Niveau BTS

cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début pério

Posté par
aMatheur 04-09-08 à 14:08

Slt à tous
je sollicite votree aide à tous pour résoudre ce pbm de maths financières qui me tracasse pour mon rattrapage. Voici l'énoncé:
un étudiant en sciences éco désire s'offrir un livre de référence pour son futur métier de banque et il doit économiser 40.000F. A cet effet il doit déposer tous les mois 500F et ce dès le mois prochain sur un compte rémunéré au taux de 6% avec capitaliation mensuelle des intérêts.
Qustions:
1) Dans combien de temps pourrat-il s'offrir son livre?
2) 2 ans +tard il hérite de 10.000F, combien de mensualités lui resté-t-il à verser s'il se sert de cet héritage?
Je vous remercie d'avance! Je suis en attente.

Posté par re : cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début 04-09-08 à 14:34

Je précise que je n'ai pas de formule toute faite pour t'aider mais d'après ce que j'ai fait sur excel, je dirai 31 mois pour la question 1)

Après, pour la 2), toujours d'après mes calculs, au bout de 24 mois, il possèdera 25407.79 F sur son compte et ainsi, au 26ème mois, il pourra se payer son livre, soit 2 mensualités à verser.

Désolé si je me suis trompé, mais selon ma logique, c'est ça

Posté par re : cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début 04-09-08 à 14:43

Bonjour aMatheur,
Soit i_A l'intérêt annuel et i_M l'intérêt mensuel. On a la relation :
1+i_A = (1+i_M)¹²
On dépose la somme S=500 francs à la banque au début du mois n°1. A la fin de ce mois, on aura un capital de S*(1+i_M).
Au début du mois n°2, on ajoute S. On a donc S+S*(1+i_M), soit S*[1+(1+i_M)].
A la fin du 2ème mois, on aura :
S*[(1+i_M)+(1+i_M)²].
Ala fin du nième mois on aura:
S* $\sum$ (de a=1 à n) (1+i_M)^a
Soit I=1+i_M. Le capital à la fin du nième mois est donc :
C = S*[(Iⁿ⁺¹/(I-1)]-1 = S*[(1+i_M)ⁿ⁺¹/i_M]-1
A partir de la, il faut déterminer n pour que C supérieur ou égal à 40 000.
Bon courage!

Posté par re : cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début 04-09-08 à 21:14

Bonsoir,

on appelle $3$ \textrm V_n$ la valeur acquise de $3$ \textrm n$ annuités ou mensualités versées à intervalle régulier et capitaliséées à un taux d' intéret composé :

a ou  m  = annuité ou mensualité versée à intervalle régulier.
i= taux d'intérêt, en général annuel ou mensuel.
n= nombre d'annuités ou de mensualités versées sur la période de capitalisation

$3$ V_n = m \times \frac {(1+i)^n - 1}{i}$

m remplacé par a en cas de versement annuel.

dans l'énoncé  Vn = 40000
i= (1,06)^(1/12). (6% annuel.)
n= l'inconnue.
m = 500 (mensualité de 500.)

1°) Résoudre alors l'équation en prenant une valeur approchée de  i.

2°)
il faut calculer Vn (sur 2 ans)  sachant que :
i= (1,06)^(1/12)
n = 24 (2ans = 2 x 12 mois.)
m = 500

ajouter 10 000 à Vn (Vn +10 000).
retrancher (Vn +10 000) à 40 000 => 40 000 -(Vn + 10 000) ,on note ce résultat R (reste).

n est donc l'inconnue avec :

$3$ R = m \times \frac {(1+i)^n - 1}{i}$

résoudre l'équation, en déduire n, n arrondi à l'entier supérieur et conclure.

Posté par re : cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début 04-09-08 à 21:18

erreur :
i = (1,06)^ (1/12) - 1.

Posté par merci pour vos réactions 06-09-08 à 10:52

Merci à Foreverson, Marcv 76 et Gus
je n'ai pas pu résoudre les équations que vous avez proposées, je comptais me servirde ma table financière pour avoir les valeurs proches de i mais il manque des pages à ma table,... elle est un peu vieille quoi... ne vous moquez pas de moi. En fait les maths c pas mon truc, je prépare just un exam et ça doit intervenir

Posté par re : cacul du nbre de versement d'une suite d'annuités de début 06-09-08 à 19:15

bonjour,

pour ton 1er problème, ma réponse à la question 2°) est fausse puisque que je ne tiens pas compte du capital acquis sur 2 ans qui produit encore des intérêts chaque mois.

Il faut aussi regarder le cours sur la somme d'une suite géométrique de raison (1+i) pour retrouver la formule Vn.

donc pour la 2°) :

il faut calculer Vn (sur 2 ans)  sachant que :
i= (1,06)^(1/12) - 1
n = 24 (2ans = 2 x 12 mois.)
m = 500

ajouter 10 000 à Vn (Vn +10 000).
C = Vn + 10 000
Il faut distinguer les intérêts versés sur le capital C de ceux acquis lors des prochains versements de 500 (F).
lors du prochain versement de la mensualité de 500 (F) le capital C (si l'héritage est placé? , sinon Vn) aura produit des intérêts donc :

$2$ \textrm C ou \textrm V_n \times (1+i)^n$

si C = 100 et taux mensuel = 1 %
lors du prochain versement de 500 C est égal à 101 ( 100 => C + 0,01 (1%) X C) => C + 0,01 C =C X (1,01).
lors du 2ème versement 101 X 1,01

on ajoute aussi la valeur des mensualités versées :   $2$ m \times \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

on doit donc résoudre :

$2$ \textrm C \times (1+i)^n + \textrm m \times \frac{(1+i)^n - 1}{i} = 40000$

pour la résoudre multipliez par i dans chaque membre de l'équation pour supprimer le dénominateur i : ...... = 40000i.

puis voir que   $2$ \textrm m \times [(1+i)^n-1] = m \times[(1+i)^n] - m$

factoriser avec $2$(1+i)^n$

on trouve donc $2$(1+i)^n = \frac {40000i + m}{\textrm facteur}$

donc $3$ n =\frac {ln (\frac {40000i + m}{\textrm facteur})}{ln(1+i)}$

pour le 2 ème problème, il faut certainement le reposter dans un autre topic.