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Calcul vectoriel

Posté par Melandine (invité) 29-08-07 à 18:32

Voici un énoncé  que j'aimerais partager avec vous, afin que vous puissiez m'aider et, surtout, me corriger dans mes réponses :

"On plonge un cube ABCDEFGH dans un repère orthonormé dont l'origine O(0;0;0) se trouve au centre du cube et dont les arrêtes ont une longueur de 2.
a. Représenter ce cube en perspective cavalière à l'échelle de votre choix en tenant compte des coordonnées ci-dessous :
A(1;-1;1), B(-1;-1;1), C(-1;1;1), D(1;1;1), E(1;1;-1), F(1;-1;-1), G(-1;-1;-1), H(-1;1;-1)

b. Placer M, milieu de [CF], dans ce cube.
Calcul de M, milieu de [CF] <=> x_M=\frac{x_C+x_F}{2}=\frac{-1+1}{2}=0
<=> y_M=\frac{y_C+y_F}{2}=\frac{1-1}{2}=0
<=> z_M=\frac{z_C+z_F}{2}=\frac{1-1}{2}=0
=> M(0;0;0) = origine du repère

c. Calculer les expressions suivantes :

1)\vec{CM} :
\vec{CM}=(x_M-x_C;y_M-y_C;z_M-z_C) \\ =(O+1;0-1;0-1) \\ =(1;-1;1)

2)\frac{1}{2}.\vec{EH}-\vec{HC} :
(Je suis totalement coincée pour celle-ci :/)

3)\vec{CF}(.)\vec{CE} (=produit scalaire) :
\vec{CF}(.)\vec{CE}=(x_CF.x_CE+y_CF.y_CE+z_CF.z_CE)Calcul de \vec{CE} : en appliquant la loi de Chasles, qui dit que si A, B et C sont trois points de l'espace, on a :
\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC} <=> \vec{EH}+\vec{HC}=\vec{CE}
=> règle d'addition : \vec{EH}+\vec{HC}=(x_EH+x_HC;y_EH+y_HC;z_EH+z_HC)
=(-2+0;0+0;0+2) =(-2;0;2) =\vec{CE}
=> \vec{CF}(.)\vec{CE} = ((2.(-2))+(-2.0)+(-2.2))
=(-4+0-4) =-8
(est-il seulement possible d'arriver à un résultat négatif ? :/)

4)\alpha, l'amplitude de l'angle entre \vec{CF} et \vec{CE} :
Calcul de ||\vec{CF}|| = \sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2+(z_F-z_C)^2}
= \sqrt{(1+1)^2+(-1+1)^2+(-1-1)^2}
= \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}

Calcul de ||\vec{CE}|| = \sqrt{(x_E-x_C)^2+(y_E-y_C)^2+(z_E-z_C)^2}
= \sqrt{(1-1)^2+(1-1)^2+(-1-1)^2}
= \sqrt{0+0+4} = \sqrt{4}
= 2

=> \vec{CF}(.)\vec{CE} = ||\vec{CF}||.||\vec{CE}||.cos(\alpha)
<=> -8 = \sqrt{5}.2.cos(\alpha)
<=> \frac{-4\sqrt{5}}{5} = cos(\alpha)

(Dois-je m'arrêter là ou ai-je manqué une étape ultérieure ?)

Voilà, "c'est tout" pour cet énoncé :] Merci à ceux qui auront le courage de tout lire et de se pencher sur mon problème !

Posté par
Coll Moderateurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:05

Bonjour,

b) oui, M est bien le centre du cube, donc de mêmes coordonnées que l'origine O

c1) il y a une erreur dans la troisième coordonnée de \vec{CM}
(le calcul précédent la dernière ligne est correct)

c2) quelles sont les coordonnées de \vec{EH} et celles de \vec{HC} ?

c3) erreur de signe dans le calcul du produit scalaire

Posté par
Coll Moderateurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:09

Pour les questions c3 et c4 je te conseille de chercher d'abord les "coordonnées" (les composantes) des vecteurs \vec{CF} et \vec{CE}. Les deux calculs seront beaucoup plus simples que ce que tu as fait (qui est très "méritoire" ).

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:12

Bonjour,

Le centre du cube est bien l' origine du repère.

Pour le calcule des coordonnées de \vec{CM}: une petite erreur sur le z (-1 au lieu de 1)

Calcule de \frac{1}{2}\vec{EH}-\vec{HC}: on calcule les coordonnées des vecteurs:

\vec{EH}(-2,0,0), \frac{1}{2}\vec{EH}(-1,0,0), \vec{HC}(0,0,2)

d' où: \frac{1}{2}\vec{EH}-\vec{HC}(-1,0,-1)

Pour le calcul du produit scalaire:

\vec{CF}(2,-2,-2) et \vec{CE}(2,0,-2)

D' où \vec{CF}.\vec{CE}=4+0+4=8 le produit scalaire est ici positif (l' angle géométrique des 2 vecteurs est aigu) mais il peut-être négatif (angle géométrique obtus).

\vec{CF}.\vec{CE}=||\vec{CF}||.||\vec{CE}||.cos\,\alpha

8=\sqrt{12}.\sqrt{8}.cos\,\alpha

On en tire cos\,\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:13

Bonjour Coll et pardon

Posté par
Coll Moderateurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:16

Bonjour cailloux

Il n'y a strictement aucun problème
Nous avons répondu simultanément et tu n'as pas lésiné sur le LaTeX !
Je te laisse avec Melandine

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:18

D' ailleurs une erreur:

\frac{1}{2}\vec{EH}-\vec{HC}(-1,0,-2)

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 19:26

Au fait Melandine, tu as terminé ton calcul de dérivée seconde ici: (Double) dérivation ?

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 20:18

Un grand merci à vous, Coll et cailloux

cailloux, j'ai juste une question : pour la question c2) (produit scalaire), comment arrives-tu à \frac{1}{2}.\vec{EH}-\vec{HC}(-1,0,-1) ?

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 20:20

Ha, c'est bien ce que je pensais XD
Désolée, je n'avais pas vu ta réponse ^^

Non, pas encore... je bûche toujours. :/ Il faut dire que j'ai pas mal à faire encore en ce qui concerne mon travail de vacances, mais je compte me remettre à cette dérivée demain sans faute.

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 20:21

Re,

Voir 19h18, Melandine

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 20:54

C'est tout vu, encore merci

Une dernière chose : comment arrives-tu à \sqrt{12} pour ||\vec{CF}|| ? (Personnellement, j'arrive à \sqrt{6}.. )

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 20:57

Ouuups ! Pardon, je n'arrive non pas à \sqrt{6}, mais bel et bien à 3

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 21:00

Argh, autant pour moi... je viens de trouver la réponse à ma question. ^^" (Désolée pour les trois posts d'affilée X'3) Une bête erreur de ma part

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:11

Re,

Tu peux encore déterminer une valeur approchée de \alpha. La calculette donne 35°3 à 10^{-1} degré près.

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:23

D'accord... Pour trouver cette valeur approchée, ai-je raison d'effectuer arc cos (\frac{2\sqrt{2}}{{2\sqrt{3}}) ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:31

Ah non! ( d' ailleurs \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}).

Tu dois chercher la mesure de l' angle (aigu) dont le cosinus vaut \frac{\sqrt{6}}{3}

Soit taper sur la calculette cos^{-1} (\frac{\sqrt{6}}{3})

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:32

Assure toi que ta calculette est en mode "degré"

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:35

Excuse moi Melandine, j' avais zappé ton "arc" devant "cos".

D' où oui à 22h23;

Posté par Melandine (invité)re : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:52

Ainsi donc le sujet est clôt. ^^

Merci d'être toujours là, à l'affût, prêt à répondre à mes questions tordues ! Bonne fin de soirée. :]

Posté par
cailloux Correcteurre : Calcul vectoriel 29-08-07 à 22:55

Bonne soirée à toi.


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