Fiche de mathématiques

Les primitives

exercice 1

Primitives de fonctions polynômes
1. Déterminer des primitives sur $\mathbb{R}$ des fonctions suivantes :
x $\mapsto$ x
x $\mapsto$ x²
x $\mapsto$ x³
x $\mapsto$ -5

2. Déterminer des primitives sur $\mathbb{R}$ des fonctions :
x $\mapsto$ 2x
x $\mapsto$ -3x²
x $\mapsto$ 8x³

3. Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction :
x $\mapsto$ 8x³ - 3x² + 2x - 5

exercice 2

Primitives immédiates
1. Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de chacune des fonctions suivantes :
f : x $\mapsto$ 0
g : x $\mapsto$ 2
h : x $\mapsto$ x⁵

2. Déterminer toutes les primitives sur ]0,+ $\infty$ [ de chacune des fonctions suivantes :
i : x $\mapsto \dfrac{1}{x^2}$
j : x $\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$

3. Déterminer deux primitives sur $\mathbb{R}$ de la fonction :
f : x $\mapsto$ 2x³ + 3x - 1

exercice 3

Fonctions simples
Déterminer deux primitives sur ]0,+ $\infty$ [ de chacune des fonctions suivantes :
f : x $\mapsto \dfrac{3}{x^2} + \dfrac{1}{3}x^2$
g : x $\mapsto \dfrac{2}{\sqrt{x}} - x\sqrt{2}$

exercice 4

Fonction rationnelle
Déterminer deux primitives sur ]0,+ $\infty$ [ de la fonction f : x $\mapsto \dfrac{3x^3 + 2x^2 + 1}{x^2}$ .

exercice 5

Puissance
Déterminer deux primitives sur $\mathbb{R}$ de f : x $\mapsto$ 5 (4x - 1)⁶
et deux primitives sur ]1; + $\infty$ [ de g : x $\mapsto \dfrac{7}{(3x + 2)^5}$ .

exercice 6

Racine carrée
Déterminer une primitive sur ]-1; + $\infty$ [ de f : x $\mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3x + 5}}$ ,
et une primitive sur ]2; + $\infty$ [ de g : x $\mapsto \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 8}}$ .

exercice 7

Primitives et dérivées
1. Soit g la fonction définie sur ]0; + $\infty$ [ par g(x) = x racine

x.
Calculer la dérivée de g sur ]0,+ $\infty$ [.

2. Soit f la fonction définie sur ]0; + $\infty$ [ par f(x) = racine

x.
Déduire de la première question une primitive de f sur ]0; + $\infty$ [ .

exercice 8

Signe et variations d'une primitive
Soit f la fonction définie sur ]-3,+ $\infty$ [ par f(x) = $\dfrac{x}{x + 3}$ et F la primitive de f sur ]-3,+ $\infty$ [ qui s'annule en zéro.
1. Etudier les variations de la fonction F sur ]-3; + $\infty$ [.
2. Etudier le signe de F(x) sur [-3; + $\infty$ [.
3. Soit g la fonction définie sur ]-3; + $\infty$ [ par g(x) = F(x) - x.
a) Démontrer que g est décroissante sur ]-3; + $\infty$ [.
b) En déduire que : si x > 0, alors F(x) < x.

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