On démontre facilement qu'un rayon lumineux fait, lors d'une réflexion avec un miroir,  un angle de 1° de plus que lors de la réflexion précédente avec l'autre miroir.
Au lieu de faire subir au rayon une multitude de déviations, on peut représenter le problème avec un seul rayon rectiligne et des miroirs qui font entre eux un angle de 1° et compris entre un cercle de rayon R et un cercle de rayon 2R.(voir croquis joint).En effet, chaque miroir est espacé de x à une extrémité et 2x à l'autre.
Le but est que le rayon rectiligne rencontre le maximum de miroirs.
L'angle au centre de l'arc AB est égal à 2*arcos(R/2R)=2*60=120°.
Le rayon coupe 1 miroirs par degré , donc 120 miroirs.
Le nombre maximum de réflexions du rayon lumineux est donc égal à 120.

Bonjour
Le nombre maximum de réflexion est 2 fois 60 moins un soit 119.

Eh bien, le mois de février démarre très fort !!!

Si j'ai bien compris, l'angle d'attaque du rayon lumineux prend 1 degré à chaque réflexion.
La longueur du miroir peut être infinie de part les données.
(L = x/2sin1).
Ainsi, pour que le nombre de réflexions soit maximal, il semble que le rayon doit faire un aller retour entre les deux miroirs, et donc être droit à mi-chemin.
Avec un angle d'attaque de 1 degré j'obtiens :
2 * 90 = 180
180 -1 (le dernier qui s'échappe) = 179.
Ma réponse est 179 réflexions.

A+

Bonjour,


Si on part du fond de l' "entonnoir" on a un parcourt "sortant" p1, p2, p3...
qui équivaut à p1, p2, p3'...

Dans la figure suivante, on a:
R = x/sin(1/2°)
R/sin(B) = R/2/sin(A) avec B = 90.5°
donc A = 29.999°, d'où C = 59.501°

Ceci correspond à un maximum de 60 réflexions pour le rayon "sortant" et autant pour le rayon "entrant".

Ma réponse: 120 réflexions au maximum.
sauf erreur de ... réflexion!

A+

aucun

Bonjour !

Le rayon lumineux se réfléchit au plus 121 fois sur les miroirs.

Au plaisir.

Je propose 120 réflexions, pour un rayon entrant formant un angle de 60° par rapport à la verticale.

Si le rayon entrant va frapper le mirroir de dessus (à son extrémité), il sera reflété 60 fois "vers la gauche". A chaque réflection, on se rapproche de 1° de de la verticale (vu que chaque mirroir fait un angle de 0.5° avec l'horizontale). Après la 60ème réflexion (contre le mirroir du bas), le rayon est vertical et, lorsqu'il atteint le miroir du haut, il est reflété vers la droite et trace un parcourt symétrique à celui qu'il a suivi jusque là, pour 60 réflexions supplémentaires.

Si le rayon entrant forme avec la verticale un angle plus grand que 60° (en fait à partir de 60.5°), celui-ci s'échappe par la gauche (et on a donc un nombre plus petit de réflexions). Si le rayon entrant forme avec la verticale un angle plus petit que 60°, le rayon repart vers la droite après un nombre plus petit de réflexions et on n'a donc pas une solution optimale.

bin yen a une infinité non?

Salam,
    Rayon horizontal vous dites?

Salut,

Je pense que le maximum est de 121 reflexions.

L'idee est la suivante (j'ai essaye de faire un schema, ci-dessous, pour un angle de 10 degres) : au lieu de considerer que le rayon est reflechi sur les deux miroirs, on considere qu'il traverse -sans deviation- un reseau radial de "lames transparentes".  

Les deux problemes sont equivalents mais cette nouvelle representation est plus intuitive. On voit que l'on va traverser un nombre maximum de "lames" (en bleu sur le schema) avec un rayon lumineux (en rouge) tangent au cercle de petit rayon en A₁. J'ai aussi represente un autre cas remarquable d'un rayon (jaune) passant par A₁ et B₁.

Les deux cercles sont concentriques et le rapport des rayons vaut 2.

Dans le cas du rayon lumineux jaune (cas non maximal bien que remarquable), celui-ci coupe le plus grand cercle selon un angle avec l'axe des abscisses tel que cos() = cos(0.5)/2, c'est a dire = 60.001 degres. Le rayon coupe donc toutes les lames avec un angle compris entre - et , i.e. -119/2, -117/2, ..., -1/2, 1/2, 3/2, ..., 119/2 degres. Soit un total de 120 lames transparentes ou bien reflexions.

Dans le cas maximal (rayon rouge), les lames traversees sont celles formant un angle -60, -59, ...., -2, -1, 0, 1, ..., 60 degres avec le vecteur OA₁. Soit 121 lames transparentes traversees ou de facon equivalente 121 reflexions sur des miroirs.

A++ et merci pour l'enigme !

la longueur de chaque miroir est x/2tan0,5°>57x.
L'angle du rayon lumineux avec l'axe de symétrie des miroirs augmente de 1° à chaque réflexion.
Le calcul montre (merci Excel) qu'un rayon faisant un angle de 30° avec cet axe, et attaquant le bord du miroir ne ressort pas de l'autre coté: au bout de 60 reflexions, il sera perpendiculaire à l'axe, et repartira pour un trajet symétrique, soit un total de 120 reflexions

Bonjour,

> Voir mon 1er schéma :

Si j'ai bien compris, il faut que le rayon fasse "demi-tour" en arrivant pile du côté de "x" : le rayon bleu entrant fait demi-tour et le rayon rouge sort symétriquement au bleu.


> Voir mon 2ème schéma :

Pour savoir comment le rayon va se réfléchir, on duplique les miroirs en cercle en gardant l'angle initial de 1° entre chaque miroir. Alors, en traçant la verticale du côté de "x" (trait orange), on obtient l'image de toutes les réflexion.


> Voir mon 3ème schéma :

Pour connaître le nombre de réflexion, il faut déterminer l'angle alpha. J'ai trouvé que si l'angle entre les miroirs est de 1°, alors alpha vaut env. 60,00504° (je ne sais pas écrire la relation entre les angles en latex).

Le dernier miroir que mon rayon orange a coupé était positionné à 59,5°. Donc il a coupé en tout 60 miroirs. Avec les 60 symétriques, on obtient un total de 120 réflexions.

Réponse : 120 réflexions

J'ai fait en sorte que le rayon entre dans le trapèze puis rebrousse chemin pour ressortir du côté évasé selon un parcours symétrique dont l'axe n'est autre que l'axe de symétrie du trapèze.
J'ai fait l'étude pour la deuxième partie du parcours. Le trajet du rayon lumineux définit un certain nombre de triangles, numérotés de gauche à droite.
Si on considère le triangle n1, on a :
S_n=2n-1 ; ; ; x_n+1=x_n.    (avec x₁=x) ; c_n=x_n.

Soit L la longueur d'un miroir, on a
Et soit
Tant que C_n<2L, le rayon reste dans le trapèze. La solution est donc n tel que C_n2L. Et je trouve n=60.

Donc au maximum, je pense que le rayon aura fait 120 réflexions.

une infinité

bonjour et merci pour cette énigme qui m'a empeché de dormir hier soir!

Je suis parti du principe que le rayon devait arriver du petit coté x parfaitement perpendiculaire au miroir du bas pour être certain qu'il ferait le même chemin inverse, et du coup doubler son nombre de reflexion.

ainsi, l'angle d'attaque commence à 29.5° (je vous passe les calculs de tangente et de variation de l'espace entre les miroirs) et finit en bout pile à 90°

Bref, j'ai compté 60 rayonnement allé, soit 119 aller retour
(en effet, là dernière reflexion ne s'effectue qu'une seule fois!)

J'espère que l'énergie dépensée à la résolution de cette énigme m'apportera un smiley!

a bientot!

120

Je trouve un nombre maximal de réflexions de 53

Je ne mettrai ma démo que si c'est juste... je me suis calée sur la sortie du rayon, et j'ai obtenu une espèce de suite qui m'amène en 53 rebonds pas loin de l'entrée. Je peux aussi donner le point d'entrée du rayon, et son angle d'incidence, mais ce n'est pas demandé.
Merci pour l'énigme.

Sans être sûre à 100% je tente comme réponse 121 reflexions au maximum avec un angle d'incidence sur le 1er miroir de 60°.
en tous cas je ne pense pas être très loin, mais j'ai quelques doutes quant à la précision de mes calculs.

Bonsoir,

Bon j'ai enfin trouvé le temps de plancher sur cette très belle énigme.
Joli problème de "billard" dont la réponse tient... dans un rapporteur !

Plutôt que de considérer une ligne brisée comprise dans le secteur angulaire de 1° défini par deux miroirs, l'astuce consiste à "accoler" autant de miroirs que nécessaire (obtenus les uns par rapport aux autres par symétrie axiale selon un des miroirs -toujours le même-). Sur la figure ci-dessous (en prenant 2° au lieu d'un pour une meilleure lisibilité) un polygone rose représente l'espace compris entre deux miroirs, la droite rouge le rayon lumineux et les pointillés jaunes les deux premières réflexions réelles (les pointillés gris confirment la validité de l'astuce...). Par ailleurs, pour optimiser je considère que l'entrée se fait à une extrêmité du miroir.

L'ensemble des miroirs est compris entre deux cercles concentriques (ou homothétiques) de rayon R et 2R (pour avoir x et 2x). Il s'agit donc de trouver un segment le plus long possible contenu entre ces deux cercles (si ce segment entre dans le petit disque, le rayon sort par la partie d'écartement "x" et si ce segment sort du grand disque, le rayon ressortira par l'entrée d'écartement "2x"). On montre que nécessairement le segment sera tangent au cercle intérieur.

Reste à trouver la tangente, ce qui est très simple via un peu de géométrie très élémentaire via les angles et cercles (voir 2nde figure). Il faudra un d'attaque (ou d'entrée) de °.
Le point de tangence a lieu pour une mesure d'angle au centre de 60° ce qui équivaut à 60 miroirs accolés. A partir de là, le rayon lumineux rebrousse chemin et effectue exactement le même trajet en sens inverse pour sortir du grand disque pour une valeur d'angle au centre de 120° (soit 120 miroirs).

De l'entrée (miroir n°0) à la sortie (miroir n°120), il y a donc exactement 121 points "d'impact" soit réflexions.
_{(60 réflexions à l'aller, le demi-tour ("à 90°") et 60 réflexions en sens inverse pour ressortir exactement avec le même angle qu'à l'entrée)}

On peut même calculer la longueur parcourue entre les deux miroirs par ce rayon lumineux... sauf erreur elle vaut exactement soit

Merci pour cette énigme.

PS: Ci-dessous : La figure géométrique simple permettant de justifier la tangente et les valeurs annoncées des angles :

Bonjour,

ne manque-t-il pas une donnée du genre "angle incident du rayon lumineux" ou une loi de réflexion du rayon lumineux ?

N'étant qu'à ma 2ème participation, j'avoue que je vais attendre les résultats pour voir si ma 1ère impression est la bonne : pas faisable sauf si l'on fait des hypothèses complémentaires au texte du Challenge.

il faut que le rayon fasse un trajet aller-retour entre les deux miroirs pour obtenir un maximum de reflexions (le rayon entre et ressort du côté d'écartement 2X).
d'autre part, l'angle d'incidence diminue de 1 degré à chaque réflexion et il opère un demi-tour pour la valeur 0,5 degré.
j'ai donc procédé à une résolution graphique en partant du côté d'écartement X où j'ai dessiné le demi-tour puis les réflections jusqu'à la sortie côté 2X (les réflexions aller ont été dessiné par symétrie)
ma réponse est 120 réflexions.
mon fichier gif donne une idée mais ne peut pas être vérifié.
je tiens à disposition un fichier dao au format dwg ou dxf.

une infinité

Je crois qu'on pouvait en faire un de plus.... 54 en tout. Si c'est pour commencer le mois avec un poisson, j'aime autant m'être plantée complètement que d'avoir oublié un rebond

Bonjour,

Je trouve un maximum de 121 réflexions pour le rayon lumineux compte tenu des conditions décrites dans l'énoncé.

bonsoir
En effet ma méthode est trés compliquée que j'ai mal à l'expliquer mais je crois bien qu'elle m'a conduit à la bonne réponse.
Ma réponse est 119 reflexions .

Merci à tous de votre participation à cette énigme.

Bonjour,

Ah, le problème des piquets et des intervalles : Les 119 ou 121 avaient pourtant bien réflechi...

120 n'est pas une infinité...

Philoux

Rhaaaa le rayon repart en sens inverse et sort là où il est entré !!!! Je m'en veux, car j'avais bien vu qu'il risquait de ressortir trop vite, mais j'ai fait tous les calculs (avec des schémas du genre de celui de kiko) en l'obligeant à sortir au bout, avec un angle de 0.5 degrés)

Pas de regrets, la recherche a été passionnante. Dommage tout de même de démarrer à -1

Bonjour Philoux

Salut borneo

Une énigme qui ne manquait pas de reflexion....

Philoux

Bonjour,
j'ai fait à peu près le même raisonnement et la même figure que Nofutur et d'autres mais sur une grande feuille avec tous les intervalles. On a 60 degrés au milieu à l'axe de symétrie bien sûr. Si on compte le nombre de miroirs "traversés" on trouve 119 et non 120 !
On entre à ras du miroir numéro 0 et on ressort à ras du numéro 120 soit 119 miroirs "traversés".Manpower a fait le bon dessin mais a compté les 2 extrêmes ce qui n'est pas.
La réponse est bien 119 comme l'a indiquée également  master_och.
Puisea, peux-tu réexaminer minutieusement la solution car la réponse me semble bien 119.

Ben moi aussi je vais défendre ma solution (et celle de Pierre Carré, Torpedo, Manpower et Vince 909)
Je n'ai pas résolu le problème avec un cercle, mais en utilisant exel, j'ai calculé pour chaque impact la distance qui séparait de l'extremité des miroirs, et je trouve bien un nombre impaire de solutions, et non pair (61+60=121). d'aileur je trouve que le rayon passe deux fois par chaque point de reflexion sauf le 61ème.
je joint en image mon fichier excel (en plusieurs parties car trop grand)
et contrairement à goupi1 je ne vois pas pourquoi on ne pourrai compter les 2 extrémités.

Quel suspens !

119 ? 120 ? 121 ?

qui dit mieux ?

Philoux

Salut Youpi

Philoux

Bonjour,

en se référant à la réponse de notre champion en titre Nofutur2 et à d'autres, nous sommes bien tous d'accord sur les 120°.
C'est ensuite que le problème des piquets et des intervalles intervient (enfin, il me semble). En effet je ne suis pas d'accord avec "Le rayon coupe 1 miroir par degré, donc 120 miroirs" car dans cette résolution géométrique la première réflexion se fait sur le bord du mirroir placé à 0° (l'angle d'attaque de 30° se mesure à partir de là). Donc, sauf erreur, entre 0° et 120° il y a bien 121 refléxions.

A suivre...

_{PS: D'accord avec philoux 120 n'est pas une infinité !}

120 n'est plus une infinité !

salut manpower !

Philoux

Salut à tous,
il ne s'agit pas de défendre sa solution à tous prix mais simplement LA solution.
Il semble que je me sois trompé car le nombre de réflexions est forcément pair par symétrie envers les 2 miroirs (axe de symétrie entre les 2 miroirs).
Je n'ai cependant pas encore tout à fait compris pourquoi je ne compte que 119 miroirs "traversés" quand on "déploie" les miroirs sur 120 dedrés. Je vais y réfléchir.

Je ne suis pas d'accord sur la parité pour moi c'est impair car il n'y a pas de symétrie par rapprt à l'axe! dans ce que j'ai fait le rayon repart exactement par le même chemin en sens inverse car il arrive au bout perpendiculairement au miroir.

PS: Salut Philoux ... Vu que tu n'as pas participé à ce challenge quel est ton avis sur le problème car visiblement il y a débat sur la solution officielle.

Rebonjour,

je ne crois pas que la symétrie influe sur la parité du nombre de réflexions car si l'on admet que le chemin est parfaitement symétrique le demi-tour (qui est son propre symétrique) (en rouge) ne comptera qu'une fois... donc le nombre de réfléxions est impair (voir figure). Par ailleurs il faut évidemment compter les "bords" (entrée et sortie).

Sinon, bien vu philoux pour l'infinité... je crois que j'avais les yeux collés

oops la figure donc...

Heu Manpower, on ne compte pas les chemins mais les impacts de reflexion!

Vu que tu n'as pas participé à ce challenge quel est ton avis sur le problème car visiblement il y a débat sur la solution officielle.

Oh là Youpi !

Je ne vais pas avoir l'outrecuidance de la "ramener" alors que je n'ai pas participé à cette énigme.

Mais je t'assure que je l'ai cherché et, cette nuit (insomnie oblige) j'ai pu y consacré du temps que le week-end chargé m'empêchait; cependant, comme j'aime le faire quand le pb est un peut trop "touchy", je procède comme le faisait René (Descartes de son nom ) : je cherche à résoudre un pb plus simple et je tente de le complexifier (comme pour les JFF que je crée).

Ainsi, je serais plutôt de ton avis quant au nombre impair de réflexions.

En effet, pour un angle de miroir de 10° et 5° je trouve, avec SQN, des nombres impairs de réflexions (cf. image attachée).

Mais je peux me tromper...

Si cette énigme avait duré un jour de plus, le temps de confirmer les 2 essais ci-dessous, j'y aurai répondu avec un nombre impair...

Philoux

j'ai l'impression que pour certains :

réflexion = action de se refléter = impact (Youpi)

réflexion = rayon réfléchi

mais dans les deux cas, si on considère le rayon incident qui n'est pas une réflexion, on devrait trouver un nombre impair...de reflexions

A moins de me planter lamentablement en n'ayant pas assez réfléchi

Philoux

Je te rejoins pour la parité, mais comme tu dis on peux se tromper !
Pour le moment ce qui me gène c'est que je ne vois pas ou est l'erreur dans ce que j'ai fait.
Même si j'utilise la méthode de Nofutur2 je retrouve 121 car comme dit Manpower :"entre 0° et 120° il y a bien 121 refléxions."
En fait le point de tangence de la droite avec le petit cercle tombe pile avec une reflexion sur le miroir (qui correspond à l'impact 61 dans mon tableau excel) d'où le nombre impaire.
Le pire c'est qu'initialement je cherchais une solution pair avec une symétrie par rapport à l'axe horizontal, et c'est en utilisant excel que je me suis apperçue que la solution optimale n'était pas symétrique.
J'attend donc d'autres avis pour réussir à comprendre ce qui cloche.

En effet la méthode de nofuture me plait beaucoup je croit que c'est la plus simple mais la réponse 120 n'est pas la bonne reponse car 120 est le nombre d'angles est je ne suis pas d'accord que le nombre d'angles est égale au nombre de miroires le nombre de miroires est égale au nombre d'angles +1 donc la bonne reponse est 121.
j'aimerais bien que celui qui a corrigé me répond.merci
d'autre part j'ai repondue 119 à cause des calculs non précis qui m'ont conduit à deduire que le rayon depasse la deuxiéme extrémité d'une valeur prés de 10^-6.(c'est dômage de perdre 1 point à cause d'une faute pareil mais j'aurais dû douté en tout cas )  

Bonjour Puisea !

La solution proposée par NoFutur ne convient pas !
Il y a bien un maximum de 121 réflexions sur les miroirs.
Un nombre impair de réflexions d'impose d'ailleurs ... avec un peu de réflexion.
Inutile de reproduire ma solution ici, elle est semblable à celle proposée par Manpower.

Il serait donc utile de revoir le premier classement de ce mois de février.
Sans aucun doute, une bonne lecture des diverses réactions devraient rétablir la vérité me semble-t-il.

Au plaisir.