conditions ou bien nécessaires, ou bien suffisantes de convergence, mais pas les deux. Il reste donc toujours quelques cas non couverts (et dans la littérature on trouve bien d'autres tests de convergence).

Il faut aussi comprendre qu'en général on ne sait pas calculer la somme d'une série convergente. L'intérêt des séries est justement le fait que les sommes partielles fournissent des approximations aussi bonnes que l'on désire de la somme que l'on ne connaît pas. L'exemple type est le nombre irrationnel dont on peut calculer la valeur avec une bonne précision en calculant les sommes partielles. Ainsi, la 7-ème somme partielle vaut , et on voit que l'erreur est inférieure à 10^-4, donc .

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