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Fiche de mathématiques





exercice 1

Primitives de fonctions polynômes
1. Déterminer des primitives sur \mathbb{R} des fonctions suivantes :
x \mapsto x
x \mapsto x2
x \mapsto x3
x \mapsto -5

2. Déterminer des primitives sur \mathbb{R} des fonctions :
x \mapsto 2x
x \mapsto -3x2
x \mapsto 8x3

3. Déterminer une primitive sur \mathbb{R} de la fonction :
x \mapsto 8x3 - 3x2 + 2x - 5




exercice 2

Primitives immédiates
1. Déterminer une primitive sur \mathbb{R} de chacune des fonctions suivantes :
f : x \mapsto 0
g : x \mapsto 2
h : x \mapsto x5

2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+\infty[ de chacune des fonctions suivantes :
i : x \mapsto \dfrac{1}{x^2}
j : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}

3. Déterminer deux primitives sur \mathbb{R} de la fonction :
f : x \mapsto 2x3 + 3x - 1




exercice 3

Fonctions simples
Déterminer deux primitives sur ]0,+\infty[ de chacune des fonctions suivantes :
f : x \mapsto \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{3}x^2
g : x \mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}} - x\sqrt{2}




exercice 4

Fonction rationnelle
Déterminer deux primitives sur ]0,+\infty[ de la fonction f : x \mapsto \dfrac{3x^3 + 2x^2 + 1}{x^2}.




exercice 5

Puissance
Déterminer deux primitives sur \mathbb{R} de f : x \mapsto 5 (4x - 1)6
et deux primitives sur ]1; +\infty[ de g : x \mapsto \dfrac{7}{(3x + 2)^5}.




exercice 6

Racine carrée
Déterminer une primitive sur ]-1; +\infty[ de f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x + 5}},
et une primitive sur ]2; +\infty[ de g : x \mapsto \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 8}}.




exercice 7

Primitives et dérivées
1. Soit g la fonction définie sur ]0; +\infty[ par g(x) = xracinex.
Calculer la dérivée de g sur ]0,+\infty[.

2. Soit f la fonction définie sur ]0; +\infty[ par f(x) = racinex.
Déduire de la première question une primitive de f sur ]0; +\infty[ .




exercice 8

Signe et variations d'une primitive
Soit f la fonction définie sur ]-3,+\infty[ par f(x) = \dfrac{x}{x + 3} et F la primitive de f sur ]-3,+\infty[ qui s'annule en zéro.
1. Etudier les variations de la fonction F sur ]-3; +\infty[.
2. Etudier le signe de F(x) sur [-3; +\infty[.
3. Soit g la fonction définie sur ]-3; +\infty[ par g(x) = F(x) - x.
    a) Démontrer que g est décroissante sur ]-3; +\infty[.
    b) En déduire que : si x > 0, alors F(x) < x.









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