Fiche de mathématiques

analyse

Complément sur les Séries de fonctions : Approximations uniformes

$\rm K=\mathbb{R}\ ou\ \mathbb{C}$ .

$[a,b]$ est un segment inclus dans $\mathbb{R} \, (a < b )$ .

$F$ est un espace vectoriel normé.

I. Approximation par des fonctions en escaliers

Définition

Une application $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ est dite en escaliers si et seulement si il existe une subdivision $\sigma=(x_0,\cdots,x_p)$ de $[a,b]$ tq $f$ est constante sur chaque intervalle ouvert $]x_k,x_{k+1}[$ avec $(0\leq k\leq p-1)$

Propriétés

1) Toute fonction en escaliers sur $[a,b]$ est bornée sur $[a,b]$ .
2) Toute combinaison linéaire de fonctions en escaliers sur $[a,b]$ est une fonction en escaliers sur $[a,b]$ .
3) Si $F$ est une $K-$ algèbre normée, le produit de deux fonctions en escaliers sur $[a,b]$ et à valeurs dans $F$ est une fonction en escaliers.
4) La restriction d'une fonction en escaliers sur $[a,b]$ à un segment $[c,d]$ inclus dans $[a,b]$ est une fonction en escaliers sur $[c,d]$ .
5) Si $f:[a,b]\longrightarrow F$ est en escaliers, il en est de même de la fonction : $|f|:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ , $x\longrightarrow |f(x)|$ .

Théorème

Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow F$ continue, est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions en escaliers.

II. Approximation par des fonctions continues par morceaux

Définition

Une application $f:[a,b]\longrightarrow F$ est dite continue par morceaux ssi il existe une subdivision $\sigma=(x_0,\cdots,x_p)$ de $[a,b]$ telle que pour tout $k\in [|0,p+1|]$ on ait:
. $f$ est continue sur $]x_k,x_{k+1}[$ .
. $\lim_{x_k^+}f$ et $\lim_{x_k^-}f$ existent dans $F$ .

Propriétés

1) Si $f:[a,b]\longrightarrow F$ est continue par morceaux, alors elle ne présente sur $[a,b]$ qu'un nombre fini de points de discontinuité (Réciproque est fausse en général).
2) Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow F$ continue par morceaux est bornée sur $[a,b]$ .
3) Toute combinaison linéaire de fonctions continues par morceaux $f,g:[a,b]\longrightarrow F$ est une fonction continue par morceaux.
4) Si $F$ est une $K-$ algèbre normée, le produit de deux fonctions $f,g:[a,b]\longrightarrow F$ continues par morceaux est une fonction continue par morceaux.
5) La restriction d'une fonction $f:[a,b]\longrightarrow F$ continue par morceaux à un segment $[c,d]$ inclus dans $[a,b]$ est une fonction continue par morceaux sur $[c,d]$ .
6) Si $f:[a,b]\longrightarrow F$ est continue par morceaux, il en est de même de la fonction : $||f||:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}$ , $x\longrightarrow ||f(x)||$

Théorème

Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow F$ continue par morceaux est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions en escaliers.

III. Approximation par des fonctions continues et affines par morceaux

Définition

$f:I\longrightarrow F$ est affine ssi $(\exists(A,B)\in F^2)(\forall t\in I)$ : $f(t)=tA+B$

Définition

Une application $f:[a,b]\longrightarrow F$ est dite affine par morceaux ssi il existe une subdivision $\sigma=(x_0,\cdots,x_p)$ de $[a,b]$ telle que $f$ est affine sur chaque $]x_k,x_{k+1}[$ $(0\leq k\leq p-1)$ .

Théorème

Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow F$ continue est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions continues et affines par morceaux.

IV. Approximation polynomiale

Ici $F = K$

Théorème (1er Th. de Weierstrass)

Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow K$ continue est limite uniforme sur $[a,b]$ d'une suite de fonctions polynomiales.

Définition

On appelle polynôme trigonométrique de fonction $f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{C}$ tq :
$\exist n\in\mathbb{C}^*$ , $\exist (c_k)_{-n\leq k\leq n} \in \mathbb{C}$ tq : $\forall x\in \mathbb{R}$ , $f(x)= \displaystyle \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ikx}$

Remarque :
Un polynome trigonométrique s'exprime aussi comme suit :
$f(x)=\dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (a_k cos(kx)+b_k sin(kx))$
Où $(a_k)_{k \in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 0,n \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]} }$ et $(b_k)_{k\in \left[\hspace{-1ex}\left[\hspace{0.5ex} 1,n \hspace{0.5ex} \right]\hspace{-1ex}\right]} }$ sont deux familles de complexes.

Théorème (2ème Th. de Weierstrass)

Toute fonction $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{C}$ continue et $2\pi-$ périodique est limite uniforme sur $\mathbb{R}$ d'une suite de polynomes trigonométriques.

Merci à Panter

pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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