Bonsoir
je vous propose l'exercice de proba suivant :
on dispose de p boites et n allumettes toutes identiques , chaque allumette est magique et peut decider de rejoindre la boite qui lui plaira et il y a plus d'allumettes que de boites ( on supposera que n p ) . ( il est tout à fait possible qu'une même boite contienne toutes les allumettes )
Si on note X le nombre de boites contenant des allumettes ,lorsque toutes les allumettes ont fait leur choix , quel sera alors en moyenne le nombre de boites non vides ?
Bonjour,
à mon avis la condition ne sert à rien. Je trouve pour l'espérance de :
Bonjour Jandri,
Pour faire un test simple j'ai pri n=4 allumettes et p=3 boîtes :
P(X=1)=3/15
P(X=2)=9/15
P(X=3)=3/15
L'espérance de X donne E(X) =30/15=2.
En utilisant ta formule 3(1- (1- (1/3))^4)=65/27....sauf erreur de ma part
Bonjour flight,
je ne suis pas d'accord. Dans le cas n=4 allumettes et p=3 boîtes :
"chaque allumette est magique et peut décider de rejoindre la boite qui lui plaira" donc elle rejoindra la boite numéro 1 avec la probabilité 1/3.
De même pour les autres allumettes. Comme elles choisissent indépendamment, la probabilité que les 4 allumettes soient dans la boite 1 est égale à 1/3^4=1/81
C'est pareil pour les boites 2 et 3 : on en déduit P(X=1)=3/81=1/27.
Effectivement 😱 merci , je Jandri, je me suis fourvoye' dans un raisonnement à côté de la plaque
On a finalement :
P(X=1)=3/81
P(X=2)=42/81
P(X=3)=36/81
Et E=195/81
J'ai pu retrouver une formule complexe mais je ne suis pas arrivé à ton niveau de simplification :
E(X) =(1/pn) (kC(p, k) (-1)k-j. C(k, j). jn), la première somme va de k=1 à k=p et la seconde somme va de j=0 à j=k
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