Fiche de mathématiques

Les primitives

I. Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ .
On appelle primitive de $f$ sur I toute fonction F dérivable sur I telle que, pour tout $x$ de I, $F'(x) = f(x)$ .

II. Propriétés

Toute fonction définie et continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I et k un nombre réel.
La fonction G définie sur I par G(x) = F(x) + k est encore une primitive de f sur I.

III. Primitives de fonctions usuelles

$f(x)$	I	F(x)
0	$\mathbb{R}$	$k$
$a$	$\mathbb{R}$	$ax+k$
$x$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{2}x^2+k$
$x^n$	$\mathbb{R}$	$\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+k$ , $n$ différent de -1
$\dfrac{1}{x^2}$	]- $\infty$ ,0[ ou ]0,+ $\infty$ [	$-\dfrac{1}{x}+k$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	]0,+ $\infty$ [	$2\sqrt{x}+k$

(où $k \in \mathbb{R}$ )

Primitives d'une puissance

$f = u^{n} . u'$ , alors $F = \dfrac{1}{n+1}u^{n+1} + k$ .
avec $k$ nombre réel et $n$ différent de -1.

Primitives de l'inverse d'une puissance

$f = \dfrac{u'}{u^{n}}$ , alors $F = -\dfrac{1}{n-1} \times \dfrac{1}{u^{n-1}} + k$ .
avec $k$ nombre réel et $n$ différent de 1.

Primitives de l'inverse d'une racine carrée

$f = \dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ , alors $F = 2\sqrt{u} + k$ .
avec $k$ nombre réel.

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