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Absence de suite annexe...

Posté par
OCARINA 11-09-07 à 22:45

J'ai (encore) un probléme dans un exercice avec une suite sours la forme recurrente et il faut donner sa forme explicite sans avoir de suite annexe à notre disposition...

Voilà l'énoncé:

soit (Un) définie par:

Uo= 1
Un+1= 1/3Un+n-1

1/ exprimer Un en fonction de n...

d'habitude il existe une suite (Vn) qui s'exprime avec (Un) mais là il n'y a rien...

Je sais ce que je dois obtenir par contre, je dois trouver:

Un= 19/4*1/3n+(6n-15)/4

Si quelqu'un pouvait m'expliquer ou me donner la marche à suivre se serait gentil

Merci d'avance,

Posté par
OCARINAre : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 22:48

Peut être avec une démonstration par recurrence je viens de penser O_O

Posté par
Nightmarere : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 22:48

salut

As-tu essayé en calculer les premiers termes voir à quoi ressemble ta suite?

Posté par
fusionfroidere : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 22:48

Salut ^^

Tu es sûre qu'on ne te demande pas plutôt de montrer que Un= 19/4*1/3n+(6n-15)/4 pour tout n ?

A ce moment, il suffit de faire un récurrence...

Mais bon je sais pas

Posté par
Nightmarere : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 22:55

Ou sinon on peut voir ça comme ça

3$\rm U_{n+1}=\frac{1}{3}U_{n}+W_{n} Avec 3$\rm W_{n}=n+1

On a :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3}U_{n-1}+W_{n-1}
etc... jusqu'à 3$\rm U_{1}=\frac{1}{3}U_{0}+W_{0}

En fait on a :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3}U_{n-2}+W_{n-2})+W_{n-1}
ie :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3^{2}}U_{n-2}+\frac{1}{3}W_{n-2}+W_{n-1}
On continue :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3^{2}}(\frac{1}{3}U_{n-3}+W_{n-3})+\frac{1}{3}W_{n-2}+W_{n-1}
ie :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3^{3}}U_{n-3}+\frac{1}{3}W_{n-3}+\frac{1}{3}W_{n-2}+W_{n-1}
etc...

Au final on a :
3$\rm U_{n}=\frac{1}{3^{n}}U_{0}+\frac{1}{3}\(W_{0}+W_{1}+...+W_{n-2}\)+W_{n-1}

On calcule la somme facilement (suite arithmétique) et donc U(n) découle aussi.

Posté par
OCARINAre : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 23:05

Oui je crois bien que ça marche :p

Uo= 19/4*1/3o+(6*0-15)/4
    =1

L'initialisation marche:

Maintenant on suppose que l'égalité est vrai au rang k et on démontre qu'elle est vrai au rang (k+1), on doit donc démontrer que Uk+1= 19/4+1/3k+1+ (6(k+1)-15)/4

Uk+1= 1/3Uk+k-1
        = 19/4*1/3k+1+1/3(6k-15)/4+k-1
        = 19/4+1/3k+1+ (6k-15+12k-12)/12
        = 19/4+1/3k+1+ (18k-27)/12
        = 19/4+1/3k+1+ (6k+6-15)/4
        = 19/4+1/3k+1+ (6(k+1)-15)/4

On a démontré que si l'égalité est vrai au rang k alors elle est aussi vrai au rang k+1 de plus elle est vrai au rang 1 donc elle est vrai
k d'ou n

Ca à l'air d'être bon, merci de votre aide^^

Posté par
OCARINAre : Absence de suite annexe... 11-09-07 à 23:10

Ah oui en effet ta solution est plus originale et plus élégante Nightmare Merci à vous

PS: fusionfroide tu avais raison c'est bien libellé comme ça


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