Fiche de mathématiques

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Bac Maroc 2023

Série: SVT-PC et Sciences technologiques

Durée : 3 heures
Coefficient : 7

exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ , on considère les points $A(0,1,4)\text{ , }B(2;1;2)\text{ , }C(2;5;0)\text{ et }\Omega(3;4;4)$ .

1-a) Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right)$ .

b) En déduire l'aire du triangle $ABC$ et la distance $d(B;(AC))$ .

2) Soit $D$ le milieu du segment $[AC]$ .

a) Vérifier que $\overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)$ .

b) En déduire que $d(\Omega;(ABC))=3$ .

3) Soit $(S)$ la sphère d'équation $x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0$ .

a) Déterminer le centre et le rayon de la sphère $(S)$ .

b) Montrer que le plan $(ABC)$ est tangent à la sphère $(S)$ en un point que l'on déterminera.

4) Soient $(Q_1)\text{ et }(Q_2)$ les deux plans parallèles à $(ABC)$ tels que chacun d'eux coupe $(S)$ suivant un cercle de rayon $\sqrt{5}$ .

Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $(Q_1)\text{ et }(Q_2)$ .

exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ , on considère les points $A,B,C\text{ et }D$ d'affixes repsectives $a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\text{ , }b=1+\sqrt{2}+i\text{ , }c=\overline{b}\text{ et }d=2i$ .

1)Écrire le nombre complexe $a$ sous forme trigonométrique.

2-a) Vérifier que $b-d=c$

b) Montrer que $(\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d$ et déduire que les points $A\text{ , }B\text{ et }D$ sont alignés.

3-a) Vérifier que $ac=2b$ .

b) En déduire que $2\arg(b)\equiv \dfrac{\pi}{4} \enskip[2\pi]$ .

4) Soit $R$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ et qui transforme chaque point $M$ du plan d'affixe $z$ en un point $M'$ d'affixe $z'$ .

a) Montrer que $z'=\dfrac{1}{2} a z$ .

b) En déduire que $R(C)=B\text{ et que }R(A)=D$ .

c) Montrer que $\dfrac{b-a}{c-a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a$ , puis déduire une mesure de l'angle $\widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}$ .

exercice 3

Une urne $U_1$ contient six boules portant les nombres : $0\text{ ; }0\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; } 2$ et une urne $U_2$ contient cinq boules portant les nombres $1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }2$ .

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.

On considère l'exprérience aléatoire suivante:

« On tire une boule de l'urne $U_1$ et on note le nombre $a$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $U_2$ , ensuite on tire une boule de l'urne $U_2$ et on note le nombre $b$ qu'elle porte »

On considère les événements suivants:

A: "La boule tirée de l'urne $U_1$ porte le nombre 1"

B: "Le produit $ab$ est égal à $2$ "

1-a) Calculer $P(A)$ ; la probabilité de l'événement $A$ .

b) Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{4}$ (On peut utiliser l'arbre des possibilités)

2) Calculer $P(A/B)$ ; probabilité de l'événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé.

3) Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit $ab$ .

a) Montrer que $p(X=0)=\dfrac{1}{3}$ .

b) Donner la loi de probabilité de $X$ (Remarquer que les valeurs prises par $X$ sont : $0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ et }4$ )

c) On considère les événements:

M: "Le produit $ab$ est pair non nul" et N:" Le produit $ab$ est égal à $1$ " .

Montrer que les événements M et N sont équiprobables.

probleme

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par : $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2$ .

Soit $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ (unité: $1\text{ cm}$ )

1-a) Vérifier que pour tout $x\in]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}$ .

b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0 \text{ et que }\lim_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0 \enskip\text{ (on peut poser } t=\sqrt{x} \text{ )}$ .

c) Déduire que $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ , puis donner une interprétation géométrique du résultat.

d) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ , puis montrer que la courbe $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$ .

2) Montrer que pour tout $x\in ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2}$ .

3) En exploitant le tableau de variation ci-dessous, de la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur $]0;+\infty[$ :

$\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline x & 0 & & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & & \\ \hline &\dbarre & +\infty & & & &f'(\beta) & & \\ f'(x) & \dbarre & &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ &\dbarre & & & 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}}$

(On donne $\beta\approx 4,9$ )

a) Prouver que $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ puis dresser le tableau de variations de $f$ .

b) Donner le tableau de signe de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$ .

c) Déduire la concavité de la courbe $(C_f)$ en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.

4) La courbe $(C_g)$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $g:x\mapsto f(x)-x$ et qui s'annule en $\alpha$ et $1\enskip\text{ (}\alpha\approx 0,3\text{)}$ .

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 1

Soit $(\Delta)$ la droite d'équation $y=x$ .

a) A partir de la courbe $(C_g)$ , déterminer le signe de la fonction $g$ sur $]0;+\infty[$ .

b) Déduire que la droite $(\Delta)$ est en dessous de $(C_f)$ sur l'intervalle $[\alpha;1]$ et au-dessus de $(C_f)$ sur les intervalles $]0;\alpha]$ et $[1;+\infty[$ .

5) Construire la courbe $(C_f)$ et la droite $(\Delta)$ dans le repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ .

$\text{(On prend : }\alpha\approx 0,3\text{ ; }\beta\approx 4,9\text{ et }f(\beta)\approx 1,9 \text{)}$

6-a) Vérifier que la fonction $x\mapsto 2x-x\ln x$ est une primitive de la focntion $x\mapsto 1-\ln x$ sur $[\alpha;1]$ .

b) En utilisant une intégration par parties, montrer que $\displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$ .

c) Déduire en fonction de $\alpha$ l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $(C_f)$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=\alpha\text{ et }x=1$ .

7) Soit la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0\in]\alpha;1[$ et la relation $u_{n+1}=f(u_n)\text{ , pour tout }n\in\N$ .

a) Montrer par récurrence que $\alpha<u_n<1\text{ , pour tout }n\in\N$ .

b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante (on peut utiliser la question 4-b) )

c) En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Voir la correction

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques

exercice 1

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ , on considère les points

$A(0\;;\;1\;;\;4)\text{ , }B(2\;;\;1\;;\;2)\text{ , }C(2\;;\;5\;;\;0)\text{ et }\Omega(3\;;\;4\;;\;4) .$
1. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\B(2\;;\;1\;;\;2)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}2-0\\1-1\\2-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AB}\begin{pmatrix}2\\0\\-2\end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\C(2\;;\;5\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2-0\\5-1\\0-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {AC}\begin{pmatrix}2\\4\\-4\end{pmatrix}}$

$\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}0&4\\-2&-4\end{vmatrix}\vec i-\begin{vmatrix}2&2\\-2&-4\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}2&2\\0&4\end{vmatrix}\vec k \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=(0+8)\vec i-(-8+4)\vec j+(8-0)\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=8\vec i+4\vec j+8\vec k} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k})$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k)} }\,.}$

1. b) Nous devons en déduire l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A}_{ABC} }$ du triangle ${ ABC }$ et la distance $\overset{ { \white{ . } } } { d(B;(AC)). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac12\times||\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}|| \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=\dfrac12\times||4(2\vec i+\vec j+2\vec k)||} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times||2\vec i+\vec j+2\vec k||} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times\sqrt{2^2+1^2+2^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=2\times\sqrt{9}} \\\overset{ { \phantom{ . } } }{\phantom{WWWx}=6}$

$\\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\mathscr{A}_{ABC}=6}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}d(B;(AC))=\dfrac{||\,\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\,||}{||\,\overrightarrow{AC}\,||}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix} \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4(2\vec i+\vec j+2\vec k)\\\overset{ { \white{ . } } } {\overrightarrow {AC}=2\vec i+4\vec j-4\vec k\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.$

${ \white{ xxi } }$ $\text{D'où }\;d(B;(AC))=\dfrac{||\,4(2\vec i+\vec j+2\vec k)\,||}{||\,2\vec i+4\vec j-4\vec k\,||} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;d(B;(AC))}=\dfrac{4\,\sqrt{2^2+1^2+2^2}}{\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\text{D'où }\;d(B;(AC))}=\dfrac{4\,\sqrt{9}}{\sqrt{36}}=\dfrac{4\times3}{6}}=2$

$\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(B;(AC))=2}$

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }$

2. a) Nous devons vérifier que $\overset{ { \white{ . } } } { \overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right). }$

Le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AC]. }$
Nous en déduisons les coordonnées de $\overset{ { \white{ . } } } { D. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}A(0\;;\;1\;;\;4)\\C(2\;;\;5\;;\;0)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad D\left(\dfrac{x_A+x_D}{2}\;;\;\dfrac{y_A+y_D}{2}\;;\;\dfrac{z_A+z_D}{2}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWx}\quad\Longrightarrow\quad D\left(\dfrac{0+2}{2}\;;\;\dfrac{1+5}{2}\;;\;\dfrac{4+0}{2}\right)} \\\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWx}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{D(1\;;\;3\;;\;2)}}$

Dès lors,

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}D(1\;;\;3\;;\;2)\\\Omega(3\;;\;4\;;\;4)\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {D\Omega}\begin{pmatrix}3-1\\4-3\\4-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow {D\Omega}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWxW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow {D\Omega}=2\vec i+\vec j+2\vec k}$

$\\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=4\left(2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac14\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)=2\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)}\,. }$

2. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega;(ABC))=3. }$

Nous avons : $\overrightarrow{D\Omega}=\dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\overrightarrow{D\Omega}\perp\text{plan }(ABC)}\,.$

De plus, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ étant le milieu du segment $\overset{ { \white{ . } } } { [AC], }$ nous en déduisons que le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Dès lors, le point $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ est le projeté orthogonal du point $\overset{ { \white{ _. } } } { \Omega }$ sur le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Par conséquent,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega;(ABC))=D\Omega } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ d(\Omega;(ABC))}=||2\vec i+\vec j+2\vec k|| } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ d(\Omega;(ABC))}=\sqrt{2^2+1^2+2^2} =\sqrt9=3} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{d(\Omega;(ABC))=3}$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ la sphère d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0. }$

3. a) Déterminons le centre et le rayon de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S). }$

Rappelons que la sphère de centre $\overset{ { \white{ . } } } { (a\;;\;b\;;\;c) }$ et de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { R }$ admet une équation cartésienne de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2} }$

Transformons l'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0. }$

$x^2+y^2+z^2-6x-8y-8z+32=0 \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2-6x{\red{\,+\,9}})+(y^2-8y{\red{\,+\,16}})+(z^2-8z{\red{\,+\,16}})+32=0{\red{\,+\,9}}}{\red{+\,16}}{\red{+\,16}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(x-3)^2+(y-4)^2+(z-4)^2=9}}$

D'où le centre de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \Omega(3\;;\;4\;;\;4) }$ et le rayon est $\overset{ { \white{ _. } } } { R=3. }$

3. b) Montrons que le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } {(S) . }$

Nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { d(\Omega\;;\;(ABC))=3 }$ et que le rayon de la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ est également égal à 3.

Il s'ensuit que le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est tangente à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S). }$

De plus nous avons montré dans la question 2. b) que $\overset{ { \white{ . } } } { D\Omega=3 }$ et que le point $\overset{ { \white{ . } } } { D }$ appartient au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$
Dès lors, le plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ est tangent à la sphère $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { D. }$

4. Soient $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) }$ les deux plans parallèles à $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ tels que chacun d'eux coupe $\overset{ { \white{ . } } } { (S) }$ suivant un cercle de rayon $\overset{ { \white{ . } } } { \sqrt5. }$

Nous devons déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) .}$

Nous savons que le vecteur ${ \overrightarrow{D\Omega}\,(2\;;\;1\;;\;2) }$ est normal au plan $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC) }$ .
Dès lors, ${ \overrightarrow{D\Omega} }$ est normal aux plans $\overset{ { \white{ . } } } { Q_1 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { Q_2 }$ parallèles à $\overset{ { \white{ . } } } { (ABC). }$

Par suite, chacun de ces deux plans possède une équation cartésienne de la forme : $\overset{ { \white{ . } } } { 2x+y+2z+d=0. }$

De plus, si nous notons $\overset{ { \white{ . } } } {(Q_i) }$ l'un des deux plans $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_1) }$ ou $\overset{ { \white{ . } } } { (Q_2) ,}$ nous obtenons par Pythagore :

${ \white{ xxi } }$ $(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2\quad\Longleftrightarrow\quad5=9-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2 \\\phantom{(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2}\quad\Longleftrightarrow\quad\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2=4 \\\phantom{(\sqrt5)^2=3^2-\Big(d(\Omega, (Q_i))\Big)^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{d(\Omega, (Q_i))=2}$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,2\times3+1\times4+2\times4+d\,|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,18+d\,|}{\sqrt{9}}=2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|\,18+d\,|}{3}=2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad |\,18+d\,|=6}$

${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad 18+d=6\quad\text{ou}\quad18+d=-6} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{d\Big(\Omega(3;4;4), (Q_i)\Big)=2}\quad\Longleftrightarrow\quad d=-12\quad\text{ou}\quad d=-24} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}(Q_1):2x+y+2z-12=0\\\\ (Q_2):2x+y+2z-24=0\end{matrix}\right.}$

exercice 2

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } { (O;\vec{u};\vec{v}), }$ on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,B,C\text{ et }D }$ d'affixes respectives $\overset{ { \white{ . } } } { a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\text{ , }b=1+\sqrt{2}+\text i\text{ , }c=\overline{b}\text{ et }d=2\text i . }$

1. Nous devons écrire le nombre complexe $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ sous forme trigonométrique.

${ \white{ xxxi } }$ $a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\sqrt{(\sqrt2)^2+(\sqrt2)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longrightarrow\quad |a|=\sqrt{2+2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longrightarrow\quad |a|=2} \\\\\text{D'où }\;a=\sqrt{2}+\text i\sqrt{2}\quad\Longleftrightarrow\quad a=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\;a=\sqrt{2}+i\sqrt{2}}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ a=2\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)}$

2. a) Nous devons vérifier que : $\overset{ { \white{ . } } } { b-d=c. }$

${ \white{ xxxi } }$ $b-d=(1+\sqrt{2}+\text i)-2\text i \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=(1+\sqrt{2})-\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=\overline{(1+\sqrt{2})+\text i}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{b-d}=\overline{b}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{b-d}=c} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{b-d=c}$

2. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } { (\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d. }$

${ \white{ xxxii } }$ $(\sqrt{2}+1)(b-a)=(\sqrt{2}+1)(1+\sqrt2+\text i-\sqrt2-\text i \sqrt2) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=(\sqrt{2}+1)(1+\text i-\text i \sqrt2)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\sqrt{2}+\text i\sqrt2-2\text i+1+\text i-\text i \sqrt2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\sqrt{2}+1-\text i} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=\overline{b}} \\\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=c \\\phantom{(\sqrt{2}+1)(b-a)}=b-d\quad\text{(voir 2. a)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{(\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d}$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { (\sqrt{2}+1)(b-a)=b-d\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{b-d}{b-a}=\sqrt{2}+1\,{\red{\in\R}} }$

Par conséquent, les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\,B }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ sont alignés.

3. a) Nous devons vérifier que ${ ac=2b . }$

${ \white{ xxxii } }$ $ac=(\sqrt2+\text i\sqrt2)(1+\sqrt2-\text i) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}= \sqrt2+2-\text i \sqrt2+\text i\sqrt 2+2\text i+\sqrt 2 } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}=2+ 2\sqrt2+2\text i} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ac}=2(1+ \sqrt2+\text i)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{ac}=2b} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ac=2b}$

3. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { 2\arg(b)\equiv \dfrac{\pi}{4} \enskip[2\pi] . }$

${ \white{ xxxii } }$ $2b=ac\quad\Longrightarrow\quad \arg(2b)\equiv\arg(ac)\;[2\pi] \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad \arg(2)+\arg(b)\equiv\arg(a)+\arg(c)\; [2\pi] } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad 0+\arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}+\arg(\,\overline b\,)\;[2\pi]\quad\text{car }\left\lbrace\begin{matrix}\arg(2)\equiv0\;[2\pi]\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\arg(a)\equiv\frac{\pi}{4}\;[2\pi]}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {c=\overline{b}\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right. } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad \arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}-\arg(b)\;[2\pi] \quad\text{car }\arg(\,\overline b\,)=-\arg(b)\;[2\pi]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{2b=ac}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{ 2\arg(b)\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]} }$

4. Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ la rotation de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { O }$ et d'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\pi}{4} }$ et qui transforme chaque point $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ du plan d'affixe $\overset{ { \white{ . } } } { z }$ en un point $\overset{ { \white{ _. } } } { M' }$ d'affixe $\overset{ { \white{ _. } } } { z'. }$

4. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { z'=\dfrac{1}{2} a z . }$

${ \white{ xxxii } }$ $M'=R(M)\quad\Longleftrightarrow\quad z'-z_O=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}(z-z_O) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'-0=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}(z-0)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\text e^{\text i\frac{\pi}{4}}z} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+\text i \sin\dfrac{\pi}{4}\right)z} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\left(\dfrac{\sqrt 2}{2}+\text i \,\dfrac{\sqrt 2}{2}\right)z} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad z'=\dfrac{1}{2}(\sqrt 2+\text i \,\sqrt 2)z} \\\overset{ {\phantom{ . } } } {\phantom{M'=R(M)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{z'=\dfrac{1}{2}az}}$

4. b) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } {R(C)=B }$ et que $\overset{ { \white{ . } } } {R(A)=D. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous savons que $\overset{ { \white{ _. } } } { 2b=ac. }$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12ac=b. }$
En utilisant l'expression complexe de la rotation $\overset{ { \white{ _. } } } { R }$ démontrée dans la question 4. a), nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{R(C)=B}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Pour démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } {R(A)=D, }$ démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac12aa=d. }$
En effet,

${ \white{ xxxii } }$ $\dfrac12aa=\dfrac12a^2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(\sqrt 2+\text i\sqrt 2\right)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(2+4\text i-2\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac12aa}=\dfrac12\left(4\text i\right)} \\ \phantom{\dfrac12aa}=2\text i \\\phantom{\dfrac12aa}=d \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac12aa=d}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{R(A)=D}\,. }$

4. c) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ . } } } {\dfrac{b-a}{c-a}=\left(\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\right)a , }$ puis en déduire une mesure de l'angle ${ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}. }$

$\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{b-a}{\overline{b}-a} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\sqrt2+\text i-\sqrt2-\text i\sqrt2}{1+\sqrt2-\text i-\sqrt2-\text i\sqrt2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i(1-\sqrt2)}{1-\text i(1+\sqrt2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\Big(1+\text i(1-\sqrt2)\Big){\red{\Big(1+\text i(1+\sqrt2)\Big)}}}{\Big(1-\text i(1+\sqrt2)\Big){\red{\Big(1+\text i(1+\sqrt2)\Big)}}}}$

${ \white{ xxxxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i(1+\sqrt2)+\text i(1-\sqrt2)-(1-\sqrt2)(1+\sqrt2)}{1+(1+\sqrt2)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i+\text i\sqrt2+\text i-\text i\sqrt2-(1-2)}{1+(1+2\sqrt2+2)}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i+\text i\sqrt2+\text i-\text i\sqrt2+1}{4+2\sqrt2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{2+2\text i}{4+2\sqrt2}}$

${ \white{ xxxxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{1+\text i}{2+\sqrt2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(1+\text i){\red{(2-\sqrt2)}}}{(2+\sqrt2){\red{(2-\sqrt2)}}}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(1+\text i){\red{(2-\sqrt2)}}}{4-2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{(2-\sqrt2)}{2}}(1+\text i)$

$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{2}}(1+\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times\sqrt2(1+\text i) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times(\sqrt2+\text i\sqrt2) \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\dfrac{b-a}{c-a}}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}}\times a \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{b-a}{c-a}=\dfrac{\sqrt2-1}{2}\times a}$

Nous devons en déduire une mesure de l'angle ${ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}. }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{\sqrt2-1}{2}>0 }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}\equiv\arg\left( \dfrac{b-a}{c-a}\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\arg\left( \dfrac{\sqrt2-1}{2}\times a\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\left(\arg\left( \dfrac{\sqrt2-1}{2}\right)+\arg( a)\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\left(0+\dfrac{\pi}{4}\right) \;[2\pi] \\\phantom{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}}\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi] \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\text{mes}\ \widehat{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{4}\;[2\pi]}$

exercice 3

Une urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contient six boules portant les nombres : $\overset{ { \white{ . } } } {0\text{ ; }0\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; } 2}$ et une urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ contient cinq boules portant les nombres $\overset{ { \white{ . } } } { 1\text{ ; }1\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }2 . }$

On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher.
On considère l'expérience aléatoire suivante :

''On tire une boule de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et on note le nombre $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ qu'elle porte, puis on la met dans l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2 }$ , ensuite on tire une boule de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2}$ et on note le nombre $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ qu'elle porte.''

On considère les événements suivants:

A : ''La boule tirée de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ porte le nombre 1.''
B : ''Le produit $\overset{ { \white{ _. } } } { ab }$ est égal à 2''

Dressons un arbre pondéré représentant la situation.

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 3

1. a) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(A). }$

L'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ contient 6 boules dont 3 portent le nombre 1.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(A)=\dfrac36=\dfrac12}\,. }$

1. b) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(B). }$

Le produit $\overset{ { \white{ _. } } } { ab }$ égal à 2 peut être obtenu par le calcul $\overset{ { \white{ _. } } } { 1\times2 }$ ou le calcul $\overset{ { \white{ _. } } } { 2\times1 }$ , soit en obtenant 1 au premier tirage et 2 au second tirage ou en obtenant 2 au premier tirage et 1 au second tirage.

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac36\times\dfrac26+\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac{9}{36}=\dfrac14. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{P(B)=\dfrac14}\,. }$

2. Nous devons calculer $\overset{ { \white{ . } } } { P(A/B) }$ , probabilité de l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ sachant que l'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { B }$ est réalisé.

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.}$

Or $\overset{ { \white{ _. } } } { A\cap B }$ est réalisé lorsqu'on tire une boule portant le numéro 1 de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ et une boule portant le numéro 2 de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous obtenons : $\overset{ { \white{ . } } } { P(A\cap B)=\dfrac36\times\dfrac26\quad\Longrightarrow\quad P(A\cap B)=\dfrac16 }$
De plus, nous avons montré que $\overset{ { \white{ . } } } { P(B)=\dfrac14. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } {P(A/B)=\dfrac{\frac16}{\frac14}=\dfrac46. }$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{P(A/B)=\dfrac23} \,.}$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { X }$ la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience, le produit ${ ab. }$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{1}{3} .}$

En nous aidant de l'arbre des probabilités, nous déduisons que le produit $\overset{ { \white{ _. } } } { ab }$ est nul si on tire une boule portant le numéro 0 de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_1 }$ quel que soit le numéro de la boule tirée de l'urne $\overset{ { \white{ . } } } { U_2. }$
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{2}{6},}$ soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ P(X=0)=\dfrac{1}{3}}\, .}$

3. b) Nous devons donner la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

Les valeurs prises par $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ sont : 0, 1, 2 et 4.

La loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ est alors :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=0)=\dfrac13. \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=1)=\dfrac36\times\dfrac46=\dfrac13 \\\\\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=2)=P(B)=\dfrac14 \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}P(X=4)=\dfrac16\times\dfrac36=\dfrac{1}{12}$

Résumons cette loi de probabilité dans le tableau suivant :

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline &&&&&&&&&&&&\\x_i&&0&&&1&&&2&&&4& \\&&&&&&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&\dfrac13&&&\dfrac13&&&\dfrac14&&&\dfrac{1}{12}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. c) On considère les événements :

$\overset{ { \white{ . } } } { M: }$ ''Le produit $\overset{ { \white{ _. } } } { ab }$ est pair non nul'' et $\overset{ { \white{ . } } } { N: }$ ''Le produit $\overset{ { \white{_. } } } { ab }$ est égal à 1''.

Montrons que les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont équiprobables.

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ correspond au cas $\overset{ { \white{ _. } } } { ab=2 }$ ou $\overset{ { \white{ _. } } } { ab=4. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { P(M)=P(X=2)+P(X=4) } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(M)}=\dfrac14+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{4}{12} } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(M)}=\dfrac13 } \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M)=\dfrac13}$

L'événement $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ correspond au cas $\overset{ { \white{ _. } } } { ab=1. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ _. } } } { P(N)=P(X=1) } \\\overset{ { \white{ _. } } } { \phantom{P(N)}=\dfrac13 } \\\\\Longrightarrow\boxed{P(N)=\dfrac13}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(M)=P(N). }$
Par conséquent, les événements $\overset{ { \white{ _. } } } { M }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { N }$ sont équiprobables.

probleme

On considère la fonction numérique $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0;+\infty[ }$ par : $\overset{ { \white{ . } } } { f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 .}$
Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\overset{ { \white{ . } } } {(O;\vec{i};\vec{j}) }$ (unité : 1 cm.)

1. a) Vérifions que pour tout ${x\in\,]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x} . }$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\,]0;+\infty[,}$

${ \white{ xxi } }$ $f(x)=2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x(1-\ln x)^2}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x\Big(1-2\ln x+(\ln x)^2\Big)}{x}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{2x-2+x-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f(x)}=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\quad f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}}$

1. b) Nous devons montrer que $\overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0}$ et que ${\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}=0}$ (on peut poser $\overset{ { \white{ . } } }t=\sqrt{x}}$ ).

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2.}$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { t=\sqrt x\quad\Longleftrightarrow\quad x=t^2. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2=\lim\limits_{t\to 0^+}t^2\,(\ln t^2)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to 0^+}t^2\,(2\ln t)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to 0^+}4\,t^2\,(\ln t)^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times\lim\limits_{t\to 0^+}(t\ln t)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times0\quad(\text{car }\lim\limits_{t\to 0^+}t\ln t=0\enskip-\enskip\text{croissances comparées)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=0}$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ R. } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons ${\lim\limits_{x\to+\infty} \dfrac{(\ln x)^2}{x}.}$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { t=\sqrt x\quad\Longleftrightarrow\quad x=t^2. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{(\ln t^2)^2}{t^2} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{(2\ln t)^2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{4(\ln t)^2}{t^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times\left(\dfrac{\ln t}{t}\right)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=4\times0\quad(\text{car }\lim\limits_{t\to +\infty}\dfrac{\ln t}{t}=0\enskip-\enskip\text{croissances comparées)}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\lim\limits_{x\to 0^+}x\,(\ln x)^2}=0}$
Par conséquent, $\overset{ { \white{ R. } } } {\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0}}$

1. c) Nous devons en déduire que $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty .}$

Nous avons montré que ${ f(x)=\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x} . }$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to 0^+}(3x-2)=-2\phantom{WWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}2x\ln x=0\enskip(\text{croissances comparées})}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to 0^+}x(\ln x)^2=0\enskip(\text{voir 1. b})}\phantom{WWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}(3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2)=-2 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to 0^+}\dfrac{3x-2-2x\ln x + x(\ln x)^2}{x}=-\infty\quad\text{car }\lim\limits_{x\to 0^+}x=0^+$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ R. } } } { \displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty .}$

Conséquence graphique : la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f}$ ) admet une asymptote verticale d'équation $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0. }$

1. d) Nous devons calculer $\overset{ { \white{ R. } } } { \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) }$ , puis montrer que la courbe $\overset{ { \white{ . } } } {(C_f ) }$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty . }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ R. } } } {\lim\limits_{x\to +\infty}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty}\end{matrix}\right.\quad \Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac2x\right)=2\phantom{Ww}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)^2=+\infty}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad \Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\Big(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2\Big)=+\infty$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ R. } } } { \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons ${\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}.}$

$\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x}}{x} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3x-2-2x\ln x+x(\ln x)^2}{x^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3x}{x^2}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2x\ln x}{x^2}-\dfrac{x(\ln x)^2}{x^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{3}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2}{x^2}=0\phantom{WWWWWWWWWWW}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{2\ln x}{x}=0\enskip\text{(croissances comparées)}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{(\ln x)^2}{x}=0\enskip\text{(voir ex. 1.b)}\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right.$

D'où $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{(\ln x)^2}{x}\right)=0$

soit $\boxed{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=0}\,.$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $\overset{ { \white{ . } } } { +\infty . }$

2. Nous devons montrer que pour tout $x\in\, ]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} .$

Pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0;+\infty[\,,}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { f'(x)=\left(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2 \right)'} \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=0+\dfrac{2}{x^2}+2(1-\ln x)'(1-\ln x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2}+2\left(-\dfrac1x\right)(1-\ln x) }$
${ \white{ xxi } }$ $\\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{x^2}-\dfrac2x(1-\ln x) } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2-2x(1-\ln x)}{x^2} } \\ \overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2-2x+2x\ln x}{x^2} } \\ \overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{f'(x)}=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]0\;;\;+\infty[,\enskip f'(x)=\dfrac{2(1-x+x\ln x)}{x^2} }$

3. On donne ci-dessous, le tableau de variation de la fonction dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[\,. }$
${ \white{ xx } }$ (On donne $\overset{ { \white{ . } } } { \beta\approx 4,9) }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0 & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline & +\infty && & &f'(\beta) & & \\ f'(x) & &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ & & & 0 & & & & 0 \\ \hline \end{array}$

3. a) Nous devons prouver que $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ }$ puis dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Selon le tableau de variation de la fonction dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ , nous déduisons que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } {x\in\, ]0;+\infty[\,,f'(x)\ge0.}$
De plus, $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ ne s'annule qu'en 1.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. }$

D'où, le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est le suivant :

${ \white{ WWWWW} } \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&0&&&1&&&+\infty &&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\f'(x)&&+&+&0&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&+\infty\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&1&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. b) Nous devons donner le tableau de signe de la dérivée seconde $\overset{ { \white{ . } } } { f'' }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. }$

À l'aide du tableau de variation de la fonction dérivée $\overset{ { \white{ . } } } { f' }$ , nous pouvons en déduire le tableau de signe de la dérivée seconde $\overset{ { \white{ . } } } { f'' }$ de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]0\;;\;+\infty[ \,. }$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0 & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline & +\infty && & &f'(\beta) & & \\ f'(x) & &\searrow& & \nearrow && \searrow & \\ & & & 0& & & & 0\\ \hline & && & && & \\ f''(x) & &{\red{-}}& {\red{0}}& {\red{+}} &{\red{0}}& {\red{-}}& \\ & & & & & & & \\ \hline \end{array}$

3. c) Nous pouvons en déduire la concavité de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f).}$

$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\x & 0 & & 1 & &\beta & & +\infty \\ & & & & & & & \\ \hline & && & && & \\ f''(x) & &-&0& + &0& -& \\ & & & & & & & \\ \hline & &&| & &|& & \\ \text{Concavité de f} & &\text{concave}&|& \text{convexe} &|& \text{concave}& \\ & & &| & &| & & \\ \hline \end{array}$

4. La courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_g)}$ ci-contre est la représentation graphique de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g:x\mapsto f(x)-x }$ et qui s'annule en $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { 1\enskip(\alpha\approx 0,3). }$

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 5

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x. }$

4. a) A partir de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }$ , nous devons déterminer le signe de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]0;+\infty[. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\le 0}$ car la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }$ est en dessous de l'axe des abscisses sur l'ensemble $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\boxed{\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0}$ car la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_g) }$ est au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {[\alpha\;;\;1]. }$

4. b) Déterminons la position relative de la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ et de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_g). }$

Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,\in\;]0\;;\;+\infty[\enskip g(x)=f(x)-x. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x\ge0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{xx\forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip g(x)\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\ge x}$

D'où la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est en dessous de $\overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { [\alpha\;;\;1]. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x\le0 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{xx\forall\,x\in\;]0\;;\;\alpha]\;\cup \;[1\;;\;+\infty[,\enskip g(x)\ge 0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)\le x}$

D'où la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }$ sur les intervalles $\overset{ { \white{ . } } } { ]0\;;\;\alpha] }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { [1\;;\;+\infty[ .}$

5. Construisons la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\C_f) }$ et la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (\Delta) }$ dans le repère ${ (O;\vec{i};\vec{j}) . }$
Nous prendrons $\overset{ { \white{ . } } } {\alpha\approx0,3\,;\;\beta\approx4,9 }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {f(\beta)\approx 1,9. }$

Bac Maroc 2023 SVT-PC et sciences technologiques : image 4

6. a) Vérifions que la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 1-\ln x}$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {[\alpha;1] . }$

La fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {[\alpha;1] . }$

$\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'=2-\Big(x'\times\ln x+x \times(\ln x)'\Big) \\\phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-\Big(1\times\ln x+x \times\dfrac1x\Big) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-(\ln x+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=2-\ln x-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'}=1-\ln x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,[\alpha\;;\;1]\,,(2x-x\ln x)'=1-\ln x}$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 2x-x\ln x }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ _. } } } { x\mapsto 1-\ln x}$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } {[\alpha;1] . }$

6. b) En utilisant une intégration par parties, montrons que

$\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha . }$
Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x. }$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\displaystyle\int_{\alpha}^{1}u(x)v'(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{\alpha}^{1}- \displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}u'(x)v(x)\,\text{d}x}}. \\ \\ \left\lbrace\begin{matrix}u(x)=(1-\ln x)^2\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=2\times\left(-\dfrac1x\right)\times(1-\ln x)=-\dfrac2x(1-\ln x) \\\\v'(x)=1\phantom{WWW}\quad\Longrightarrow\quad v(x)=x\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors }\;\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}-\displaystyle\int_{\alpha}^{1}-\dfrac2x(1-\ln x)\times x\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}+2\displaystyle\int_{\alpha}^{1}(1-\ln x)\,\text{d}x} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\,(1-\ln x)^2}\right]_{\alpha}^{1}+2\left[\overset{}{2x-x\ln x)}\right]_{\alpha}^{1}\quad(\text{voir ex. 6. a})}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=\Big(1-\alpha(1-\ln\alpha)^2\Big)+2\Big(2-(2\alpha-\alpha\ln\alpha)\Big)}$
$\\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=1-\alpha\Big(1-2\ln\alpha+(\ln\alpha)^2\Big)+4-4\alpha+2\alpha\ln\alpha} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5-\alpha+2\alpha\ln\alpha-\alpha(\ln\alpha)^2-4\alpha+2\alpha\ln\alpha} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5-5\alpha+4\alpha\ln\alpha-\alpha(\ln\alpha)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWW}=5(1-\alpha)+\alpha\ln\alpha(4-\ln\alpha)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle \int_{\alpha}^{1} (1-\ln x)^2 \text{ d}x=5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha . } }$

6. c) Nous avons montré dans la question 4. b) que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip f(x)\ge x. }$
il s'ensuit que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\;[\alpha\;;\;1],\enskip f(x)\ge 0. }$

Dès lors, l'aire $\overset{ { \white{ . } } } {\mathscr{A} }$ de la partie du plan délimitée par la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (C_f)}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $\overset{ { \white{ . } } } { x=\alpha }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {x = 1 }$ est donnée par :

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}f(x)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}\left(2-\dfrac{2}{x}+(1-\ln x)^2\right)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}\left(2-\dfrac{2}{x}\right)\,\text{d}x+\displaystyle\int\limits_{\alpha}^{1}(1-\ln x)^2\right)\,\text{d}x \\\phantom{A}=\left[\overset{}{2x-2\ln x}\right]_{\alpha}^{1}+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha \\\phantom{A}=\left(\overset{}{2-(2\alpha-2\ln\alpha)}\right)+5(1-\alpha)+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha$

${ \white{ xxi } }$ $\\\phantom{A}=2-2\alpha+2\ln\alpha+5-5\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha \\\phantom{A}=7-7\alpha+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{\mathscr{A}=\left[\overset{}{7-7\alpha+2\ln\alpha+\alpha(4-\ln\alpha)\ln\alpha}\right]\;\text{cm}^2 }$

7. Soit la suite numérique $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ définie par $\overset{ { \white{ . } } } { u_0\in\,]\alpha\;;\;1[ }$ et la relation $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n) }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N . }$

7. a) Nous devons montrer par récurrence que $\overset{ { \white{ . } } } { \alpha < u_n<1, }$ pour tout $\overset{ { \white{ _. } } } { n\in\N . }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{\alpha < u_0<1.}$
C'est une évidence car par définition de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n),\; u_0\in\,]\alpha\;;\;1[}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{\alpha < u_n<1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{\alpha < u_{n+1}<1 .}$
En effet, sachant que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } {[\alpha\;;\;1], }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { f(\alpha)<f(u_n)<f(1). }$

D'où,

$f(\alpha)<f(u_n)<f(1)\quad\Longleftrightarrow\quad g(\alpha)+\alpha<f(u_n)<g(1)+1\qquad\text{car }g(x)=f(x)-x \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(\alpha)<f(u_n)<f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0+\alpha<u_{n+1}<0+1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{f(\alpha)<f(u_n)<f(1)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha<u_{n+1}<1}}$
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } {n,\quad \alpha < u_n<1. }$

7. b) Nous devons montrer que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante.

Nous avons montré dans la question 4. b) que $\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in[\alpha\;;\;1],\;f(x)\ge x. }$

Or $\forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { \alpha < u_n<1. }$ (voir question 7. a)

Dès lors, $\forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { f(u_n)\ge u_n, }$

Nous avons ainsi : $\forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } {u_{n+1}\ge u_n. }$

Par conséquent, la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante.

7. c) La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante et majorée par 1.
${ \white{ xxxi } }$ Cette suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est donc convergente.

Nous devons déterminer la limite de la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n). }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est continue sur $\overset{{\white{.}}}{[\alpha\;;\;1]} .$
La suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est définie par la relation de récurrence : $\overset{ { \white{ . } } } { u_{n+1}=f(u_n). }$
Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est convergente vers une limite notée $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{_.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

${ \white{ xxi } }$ $f(\ell)= \ell\quad\Longleftrightarrow\quad f(\ell)- \ell=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad g(\ell)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=\alpha\quad\text{ou}\quad\,\ell=1}$

Nous savons que la suite $\overset{ { \white{ . } } } { (u_n) }$ est croissante.

Par suite, $\forall\,n\in\N,\;\overset{ { \white{ . } } } { u_n\ge u_0. }$
Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\tio+\infty}u_n\ge u_0 }$

Or $\overset{ { \white{ . } } } { u_0\in\,]\alpha\;;\;1[\quad\Longrightarrow\quad u_0>\alpha }$
Nous en déduisons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\tio+\infty}u_n > \alpha }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}\,.}$

Publié par malou/Panter le 15-05-2024

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