Bonjour je suis en 1ere S et nous avions des exercices à faire pendant les vacances donc j'aimerais savoir si ils sont bons Merci beaucoup de bien vouloir verifier
PS: x=x et X=fois

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d'un petit parallélépipède rectangle dont le volume est de 576mm³.
On note y la hauteur; ses autres dimensions sont x et 2x (x et y en mm).

1) calculez y en fonction de x

x0
J'ai appelé le rectangle B      VB = 576mm³   y = hB    La base B1 a pour dimension L=2x l=x
VB = B1 X h   VB = B1 X y   B1 rectangle donc VB = L X l X y = 2x X x X y      576 = 2x² X y

y = 576/2x² = 288/x²


2) calculez la surface totale S(x), en mm², de ce parallélépipède rectangle en fonction de x.

S(x)= 2 X SB1 + 2 X SB2 + 2 X SB3 = 2 X 2x² + 2 X yx2x + 2 X xy
    = 4x² + 4x(576/2x²) + 2x(576/2x²) = x² + 230x/2x² + 1152x/2x²
    = 2x⁴/2x² + 2304x/2x² + 1152x/2x² = (2x⁴ + 3456x)/2x²
    = (2x(x³)+2x(1728))/2x(x)      

S(x) = (x³+1728)/x

3) x est nécessairement compris entre 3 et 12 mm. Etudiez le sens de variation de S sur l'intervalle [3;12] et déduisez-en la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale.

S'(x) = u'v-v'u/v²    S'(u/v) avec u=x³+1728 et v=x
S(x) définie sur l'ensemble [3;12] est dérivable sur ce même intevale comme quotient de fonction dérivable sur [3;12].
u'= 3x²   u= x³+1728  v'= 1  v= x    v²= x²
S(x)= (3x² X x -1 X (x³+1728))/x²  =  (3x³- x³-1728)/x²
3x³- x³ est positif et x² aussi
Si x [3;12] alors 3x³>x³    

S'(x) positif pour 3x³-x²>1728 donc S(x) monte

S'(x) négatif pour 3x³-x³<1728 donc S(x) déssend

Déduisons la valeur de x pour laquelle S(x) est minimale pour 3x³-x³=1728
2x³=1728     x³=1728/2   donc

x= racine cubique de 1728/2  Le problème est que ma calculatrice ne donne pas les racines cubiques donc je ne peut pas connaitre x...

Encore merci