f est la fonction définie sur[0;1] par f(x)=x².
Dans un repère, on note E la partie du plan délimitée par la courbe C représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du problème est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela, on divise l'intervalle [0;1] en n intervelles de même longueur (n*) et on construit le rectangles comme il est indiqué sur les figures suivantes dans le cas où n=5.
On note S_{[/sub]n la somme des aires des rectangles contenus dans E et T[sub]}n la somme des aires des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, S_{[/sub]nST[sub]}n.

1) Calculer S_{[/sub]5 et T[sub]}5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
2) a) Vérifier l'égalité:
S_{[/sub]n=1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]
b) De même vérifier l'égalité:
T[sub]}n=1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]
c)Démontrer alors que T_{[/sub]n-S[sub]}N=1/n.
3) On admet que pour tout n1,
1²+2²+...+n²=(n(n+1)(2n+1))/6.
a)A l'aide de cette égalité, donner une expression de T_{[/sub]n en fonction de n.
b)Démontrer que la suite (T[sub]}n)_{[/sub]n1 converge. Quelle est sa limite?
c) Déduire de la question 2. c) que la suite (S[sub]}n)[sub][/sub]n1 converge. Quelle est sa limite?
d) Conclure l'étude. Quelle est la valeur de S?

merci de votre aide par avance.