Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Antilles - Guyane - Session Septembre 2008
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes. Chaque réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.
1. La solution de l'équation : est :
a.
b.
c.
d.
2. On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est :
a.
b.
c.
d.
3. Soit la fonction définie sur par . L'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse 2 est :
a.
b.
c.
d.
4. L'ensemble des solutions de l'inéquation : est :
a.
b.
c.
d.
5. Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est :
a.
b.
c.
d.
6. Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points F(3 ; 0) et F'(- 3 ; 0). On considère l'ensemble des points M du plan tels que MF + MF' = 10.
Affirmation 1 : la courbe est
a. une parabole
b. une ellipse
c. une hyperbole
d. un cercle
Affirmation 2 : le point M est un sommet de la courbe
a. le point M (4 ; 0)
b. le point M (2 ; 0)
c. le point M (5 ; 0)
d. le point M (0 ; 5)
Affirmation 3 : une équation cartésienne de la courbe est
a.
b.
c.
d.
12 points
exercice
Soit la fonction définie sur l'intervalle : ]0 ; +[ par
On note sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal d'unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.
Partie A :
1. a) Calculer . Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe ?
b) Calculer .
2. On note la fonction dérivée de la fonction .
Montrer que .
3. a) Étudier, pour tout de l'intervalle ]0 ;+[, le signe de .
b) En déduire le tableau de variations de sur l'intervalle ]0 ; +[.
4. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de seront arrondies à 10-1 près.)
0,1
0,3
0,5
1
2
4
6
8
10
12
0,7
Partie B
1. a) Résoudre dans ]0 ; +[ l'équation . (On vérifiera que s'écrit sous la forme et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à 10-1 près).
b) Interpréter graphiquement cette réponse.
c) Montrer que la fonction est strictement positive sur l'intervalle [1 ; +[.
2. a) Montrer que la fonction définie sur ]0 ; +[ par est une primitive de sur l'intervalle.
b) Calculer l'aire exprimée en cm2 de la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations et .
On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm2.
Les couples de valeurs permettant d'avoir une somme éqale à 5 à l'issue des 2 lancés sont les suivants :
Il y a donc 4 couples qui permettent d'obtenir une somme de 5 sur les 36 issues (couples) possibles, ce qui représente une probabilité de :
3.
Explications :
Une équation d'une tangente à une courbe de fonction en un point d'abscisse est donnée par :
Donc au point d'abscisse , nous avons :
4.
Explications :
5.
Explications :
La classe comporte 24 élèves. Le nombre d'élèves pratiquant au moins l'une des deux activités est égal à :
La probabilité qu'un élève pris au hasard soit pratiquant d'au moins une des deux activités est donc donnée par :
6.
Affirmation 1 :
Affirmation 2 :
Affirmation 3 :
Explications :
1. MF+MF'=10 est la définition bifocale d'une ellipse (ici, vu les foyers, d'axe focal
2. Soit . Alors
3. Procédons par élimination : les propositions b. et d. ne peuvent pas être retenues pour une équation d'ellipse. De plus la proposition a. n'est pas compatible avec le sommet trouvé lors de l'affirmation 2. La réponse juste est donc la réponse c.
EXERCICE 2
Partie A
1-a. Limite de en et interprétation graphique
Quand tend vers , tend vers
b. Limite de en
2. Dérivée
La fonction est dérivable sur comme somme et composée de fonctions dérivables sur .
3-a. Signe de
Le dénominateur de étant strictement positif sur , a le même signe que le numérateur .
Or, pour tout appartenant à , on a et donc .
Donc est strictement croissante sur
b. Tableau de variations
4. Tableau de valeurs :
Partie B
1-a. Résolution de l'équation
On sait que :
Pour tout a et b strictement positifs,
Donc :
b. Interprétation graphique
c. strictement positive sur
On a démontré ci-dessus que la fonction est strictement croissante sur .
Or, on a vu que la fonction s'annule pour , donc :
Donc :
Pour tout
2-a. Primitive
Les fonctions sont toutes deux définies sur et
b. Aire
Sur [1 ; 12], ne prend que des valeurs positives.
Le repère orthogonal ayant comme unités graphiques 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée, on a :
Représentation graphique : (non demandée)
Publié par TP/
le
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Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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