Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Sénégal 2023

Séries S1-S1A-S3

Epreuve du 1^er groupe

Durée : 4 heures

Coefficient : 8

4 points

exercice 1

5 points

exercice 2

11 points

probleme

Correction

Bac Sénégal 2023 série S

4 points

exercice 1

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct $\overset{ { \white{ . } } } {(0\;;\;\vec u,\vec v)}$ d'unité graphique 1 cm, on considère les points $\overset{ { \white{ . } } } { A,\;B,\;C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ d'affixes respectives : $\overset{ { \white{ . } } } { z_A=1\;,\;z_B=1-\text i\sqrt 3\;,\;z_C=\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4} }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z_D=4. }$

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ la similitude plane directe qui transforme $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { C }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { D }$ en $\overset{ { \white{ _. } } } { B.}$

1. a) Déterminons les éléments géométriques caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { f .}$

Déterminons d'abord l'expression algébrique de la similitude $\overset{ { \white{ . } } } { f .}$
L'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { z'=az+b. }$

$\left\lbrace\begin{matrix}f(A)=C\\f(D)=B\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C=az_A+b\\z_B=az_D+b\end{matrix}\right. \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=(az_A+b)-(az_D+b)\\z_B=az_D+b\phantom{WWWWWWWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=az_A-az_D\\z_B=az_D+b\phantom{WWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}z_C-z_B=a(z_A-z_D)\\z_B=az_D+b\phantom{WWW}\end{matrix}\right.}$
${ \white{ WWWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_D}=a\\\overset{ { \phantom{ . } } } { z_B=az_D+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\left(\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)-(1-\text i\sqrt 3)}{1-4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=a\times4+b}\phantom{WWW}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\frac 1 4-\text i\frac{\sqrt 3}{4}-1+\text i\sqrt 3}{-3}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=4a+b}\phantom{W}\end{matrix}\right.}$
${ \white{ WWWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{-\frac 3 4+3\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}}{-3}\phantom{xxx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=4a+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {1-\text i\sqrt 3=1-\text i\sqrt 3+b}\end{matrix}\right.} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ \left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4}\\\overset{ { \phantom{ . } } } {b=0\phantom{WWW}}\end{matrix}\right.}}$

D'où l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'= \left(\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)z}\,. }$

Nous en déduisons les éléments géométriques caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { f .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Le centre de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { O .}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons le rapport $\overset{ { \white{ . } } } { k. }$

${ \white{ xxi } }$ $k=\left| \dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4} \right| \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{k}=\sqrt{\left(\dfrac 1 4\right)^2+\left( \dfrac{\sqrt 3}{4}\right)^2}=\sqrt{\dfrac {1} {16}+ \dfrac{3}{16}}=\sqrt{\dfrac {4} {16}}=\sqrt{\dfrac {1} {4}}=\dfrac12}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Calculons l'angle $\overset{ { \white{ . } } } { \theta. }$

${ \white{ xxi } }$ $\theta=\arg\left(\dfrac 1 4-\,\text i\dfrac{\sqrt 3}{4}\right) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{\frac 1 4}{\left|\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right|}=\dfrac{\frac 1 4}{\frac1 2}=\dfrac 12\phantom{xx}\\\overset{ { \white{ . } } } {\sin\theta=\dfrac{-\frac{\sqrt 3}{4}}{\frac1 2}=-\dfrac{\sqrt3}{2}\phantom{WWWx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \theta=-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]$

En résumé, le centre de la similitude $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { O }$ , son rapport est $\overset{ { \white{ . } } } { k=\dfrac 1 2 }$ et son angle est $\overset{ { \white{ . } } } { \theta=-\dfrac{\pi}{3}. }$

1. b) Déterminons l'image $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C'}) }$ du cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ de centre $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ et de rayon 6 par $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$
L'image du cercle $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}) }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est le cercle $\overset{ { \white{ . } } } {(\mathscr{C'}) }$ de centre $\overset{ { \white{ . } } } { f(A)=C }$ dont le rayon est $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac 1 2\times6 = 3. }$

2. On considère la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { x^2+\frac 4 3 y^2=16. }$

2. a) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }). }$

${ \white{ xxi } }$ $x^2+\dfrac 4 3 y^2=16\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2}{16}+\dfrac {y^2}{12}=1 \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac {y^2}{(\sqrt{12})^2}=1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac {y^2}{(2\sqrt{3})^2}=1}}$

Donc $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }). }$ est une ellipse car son équation est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1. }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}a=4\phantom{WWWWWWWW}\\b=2\sqrt 3\phantom{WWWWWWW}\\c^2=a^2-b^2=16-12=4\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=4\phantom{W}\\b=2\sqrt 3\\c=2\phantom{W}\end{matrix}\right.}$

Eléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }): }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sommets : $\overset{ { \white{ . } } } { A\,(4\;;\;0),\,A'\,(-4\;;\;0),\,B\,(0\;;\;2\sqrt 3)\;\text{ et }\;B'\,(0\;;\;-2\sqrt 3). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Foyers : $\overset{ { \white{ . } } } { F\,(2\;;\;0)\;\text{ et }\;F'\,(-2\;;\;0). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Excentricité : $\overset{ { \white{ . } } } { e=\dfrac c a=\dfrac 2 4 \quad\Longrightarrow\quad e=\dfrac 1 2. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Axe focal : $\overset{ { \white{ . } } } { y=0. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Axe non-focal : $\overset{ { \white{ . } } } { x=0. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Directrices : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}(D):x=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{16}{2}\phantom{WW}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-\dfrac{a^2}{c}=-\dfrac{16}{2}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}(D):x=8\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-8}\end{matrix}\right. }$

2. b) Déterminons l'équation de la tangente $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{T }) }$ à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ au point $\overset{ { \white{ . } } } { E\,(2\;;\;3) }$

Nous obtenons :

$(\mathscr{T}):x\times2+\dfrac 4 3 y\times3=16\quad\Longleftrightarrow\quad(\mathscr{T}):2x+4y=16 \\\phantom{xxx:x\times2+\dfrac 4 3 y\times3=16}\quad\Longleftrightarrow\quad(\mathscr{T}):x+2y=8$

${ \white{ WWWWWWWWWxWW} }$ $\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(\mathscr{T}) :x+2y-8=0}$

2. c) Représentons graphiquement $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{T }). }$

3. On considère la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 15x^2+13y^2-2xy\sqrt 3 -768=0.}$

3. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ est l'image réciproque de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Nous avons montré dans la question 1. a) que l'expression algébrique de $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{z'= \left(\frac 1 4-\,\text i\frac{\sqrt 3}{4}\right)z}\,. }$

Posons $\overset{ { \white{ . } } } { z=x+\text i y }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { z'=x'+\text i y' }$

Nous obtenons alors :

$z'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)z\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)(x+\text i\,y) \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'= \left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)x+\text i\left(\dfrac 1 4-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}\right)\,y \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'=\dfrac 1 4x-\,\text i\,\dfrac{\sqrt 3}{4}x+\dfrac 1 4\,\text i\,y+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y \\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x'+\text i\,y'=\left(\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\right)+\,\text i\,\left(-\dfrac{\sqrt 3}{4}x+\dfrac 1 4\,y\right)$
${ \white{ WWWWWWWWW} }$ $\\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4}y\end{matrix}\right.$

Soit le point $\overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;y) }$ appartenant à l'image réciproque de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f. }$

Nous savons alors qu'il existe un point $\overset{ { \white{ . } } } { M'(x'\;;\;y') }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { M'=f(M). }$

Nous obtenons ainsi le système : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y}\\\overset{ { \white{ . } } } {x'^2+\dfrac 4 3 y'^2=16\phantom{xx}}\end{matrix}\right. }$

Dans la troisième équation, remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x' }$   et $\overset{ { \white{ . } } } { y' }$ par leurs valeurs tirées des deux premières équations.

$\left(\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\right)^2+\dfrac 4 3 \left(-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y\right)^2=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{\sqrt3}{8}\,xy+\dfrac{3}{16}y^2+\dfrac 4 3 \left(\dfrac{3}{16}x^2-\dfrac{\sqrt3}{8}xy+\dfrac{1}{16}y^2\right)=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{16}x^2+\dfrac{\sqrt3}{8}\,xy+\dfrac{3}{16}y^2+\dfrac{1}{4}x^2-\dfrac{\sqrt3}{6}xy+\dfrac{1}{12}y^2=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{5}{16}x^2+\dfrac{13}{48}y^2-\dfrac{\sqrt3}{24}xy=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{15}{48}x^2+\dfrac{13}{48}y^2-\dfrac{2\sqrt3}{48}\,xy=16 \\\\\phantom{XXXXX}\Longleftrightarrow\quad15x^2+13y^2-2\sqrt3\,xy=768$

Par conséquent, l'image réciproque de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ d'équation : $\overset{ { \white{ . } } } { 15x^2+13y^2-2xy\sqrt 3 -768=0.}$

3. b) L'image réciproque de la similitude directe $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est une similitude directe et l'image d'une ellipse par une similitude directe est une ellipse.
Donc l'image réciproque de l'ellipse $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E }) }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { f }$ est une ellipse.
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ est une ellipse.

Déterminons les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ sur base des éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}). }$

Nous avons montré dans la question 3. a) que si $\overset{ { \white{ . } } } { M(x\;;\;y) }$ appartient à $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma), }$ alors il existe un point $\overset{ { \white{ . } } } { M'(x'\;;\;y') }$ appartenant à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$ tel que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y\\\overset{ { \white{ . } } } {y'=-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4}y\end{matrix}\right. }$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=x'\\\overset{ { \white{ . } } } {-\dfrac{\sqrt 3}{4}\,x+\dfrac 1 4\,y=y'}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+\sqrt 3\,y=4x'\quad\quad\phantom{x}(1)\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\,x+y=4y'\quad\quad(2)}\end{matrix}\right.$

Il s'ensuit que :

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\sqrt 3\times(1)\\ (2)\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\sqrt 3\,x+3y=4\sqrt3\,x'\quad\quad\phantom{x}(3)\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\,x+y=4y'\phantom{xxi}\quad\quad(2)}\end{matrix}\right. \\\\ (3)+(2)\quad\Longleftrightarrow\quad 4y=4\sqrt3\,x'+4y' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWxW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{y=\sqrt3\,x'+y'}}$

$\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}(1)\phantom{xxxxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } {-\sqrt 3\times(2)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+\sqrt 3\,y=4x'\quad\quad\phantom{xxxxxxx}(1)\\\overset{ { \white{ . } } } {3x-\sqrt 3\,y=-4\sqrt 3\,y'\phantom{xxi}\quad\quad(4)}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xxx}(1)+(4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x=4x'-4\sqrt3\,y' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=x'-\sqrt3\,y'}}$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=x'-\sqrt3\,y'\\\overset{ { \white{ . } } } { y=\sqrt3\,x'+y'}\end{matrix}\right. }}$

Nous pouvons ainsi en déduire les éléments caractéristiques de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma). }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Sommets de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$   : $\overset{ { \white{ . } } } { A\,(4\;;\;0),\,A'\,(-4\;;\;0),\,B\,(0\;;\;2\sqrt 3)\;\text{ et }\;B'\,(0\;;\;-2\sqrt 3). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}$ Sommets de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$   notés $\overset{ { \white{ . } } } { A_1,\,A'_1,\,B_1\;\text{ et }\;B'_1\;: }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A_1}=4-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A_1}=\sqrt3\times4+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A_1}=4\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A_1}=4\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A_1\,(4\;;\;4\sqrt 3)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=-4-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=\sqrt3\times(-4)+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{A'_1}=-4\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{A'_1}=-4\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A'_1\,(-4\;;\;-4\sqrt 3)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B_1}=0-\sqrt3\times2\sqrt 3\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B_1}=\sqrt3\times0+2\sqrt 3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B_1}=-6\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B_1}=2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B_1\,(-6\;;\;2\sqrt 3)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B'_1}=0-\sqrt3\times(-2\sqrt 3)\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B'_1}=\sqrt3\times0-2\sqrt 3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{B'_1}=6\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{B'_1}=-2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{B'_1\,(6\;;\;-2\sqrt 3)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Foyers de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$   : $\overset{ { \white{ . } } } { F\,(2\;;\;0)\;\text{ et }\;F'\,(-2\;;\;0). }$
$\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}$ Foyers de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$   notés $\overset{ { \white{ . } } } { F_1\;\text{ et }\;F'_1\;: }$
${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F_1}=2-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=\sqrt3\times2+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F_1}=2\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{F_1\,(2\;;\;2\sqrt 3)}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F'_1}=-2-\sqrt3\times0\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F_1}=\sqrt3\times(-2)+0}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x_{F'_1}=-2\phantom{xx}\\\overset{ { \phantom{ . } } } { y_{F'_1}=-2\sqrt3}\end{matrix}\right. } \quad\Longrightarrow\quad \boxed{F'_1\,(-2\;;\;-2\sqrt 3)}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Excentricité : $\overset{ { \white{ . } } } { e'=e=\dfrac 1 2. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Axe focal de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$   : $\overset{ { \white{ . } } } { y=0. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}$ Axe focal de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ : $\overset{ { \white{ . } } } {y=\sqrt3\,x+0} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{-\sqrt3\,x+y=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Axe non-focal de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$   : $\overset{ { \white{ . } } } { x=0. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{}{\white{ix}}$ Axe non-focal de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ : $\overset{ { \white{ . } } } {x=0-\sqrt3\,y} \quad\Longrightarrow\quad\boxed{x+\sqrt3\,y=0}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Directrices de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{E}) }$   : $\left\lbrace\begin{matrix}(D):x=8\phantom{x}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'):x=-8}\end{matrix}\right.$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Directrices de $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma) }$ :    $\overset{ { \phantom{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}(D_1):\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x+\sqrt 3\,y=32}\phantom{i}\\\overset{ { \white{ . } } } { (D'_1):\dfrac 1 4x+\dfrac{\sqrt 3}{4}\,y=-8\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x+\sqrt 3\,y=-32}}\end{matrix}\right.}$

3. c) Représentons graphiquement $\overset{ { \white{ . } } } { (\Gamma). }$

5 points

exercice 2

1. Une urne contient 15 jetons.

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 2 jetons portent le nombre ${ a=\overline{1001}\;^2, }$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 4 jetons portent le nombre ${ b=\overline{431}\;^5, }$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 6 jetons portent le nombre ${ c=\overline{7E6}\;^{16}, }$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 3 jetons portent le nombre ${ d=2023. }$

1. a) Nous devons déterminer les écritures des nombres $\overset{ { \white{ . } } } {a,\,b}$ et $\overset{ { \white{ . } } } {c}$ dans la base décimale.

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}a=\overline{1001}\;^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=1\times2^3+0\times2^2+0\times2^1+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=8+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=9 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{a=\overline{1001}\;^2=9}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}b=\overline{431}\;^5 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=4\times5^2+3\times5^1+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=100+15+1 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=116 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{b=\overline{431}\;^5=116}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}c=\overline{7E6}\;^{16} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{Wv}=7\times16^2+14\times16^1+6 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=1792+224+6 } \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{Wv}=2022 } \\\\\phantom{xx}\Longrightarrow\quad\boxed{c=\overline{7E6}\;^{16}=2022}$

1. b) Nous devons déterminer le reste de la division euclidienne par 7 de chacun des nombres inscrits sur les jetons.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{xx}}a=9=1\times7+2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a\equiv 2\,[7]} \\\overset{ { \phantom{ Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}b=116=16\times7+4\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b\equiv 4\,[7]} \\\overset{ { \phantom{Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}c=2022=288\times7+6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{c\equiv 6\,[7]} \\\overset{ { \phantom{Z } } }{\bullet}{\phantom{xx}}d=2023=289\times7+0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{d\equiv 0\,[7]}$

2. On pose $\overset{ { \white{ . } } } {S_n=2^n+4^n+6^n}$ où $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ est un entier naturel.

2. a) Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { S_{6n}\equiv3\,[7]. }$

$S_{6n}=2^{6n}+4^{6n}+6^{6n}$

$\text{Or }\;\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 2^6=64=9\times7+1\quad\Longrightarrow\quad2^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(2^6\right)^n\overset{ { \white{ . } } } {\equiv1^n\,[7]} \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad2^{6n}\overset{ { \white{ . } } } {\equiv1\,[7]} \\\\\phantom{xxx}\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 4^6=2^6\times2^6\equiv1\times1\,[7]\quad\Longrightarrow\quad4^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWWWWWWWWxWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(4^6\right)^n\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1^n\,[7]} \\\phantom{WWWWWWWWWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad4^{6n}\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1\,[7]}$

$\\\\\phantom{xxx}\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}} 6^6=2^6\times3^6=2^6\times(3^2)^3\equiv1\times2^3\,[7]\equiv1\times1\,[7]\quad\Longrightarrow\quad6^6\equiv1\,[7]\\\phantom{WWW WWWWWWWWWWWWWWxWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left(6^6\right)^n\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1^n\,[7]} \\\phantom{WWWWWWWWWWxWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad6^{6n}\overset{ { \phantom{ . } } } {\equiv1\,[7]} \\\\\Longrightarrow\quad S_{6n}\equiv1+1+1\;[7]$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{S_{6n}\equiv3\,[7]}\,. }$

2. b) Déterminons le reste de la division euclidienne de $\overset{ { \white{ . } } } { S_{2023} }$ par 7.

En utilisant les informations de la question 2. a), nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $S_{2023}=2^{2023}+4^{2023}+6^{2023} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}=2\times2^{2022}+4\times4^{2022}+6\times6^{2022}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{S_{2023}}=2\times2^{6\times337}+4\times4^{6\times337}+6\times6^{6\times337}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv2\times1+4\times1+6\times1\,[7]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv12\,[7]} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{S_{2023}}\equiv5\,[7]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_{2023}\equiv5\,[7]}$

3. L'urne est utilisée dans un jeu.

Le joueur tire un jeton, note le numéro et le remet dans l'urne avant de procéder à un second tirage.
Pour chaque tirage, le joueur gagnera un nombre de points égal au reste de la division euclidienne par 7 du nombre inscrit sur le jeton.

Soit $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ la variable aléatoire associée au nombre de points obtenus par le joueur à l'issue des deux tirages.

3. a) Déterminons la loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X. }$

Dans la question 1. b), nous avons montré que les valeurs possibles pour les restes de la division euclidienne par 7 des nombres inscrits sur les jetons étaient 0, 2, 4 et 6.

Notons dans le tableau suivant les diverses manières d'obtenir les différents totaux de points.

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline{\red{\text{Points obtenus}}}&&&&&&&&&&&&\\ {\red{\text{lors de}}}&&{\red{0}}&&&{\red{2}}&&&{\red{4}}&&&{\red{6}}&&{\red{\text{chaque tirage}}} &&&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&&& \\ {\red{0}}&&0&&&2&&&4&&&6&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{2}}&&2&&&4&&&6&&&8&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{4}}&&4&&&6&&&8&&&10&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&&&\\ {\red{6}}&&6&&&8&&&10&&&12&\\&&&&&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que les valeurs possibles de la variable $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ sont : 0, 2, 4, 6, 8, 10 et 12.
Nous sommes en situation d'équiprobabilité et les deux tirages sont indépendants.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 3 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre $\overset{ { \white{ _. } } } { d }$ et attribuent dès lors 0 point.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 0 point est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{3}{15}.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 2 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et attribuent dès lors 2 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 2 points est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{2}{15}.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 4 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ et attribuent dès lors 4 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 4 points est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{4}{15}.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ 6 jetons parmi les 15 jetons portent le nombre $\overset{ { \white{ . } } } { c }$ et attribuent dès lors 6 points.
Lors d'un tirage, la probabilité d'obtenir 6 points est égale à $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac{6}{15}.}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=0 }$ , nous devons 0 point aux deux tirages.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=0)=\dfrac{3}{15}\times\dfrac{3}{15}=\dfrac{9}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=2). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=2 }$ , nous devons ''obtenir 2 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 2 points au second tirage''.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=2)=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{12}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=4). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=4 }$ , nous devons ''obtenir 4 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 2 points aux deux tirages''.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=4)=\dfrac{4}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{28}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=6). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=6 }$ , nous devons ''obtenir 6 points au premier tirage et 0 point au second tirage'' ou ''obtenir 0 point au premier tirage et 6 points au second tirage'' ou ''obtenir 2 points au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points au premier tirage et 2 points au second tirage''.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=6)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{3}{15}+\dfrac{3}{15}\times\dfrac{6}{15}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{2}{15}=\dfrac{52}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=8). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=8 }$ , nous devons ''obtenir 2 points au premier tirage et 6 points au second tirage'' ou ''obtenir 6 points au premier tirage et 2 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points aux deux tirages''.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=8)=\dfrac{2}{15}\times\dfrac{6}{15}+\dfrac{6}{15}\times\dfrac{2}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{40}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=10). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=10 }$ , nous devons ''obtenir 6 points au premier tirage et 4 points au second tirage'' ou ''obtenir 4 points au premier tirage et 6 points au second tirage''.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=10)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{4}{15}+\dfrac{4}{15}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{48}{225}. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons    $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=12). }$
Pour obtenir $\overset{ { \white{ _. } } } { X=12 }$ , nous devons 6 points aux deux tirages.
D'où $\overset{ { \white{ . } } } { P(X=12)=\dfrac{6}{15}\times\dfrac{6}{15}=\dfrac{36}{225}. }$

Résumons cette loi de probabilité de $\overset{ { \white{ _. } } } { X }$ par le tableau suivant :

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\ x_i&&0&&&2&&&4&&&6&&&8&&&10&&&12&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\P(X=x_i)&&\dfrac{9}{225}&&&\dfrac{12}{225}&&&\dfrac{28}{225}&&&\dfrac{52}{225}&&&\dfrac{40}{225}&&&\dfrac{48}{225}&&&\dfrac{36}{225}&\\&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

3. b) Calculons l'espérance mathématique $\overset{ { \white{ _. } } } { E(X). }$

${ \white{ xxi } }$ $E(X)=0\times\dfrac{9}{225}+2\times\dfrac{12}{225}+4\times\dfrac{28}{225}+6\times\dfrac{52}{225}+8\times\dfrac{40}{225}+10\times\dfrac{48}{225}+12\times\dfrac{36}{225} \\\\\phantom{E(X)}=\dfrac{1680}{225}=\dfrac{112}{15} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{E(X)=\dfrac{112}{15}\approx7,47}$

3. c) Calculons la probabilité d'avoir un gain dépassant l'espérance, soit $\overset{ { \white{ . } } } { P\left(X>\dfrac{112}{15}\right). }$
${ \white{ xxi } }$ $P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)=P(X=8)+P(X=10)+P(X=12) \\\phantom{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)}=\dfrac{40}{225}+\dfrac{48}{225}+\dfrac{26}{225} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)}=\dfrac{124}{225}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P\left(X>\dfrac{112}{15}\right)=\dfrac{124}{225}\approx0,56}$

11 points

probleme

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j). }$

Partie A (2,5 points)

On considère la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ à variable réelle définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { f_m(x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right) }$ où $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ est un paramètre réel non nul.
On note $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_m) }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ dans la repère $\overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j). }$

1. Déterminons le domaine de définition $\overset{ { \white{ _. } } } {D_m }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } { f_m.}$

$\overset{ { \white{ _. } } } { f_m\in\R\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{m+x}{m-x}>0. }$

Envisageons deux cas.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Premier cas : $\overset{ { \white{ _. } } } {m>0 }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m}\\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x>0\Longleftrightarrow x<m} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&-m&&m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ m+x&&-&0&+&+&+&\\m-x&&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&\\\dfrac{m+x}{m-x}&&-&0&+&||&-&\\&&&&&||&&\\\hline \end{array} \\\\\text{Donc }\;\dfrac{m+x}{m-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]-m\;;\;m[$

D'où si $\overset{ { \white{ . } } } {m>0, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {D_m=]-m\;;\;m[. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Second cas : $\overset{ { \white{ _. } } } {m<0 }$

${ \white{ xxi } }$ $\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m}\\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x>0\Longleftrightarrow x<m} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&m&&-m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ m+x&&-&-&-&0&+&\\m-x&&+&0&-&-&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&||&&\\\dfrac{m+x}{m-x}&&-&0&+&||&-&\\&&&&&||&&\\\hline \end{array} \\\\\text{Donc }\;\dfrac{m+x}{m-x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\;]m\;;\;-m[$

D'où si $\overset{ { \white{ . } } } {m<0, }$ alors $\overset{ { \white{ . } } } {D_m=]m\;;\;-m[. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{D_m=]-|m|\;;\;|m|\,[}\,. }$

2. a) Montrons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est impaire.

${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}\forall\ x\in D_m, \;-x\in D_m. \\\\\overset{ { \phantom{ . } } }{\bullet}{\phantom{x}}\forall\ x\in D_m, \; f_m(-x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m-x}{m+x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWw}=-\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWWw}=-f_m(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\ x\in D_m, \; f_m(-x)=-f_m(x)}$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est impaire.

2. b) Nous devons calculer les limites de $\overset{ { \white{ . } } } {f_m }$ aux bornes de $\overset{ { \white{ . } } } { D_m. }$

Envisageons deux cas.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Premier cas : $\overset{ { \white{ _. } } } {m>0 }$   (nous savons que dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } {D_m=\,]-m\;;\;m[. }$ )

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^+}f_m(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -m^+}(m+x)=0^+\phantom{xxx}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^+}(m-x)=2m>0} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to0^+}\ln\, (X)=-\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to-m^+}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to -m^+}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to -m^+}f_m(x)=-\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^-}f_m(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to m^-}(m+x)=2m>0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^-}(m-x)=0^+\phantom{xxx}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to +\infty}\ln\, (X)=+\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to m^-}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to m^-}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to m^-}f_m(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Second cas : $\overset{ { \white{ _. } } } {m<0 }$   (nous savons que dans ce cas, $\overset{ { \white{ . } } } {D_m=\,]m\;;\;-m[. }$ )

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^+}f_m(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to m^+}(m+x)=2m<0\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to m^+}(m-x)=0^-\phantom{xxx}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to m^+}\dfrac{m+x}{m-x}=+\infty}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to+\infty}\ln\, (X)=+\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to m^+}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to m^+}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=+\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to m^+}f_m(x)=+\infty} }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet\bullet}{\white{x}}$ Calculons $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^-}f_m(x). }$

${ \white{ xxi } }$ $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to -m^-}(m+x)=0^-\phantom{xxx}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{x\to -m^-}(m-x)=2m<0} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac{m+x}{m-x}=0^+}}\\\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{X\to 0^+}\ln\, (X)=-\infty} \end{matrix}\right.\quad\underset{\left(X=\frac{m+x}{m-x}\right)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{x\to -m^-}\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\quad\lim\limits_{x\to -m^-}\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)=-\infty$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \lim\limits_{x\to -m^-}f_m(x)=-\infty} }$

2. c) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ non nul, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x).}$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{-m+x}{-m-x}\right)=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{-(m-x)}{-(m+x)}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{m-x}{m+x}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=-\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{WWWWWWWW}=-f_m(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x)}$

3. On suppose dans cette question que $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ est un réel strictement positif.

3. a) Nous devons étudier les variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m}$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { D_m.}$

${ \white{ xxi } }$ $f'_m(x)=\dfrac{1}{2}\,\left[\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)\right]' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right)'}{\dfrac{m+x}{m-x}} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{(m+x)'\times(m-x)-(m+x)\times(m-x)'}{(m-x)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{1\times(m-x)-(m+x)\times(-1)}{(m-x)^2} }$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{m-x}{m+x}\times\dfrac{m-x+m+x}{(m-x)^2} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{m+x}\times\dfrac{2m}{m-x} } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{f'_m(x)}=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} } \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} }$

$\begin{matrix}m+x<0\Longleftrightarrow x<-m \\\overset{ { \white{ . } } } {m+x=0\Longleftrightarrow x=-m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m+x>0\Longleftrightarrow x>-m} \\\\m-x<0\Longleftrightarrow x>m \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x=0\Longleftrightarrow x=m} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {m-x>0\Longleftrightarrow x<m} \end{matrix} \begin{matrix}\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\||\\\phantom{WWW}\end{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&&x&-\infty&&-m&&m&&+\infty &&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\ m&&+&+&+&+&+&\\ m+x&&-&0&+&+&+&\\m-x&&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&&&||&&||&&\\f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} &&-&||&+&||&-&\\&&&||&&||&&\\\hline \end{array}$

Donc   $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\forall\,x\in\,]-m\;;\;m[\,,\;f'_m(x)>0.} }$

Par conséquent, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[\,. }$

3. b) La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ est continue et strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[\,. }$

Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { f_m }$ réalise une bijection de $\overset{ { \white{ . } } } { ]-m\;;\;m[ }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } { J=f\left(]-m\;;\;m[\right)=\R. }$

3. c) Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} }$ la bijection réciproque de $\overset{ { \white{ . } } } { f_m. }$

$\forall\,x\in\,]-m\;;\;m[\,,\;y=f_m(x)\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right) \\\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad 2y=\ln\left(\dfrac{m+x}{m-x}\right) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad \text e^{2y}=\dfrac{m+x}{m-x}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad (m-x)\,\text e^{2y}=m+x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,\text e^{2y}-x\,\text e^{2y}=m+x}$

${ \white{ WWWWWWWWWWW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,\text e^{2y}-m=x\,\text e^{2y}+x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad m\,(\text e^{2y}-1)=x(\text e^{2y}+1)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{ m\,(\text e^{2y}-1)}{\text e^{2y}+1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWWWWWWvWW} \quad\Longleftrightarrow\quad x=(f_m)^{-1}(y)}$

Nous pouvons ainsi définir $\overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} }$ comme suit : $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{(f_m)^{-1} :x\mapsto (f_m)^{-1} (x)= \dfrac{ m\,(\text e^{2x}-1)}{\text e^{2x}+1}}}$ où le domaine de définition est $\overset{ { \white{ . } } } {D\Big((f_m)^{-1}\Big)=\R }$ et l'image est $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Im}\Big((f_m)^{-1}\Big)=\,]-m\;;\;m[\,. }$

Partie B (2,25 points)

1. Nous devons dresser le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f_1. }$
Nous rappelons que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_1 }$ est définie par : $\overset{ { \white{ . } } } { f_1(x)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+x}{1-x}\right). }$
Nous notons $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ la courbe représentative de $\overset{ { \white{ . } } } { f_1 }$ dans la repère $\overset{ { \white{ _. } } } {(O\,;\,\vec i,\vec j). }$

En utilisant les résultats de la partie A où $\overset{ { \white{ . } } } {m=1 }$ , nous obtenons le tableau de variations de $\overset{ { \white{ . } } } { f_1. }$

${ \white{ WWWWWWW} }$ $\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&-1&&&&1 &&&&&&\\\hline&||&&&&||& f'_1(x)&||&+&+&+&||\\&||&&&&||\\\hline&||&&&&+\infty\\f_1&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&||\\&-\infty&&&&||\\\hline \end{array}$

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ la tangente à $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ au point d'abscisse 0.

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Déterminons une équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (T). }$

Une équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ est de la forme $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'_1(0)(x-0)+f_1(0), }$ soit $\overset{ { \white{ . } } } { y=f'_1(0)\,x+f_1(0). }$

Or    $\overset{ { \white{ . } } } {\left\lbrace\begin{matrix}f_1(0)=\dfrac 1 2\,\ln\left(\dfrac{1+0}{1-0}\right)\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_1(0)=\dfrac{1}{(1+0)(1-0)}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow \quad\left\lbrace\begin{matrix}f_1(0)=0\\\overset{ { \white{ . } } } {f'_1(0)=1}\end{matrix}\right. }$

Nous en déduisons qu'une équation de $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ est $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{y=x}\,. }$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Nous déterminerons la position de $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ par rapport à $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ en étudiant le signe de la fonction $\overset{ { \white{ g } } } { g }$ définie sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1;\;;1[ }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { g(x)=f_1(x)-x. }$

La fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;1[ }$ .

$\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)=f_1'(x)-1 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1}{(1+x)(1-x)} -1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1-(1+x)(1-x)}{(1+x)(1-x)}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{1-(1-x^2)}{(1+x)(1-x)}}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{x^2}{(1+x)(1-x)}} \\\\\Longrightarrow\quad{\forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)}=\dfrac{x^2}{1-x^2} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}x^2\ge0\phantom{WWWWWWWWWWW} \\\\-1<x<1\quad\Longrightarrow\quad |x|<1\phantom{WWW} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{xW}\quad\Longrightarrow\quad x^2<1} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{xWWw}\quad\Longrightarrow\quad 1-x^2>0}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]-1\;;\;1[\,,\;g'(x)\ge0 }$
et par suite la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { g }$ est croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1;\;;1[. }$

En outre, $\overset{ { \white{ . } } } { g(0)=\dfrac{1}{2}\,\ln\left(\dfrac{1+0}{1-0}\right)-0\quad\Longrightarrow\quad g(0)=0. }$

Il s'ensuit que : $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\forall\,x\in\,]-1\;;\;0\,[\,,\;g(x)<0\\\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,]\,0\;;\;1[\,,\;g(x)>0}\end{matrix}\right. }$

soit que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}\forall\,x\in\,]-1\;;\;0\,[\,,\;f_1(x)-x<0\\\overset{ { \white{ . } } } {\forall\,x\in\,]\,0\;;\;1[\,,\;f_1(x)-x>0}\end{matrix}\right. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ est en dessous de $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;0\,[ }$
${\white{WWWWwWW}}$ $\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ est au-dessus de $\overset{ { \white{ . } } } { (T) }$ sur l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } { ]\,0\;;\;1[ .}$

3. Construisons $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ et $\overset{ { \white{ . } } } { (T). }$

4. Nous avons montré dans la partie A, question 2. c) que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { m }$ non nul, nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in D_m,\;f_{(-m)}(x)=-f_m(x).}$
Dès lors, $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[\,,\;f_{(-1)}(x)=-f_1(x).}$

Par conséquent, la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_{-1}) }$ est l'image de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ par la symétrie axiale dont l'axe est la droite $\overset{ { \white{ . } } } { (Ox). }$

De plus, nous savons que si deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre, leurs représentations graphiques dans un plan muni d'un repère orthonormé sont symétriques l'une de l'autre par rapport à la droite d'équation $\overset{ { \white{ . } } } { y=x. }$

D'où la courbe $\overset{ { \phantom{ . } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }$ est l'image de la courbe $\overset{ { \white{ . } } } { (\mathscr{C}_1) }$ par la symétrie axiale dont l'axe est la droite $\overset{ { \white{.} } } { y=x. }$

Partie C (3,5 points)

1. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { \Phi }$ une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { (f_1)^{-1} }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

1. a) Nous devons démontrer que $\overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto x\,f'_1(x) }$ sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[ .}$

D'une part, $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,\R,\;\Phi'(x)=(f_1)^{-1}(x) }$ car $\overset{ { \white{ . } } } { \Phi }$ est une primitive de $\overset{ { \white{ . } } } { (f_1)^{-1} }$ sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R. }$

D'autre part, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]\,-1\;;\;1\,[ }$ (car $\overset{ { \white{ _. } } } { f_1 }$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[ }$ et $\overset{ { \white{ . } } } {\Phi}$ est dérivable sur $\overset{ { \white{ _. } } } { \R }$ ).

Nous obtenons ainsi : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[, }$

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { (\Phi\circ f_1)'(x)=\Phi'\Big( f_1(x)\Big) \times f_1'(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}= f_1^{-1}\Big( f_1(x)\Big) \times f_1'(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWW}=x \times f_1'(x)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,]\,-1\;;\;1\,[,\;(\Phi\circ f_1)'(x)=x \times f_1'(x)}$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \Phi\circ f_1 }$ est une primitive de la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { x\mapsto x\,f'_1(x). }$

1. b) Nous devons démontrer que pour tous réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }$ on a : $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{a}^{b} t\,f_1'(t)\,\text{d}t. }$

En effet, pour tous réels $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\left[\overset{}{\Phi(t)}\right]_{f_1(a)}^{f_1(b)}\\\phantom{WWWWWWi}=\Phi(f_1(b))-\Phi(f_1(a)) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=(\Phi\circ f_1)(b)-(\Phi\circ f_1)(a)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\left[\overset{}{\Phi\circ f_1}\right]_{a}^{b}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\displaystyle\int_{a}^{b} (\Phi\circ f_1)'(t)\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWWWi}=\displaystyle\int_{a}^{b}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}. \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,a,b\in\,]-1\;;\;1[\,,\;\displaystyle\int_{f_1(a)}^{f_1(b)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{a}^{b}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}$

1. c) Nous devons en déduire que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }$ nous avons :
$\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t.}$ Nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { f_1(0)=0. }$
Dès lors, en remplaçant $\overset{ { \white{ . } } } { a }$ par 0 et $\overset{ { \white{ _. } } } { b }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ dans l'égalité de la question précédente, nous obtenons :

$\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{f_1(0)}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t }$ , soit $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t }}$

2. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ un élément de $\overset{ { \white{ . } } } { ]-1\;;\;1\,[. }$

2. a) Démontrons que $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2). }$
Nous avons montré dans la partie A, question 3. a) que $\overset{ { \white{ . } } } { f'_m(x)=\dfrac{m}{(m+x)(m-x)} }$ et par suite, $\overset{ { \white{ . } } } { f'_1(t)=\dfrac{1}{(1+t)(1-t)} }$

Nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x} t\times\dfrac{1}{(1+t)(1-t)}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{t}{1-t^2}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\displaystyle\int_{0}^{x} \dfrac{-2t}{1-t^2}\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\phantom{ \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\left[\overset{}{\ln(1-t^2)}\right]_0^x \\\phantom{ \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\left[\overset{}{\ln(1-x^2)-\ln(1-0)}\right] \\\phantom{ \displaystyle\int t\,f_1'(t)\,\text{d}t}=-\dfrac12\ln(1-x^2) \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{x} t\,f\,'_1(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2)}$

2. b) Nous devons montrer que pour tout élément $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ de $\overset{ { \white{ _. } } } {\R\,, }$ $\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\ln\left(\dfrac{\text e^y+\text e^{-y}}{2}\right).$

Nous avons montré dans les questions 1. c) et 2. a) que pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à l'intervalle $\overset{ { \white{ . } } } {]-1\;;\;1\,[\,, }$ nous avons :
$\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\displaystyle\int_{0}^{x}t\,f_1'(t)\,\text{d}t}$     et     $\overset{ { \white{ . } } } { \displaystyle\int_{0}^{x} t\,f_1'(t)\,\text{d}t=-\dfrac1 2 \ln(1-x^2). }$
Nous en déduisons que    $\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{f_1(x)} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln(1-x^2) }$

et si $\overset{ { \white{ . } } } { y=f_1(x)\,, }$ alors l'égalité précédente s'écrira : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln(1-x^2)} }$

Dans ce cas, nous savons par la question 3. c) - Partie A que $\overset{ { \white{ . } } } { \left\lbrace\begin{matrix}x=(f_1)^{-1}(y)\phantom{xxxx}\\\overset{ { \white{ . } } } {(f_1)^{-1}(y)=\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}} }$

Dès lors,

$\overset{ { \white{ . } } } {\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= -\dfrac1 2 \ln\Bigg(1-\left(\dfrac{\text e^{2y}-1}{\text e^{2y}+1}\right)^2\Bigg)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{(\text e^{2y}+1)^2-(\text e^{2y}-1)^2}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{\text e^{4y}+2\text e^{2y}+1-\text e^{4y}+2\text e^{2y}-1}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)}$
${ \white{ WWWWWi} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= -\dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{4\text e^{2y}}{(\text e^{2y}+1)^2}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{(\text e^{2y}+1)^2}{4\text e^{2y}}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \dfrac1 2 \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}+1}{2\text e^{y}}\right)^2} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}+1}{2\text e^{y}}\right)}$
${ \white{ WWWWWi} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{2y}}{2\text e^{y}}+\dfrac{1}{2\text e^{y}}\right)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{1}{2}\,\text e^{y}+\dfrac{1}{2}\,\text e^{-y}\right)}$
$\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{WWWWiW}= \ln\left(\dfrac{\text e^{y}+\text e^{-y}}{2}\right)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\displaystyle\int_{0}^{y} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t= \ln\left(\dfrac{\text e^{y}+\text e^{-y}}{2}\right)}$

2. c) Calculons l'aire $\overset{ { \white{ _. } } } { \mathscr{A} }$ , en cm², de la partie du plan délimitée par la courbe $\overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }$ , les droites d'équations $\overset{ { \white{ _. } } } { x=0 }$ et $\overset{ { \white{ _. } } } { x=1 }$ et l'axe des abscisses.

Déterminons d'abord l'aire $\overset{ { \white{ . } } } { \mathscr{A} }$ en unité d'aire (u.a.) en utilisant le résultat de la question précédente dans lequel nous remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { y }$ par 1.

${ \white{ xxi } }$ $\mathscr{A}=\displaystyle\int_{0}^{1} (f_1)^{-1}(t)\,\text{d}t=\ln\left(\dfrac{\text e^{1}+\text e^{-1}}{2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\ln\left(\dfrac{\text {e}+\text e^{-1}}{2}\right)\text{u.a.}}$

Or l'unité graphique du repère est de 3 cm.
Dès lors l'unité d'aire est 9 cm².

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\mathscr{A}=9\times\ln\left(\dfrac{\text {e}+\text e^{-1}}{2}\right)\text{cm}^2}\,. }$

3. Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ un réel et $\overset{ { \white{ _. } } } { A }$ le point de $\overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }$ d'abscisse ${ \ln\sqrt2.}$

3. a) Montrons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2. }$

En utilisant la définition de $\overset{ { \white{ . } } } { (f_m)^{-1} }$ donnée dans la Partie A - question 3. c), nous savons que
$\overset{ { \white{ . } } } { (f_1)^{-1} (x)= \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}. }$
$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'une part, nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'= \left(\dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}\right)' \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{( \text e^{2x}-1)'\times(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)\times (\text e^{2x}+1)'}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{2\, \text e^{2x}\times(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)\times 2\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{2\, \text e^{4x}+2\, \text e^{2x}-2\, \text e^{4x}+ 2\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'}= \dfrac{4\, \text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=\dfrac{4\, \text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ D'autre part,

$1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=1-\left( \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}\right)^2 \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{ (\text e^{2x}+1)^2-(\text e^{2x}-1)^2}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{ [(\text e^{2x}+1)+(\text e^{2x}-1)]\times[(\text e^{2x}+1)-(\text e^{2x}-1)]}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{2\,\text e^{2x}\times2}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \phantom{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}=\dfrac{4\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ 1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=\dfrac{4\,\text e^{2x}}{(\text e^{2x}+1)^2}}$

$\overset{ { \white{ . } } }{\bullet}{\white{x}}$ Par conséquent $\boxed{\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2}\,.$

3. b) Nous devons en déduire le volume du solide engendré par la rotation de l'arc $\underset{ { \white{ - } } } { \overset{\frown}{ OA} }$ de $\overset{ { \phantom{ (c) } } } { (\mathscr{C}_{(f_1)^{-1}}) }$ autour de l'axe des abscisses.

Nous avons :    $\overset{ { \white{ _. } } } {V=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2\,\text{d}x}.$

Or selon la question précédente, nous savons que $\overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2 }$ , soit que $\overset{ { \white{ . } } } { \Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^2=1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'. }$

Dès lors,

${ \white{ xxi } }$ $\overset{ { \white{ . } } } {V=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\left [(f_1)^{-1}(x)\right]^2\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \displaystyle\int_{0}^{\ln\sqrt2}\left[1-\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)'\right]\,\text{d}x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left[\overset{}{x-(f_1)^{-1}(x)}\right]_{0}^{\ln\sqrt2}}$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ xx } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left[\Big(\overset{}{\ln\sqrt2-(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)\Big)}-\Big(\overset{}{0-(f_1)^{-1}(0)\Big)}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{V}=\pi \times\left(\overset{}{\ln\sqrt2-(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)+(f_1)^{-1}(0)}\right)}$

$\overset{ { \white{ . } } } {\text{Or }\; (f_1)^{-1} (x)= \dfrac{ \text e^{2x}-1}{\text e^{2x}+1}}\\\\\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}(f_1)^{-1}(0)= \dfrac{ \text e^{0}-1}{\text e^{0}+1}=\dfrac{ 1-1}{1+1}=0\phantom{WWWWWWWWx}\\\overset{ { \white{ . } } } {(f_1)^{-1}(\ln\sqrt2)= \dfrac{ \text e^{2\ln\sqrt2}-1}{\text e^{2\ln\sqrt2}+1}= \dfrac{ \text e^{\ln2}-1}{\text e^{\ln2}+1}=\dfrac{ 2-1}{2+1}=\dfrac13}\end{matrix}\right.$

D'où $\overset{ { \white{ . } } } { \overset{ { \white{ . } } } {\boxed{V=\pi \times\left(\ln \sqrt2-\dfrac13\right)\,\text{u.v.}}} }$

Or l'unité graphique est 3 cm.
Donc l'unité de volume (u. v.) est 27 cm³.

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{V=27\pi \times\left(\ln \sqrt2-\dfrac13\right)\,\text{cm}^3\approx1,123\,\text{cm}^3}}$

Partie D (2,75 points)

Soit $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ un nombre réel.
Pour tout entier naturel $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ non nul, on pose : $\overset{ { \white{ . } } } { F_n(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big (f_1^{-1}(t)\Big)^n\,\text{d}t. }$

1. a) Montrons que $\overset{ { \white{ _. } } } { \forall\,x\in\R^+,\,\forall\,n\in\N^*, }$ nous avons : $\overset{ { \white{ . } } } { 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n. }$

Nous savons par la question 1 - Partie B que la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_1 }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;1[. }$
Dès lors, la fonction $\overset{ { \white{ . } } } { f_1^{-1} }$ est strictement croissante sur $\overset{ { \white{ . } } } { [0\;;\;+\infty[. }$
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,x\in\R^+, \forall\,n\in\N^*, }$

${ \white{ xxi } }$ $0\le t\le x\quad\Longrightarrow\quad f_1^{-1}(0)\le f_1^{-1}(t)\le f_1^{-1}(x) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le f_1^{-1}(t)\le f_1^{-1}(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \Big(f_1^{-1}(t)\Big)^n\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le \displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^n\,\text{d}t\le \displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\displaystyle\int_{0}^{x}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n\left[\overset{}{t}\right]_0^x } \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^n(x-0)} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{0\le t\le x}\quad\Longrightarrow\quad 0\le F_n(x)\le \Big(f_1^{-1}(x)\Big)^nx} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n}\,.$

1. b) Nous devons en déduire pour tout réel positif $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ fixé, la limite de $\overset{ { \white{ . } } } { F_n(x). }$

Nous savons par la question 3. c) - Partie A que $\overset{ { \white{ . } } } { \text{Im}\Big((f_1)^{-1}\Big)=\,]-1\;;\;1[. }$
Nous obtenons alors : $\overset{ { \white{ . } } } {-1<(f_1)^{-1}(x)<1\quad\Longrightarrow\quad{\lim\limits_{n\to+\infty}\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0} }$
${ \white{ WWWWWWWW} }$ ${ \white{ WWWWWWWW} }$ ${ \white{ WW} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}x\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0 }}$

De plus, nous avons montré dans la question précédente que $\overset{ { \white{ . } } } { 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n. }$

Dès lors, en appliquant le théorème d'encadrement (théorème des gendarmes), nous avons pour tout réel positif $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ fixé,

$\left\lbrace\begin{matrix} 0\le F_n(x)\le x\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^n\\\overset{ { \white{ . } } } {\lim\limits_{n\to+\infty}x\Big((f_1)^{-1}(x)\Big)^n=0 }\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x)=0}$

2. a) Montrons que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall n\in\N^*,\; F_{n+2}(x)=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}. }$

En effet, pour tout $\overset{ { \white{ . } } } { n\in\N^*, }$

${ \white{ xxi } }$ $F_{n+2}(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n+2}\,\text{d}t \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{2}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\bigg(1-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t}\quad\quad(\text{voir question 3. a - Partie C)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\left[\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\right]\,\text{d}t}$
${ \white{ xxi } }$ ${ \white{ WWWi} }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\,\text{d}t-\displaystyle\int_{0}^{x}\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{n}\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(t)\Big)^{n+1}\right]_0^x} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}-\Big (f_1^{-1}(0)\Big)^{n+1}\right]}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\left[\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}-0\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{ F_{n+2}(x)}=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{ \forall n\in\N^*,\; F_{n+2}(x)=F_n(x)-\dfrac{1}{n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{n+1}}$

2. b) Démontrons par récurrence que : $\overset{ { \white{ . } } } { \forall\,n\in\N^*, \;F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}. }$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $\overset{ { \white{ . } } } { n=1, }$ soit que $\overset{ { \white{ . } } } {F_{2}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}.}$
Notons d'abord que $\overset{ { \white{ . } } } { \sum\limits_{p=1}^1\dfrac{1}{2p-1}=\dfrac{1}{2\times1-1}=1\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\sum\limits_{p=1}^1\dfrac{1}{2p-1}=1} }$

De plus,

${ \white{ xxi } }$ $F_2(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\Big(f_1^{-1}(t)\Big)^{2}\,\text{d}t \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}\bigg(1-\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\displaystyle\int_{0}^{x}1\,\text{d}t-\displaystyle\int_{0}^{x}\,\Big((f_1)^{-1}(t)\Big)'\bigg)\,\text{d}t} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=\bigg[t-(f_1)^{-1}(t)\bigg]_0^x}$
${ \white{ xxi } }$ $\\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=[x-(f_1)^{-1}(x)]-[0-(f_1)^{-1}(0)]} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-(f_1)^{-1}(x)} \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-1\times\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2\times1-1}} \\\overset{ { \phantom{ . } } } {\phantom{F_2(x)}=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F_{2}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^1\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, la propriété est vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ alors elle est encore vraie au rang $\overset{ { \white{ . } } } { (n+1). }$
Montrons donc que si pour un nombre naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n }$ fixé, $\overset{ { \white{ . } } } {F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}$ ,
alors nous obtenons $\overset{ { \white{ . } } } {F_{2(n+1)}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}$

$F_{2(n+1)}=F_{2n+2}=F_{2n}(x)-\dfrac{1}{2n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2n+1}\quad(\text{voir question 2. a - Partie D}) \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}-\dfrac{1}{2n+1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2n+1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\left[\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}+\dfrac{1}{2(n+1)-1}\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2(n+1)-1}\right]} \\\overset{ { \white{ . } } } { \phantom{F_{2(n+1)}=F_{2n+2}}=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{F_{2(n+1)}=x-\sum\limits_{p=1}^{n+1}\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}$

Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que : $\overset{ { \white{ . } } } {\boxed{ \forall\,n\in\N^*, \;F_{2n}(x)=x-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(x)\Big)^{2p-1}}\,. }$

3. a) Montrons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ nous avons :
$x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x)).$
En utilisant le résultat de la question 2. b), nous déduisons que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ nous obtenons :

${ \white{ xxi } }$ $F_{2n}(f_1(x))=f_1(x)-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)\Big (f_1^{-1}(f_1(x))\Big)^{2p-1} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad F_{2n}(f_1(x))=f_1(x)-\sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)x^{2p-1}} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad \sum\limits_{p=1}^n\left(\dfrac{1}{2p-1}\right)x^{2p-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))} \\\overset{ { \white{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{1}{2-1}\,x+\frac{1}{4-1}\, x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))} \\\overset{ { \phantom{ . } } } { \quad\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x))}}$

3. b) Nous devons en déduire : $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}} \right). }$

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout réel $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ appartenant à [0 ; 1[ et pour tout entier naturel non nul $\overset{ { \white{ . } } } { n, }$ nous avons :
$x+\dfrac13 x^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\,x^{2n-1}=f_1(x)-F_{2n}(f_1(x)).$
Remplaçons $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ par $\overset{ { \white{ . } } } { \dfrac13, }$ nous obtenons ainsi :

${ \white{ xxi } }$ $\dfrac13+\dfrac13\times\left(\dfrac13\right) ^3+\cdots+\dfrac{1}{2n-1}\times\left(\dfrac13\right) ^{2n-1}=f_1\left(\frac13\right) -F_{2n}(f_1\left(\frac13\right) ) \\\overset{ { \white{ . } } } {\phantom{XXX}\Longleftrightarrow\quad \dfrac13+\dfrac{1}{3\times3^3}+\cdots+\dfrac{1}{(2n-1)\times3^{2n-1}}=f_1\left(\frac13\right) -F_{2n}(f_1\left(\frac13\right) )}$

${ \white{ xxi } }$ $\text{Or }\;f_1\left(\frac13\right)=\dfrac12\,\ln\left(\dfrac{1+\frac13}{1-\frac13}\right) \\\phantom{XXXXX}=\dfrac12\,\ln\left(\dfrac{\frac43}{\frac23}\right)\\\phantom{XXXXX}=\dfrac12\ln2\\\phantom{XXXXX}=\ln\sqrt2\\\\\Longrightarrow\quad f_1\left(\frac13\right)=\ln\sqrt2 \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}} \right)=\ln\sqrt2-\lim\limits_{n\to+\infty}F_{2n}(\ln\sqrt2)$

De plus, nous savons par la question 1. b) que pour tout réel positif $\overset{ { \white{ . } } } { x }$ fixé, $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}F_n(x)=0. }$
Nous en déduisons que pour $\overset{ { \white{ _. } } } { x=\ln\sqrt2, }$ $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}F_{2n}(\ln\sqrt2)=0. }$

Par conséquent, $\overset{ { \white{ . } } } { \lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}} \right)=\ln\sqrt2-0\,, }$
soit $\overset{ { \white{ . } } } { \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \dfrac13+\dfrac{1}{3\times 3^3}+\cdots++\dfrac{1}{(2n-1)\times 3^{2n-1}} \right)=\ln\sqrt2}\,. }$

Publié par malou le 08-03-2024

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