X  ne peut prendre que la valeur 16 (carré de 4). Si j'ajoute 2009, j'obtiens 2025 (carré de 45).

Bonjour,

On cherche deux nombres entiers a et b tel que b²=a²+2009 soit b²-a²=2009 avec a<12000 (même pas de piège dans la valeur limite... bizarre ! Ai-je bien compris ?)

Un programme (je n'ai pas mieux en si peu de temps), donne une unique solution :
a=4 et b=45, soit l'égalité 45²=2025=4²+2009.
^{(La solution d'après (140;147) est exclue car dépassant largement les 12000 carreaux)}.

Conclusion: 4²= est le nombre de carreaux cherché.

Merci pour cette première énigme de mai.

Une seule possibilité : prendre 16 carreaux au départ.

soit n le nombre de carreaux du 1er carré, et p celui du second carré, on a donc
X=n² et X+2009=p²
En soustrayant, on obtient :
2009=p²-n² soit 2009=(p-n)(p+n)
2009 se décompose en produit de facteurs premiers : 7²x41
Donc il y a au plus 5 possibilités :
1) p-n=1 et p+n=2009 ce qui implique 2n=2008 et donc n=1004 : impossible 1004²>12000
2) p-n=7 et p+n=287 ce qui implique 2n=280 donc n=140 : impossible 140²>12000
3) p-n=49 et p+n=41 ce qui implique 2n=-7 : impossible
4) p-n=41 et p+n=49 ce qui implique 2n=8 donc n=4 et p=45, c'est possible, il en a pris 16 au départ pour faire un carré de 4x4, en ajoutant 2009 carreaux, il en a 2025 pour faire un carré de 45x45
5) p-n=2009 et p+n=1 ce qui implique 2n=-2008 impossible.

Bonjour,

Je trouve la valeurs suivante pour X :

16 (carré de 4) + 2009 = 2025 (carré de 45)

Il en existe d'autres, mais le stock du carreleur est insuffisant...

Merci pour l'éngime !

Bonjour, x = 16

Merci pour l'énigme

salut puisea

Je trouve X = 16 carreaux solution unique ...

Mais je peux me tromper !

romain

Bonjour.
Je pense que la solution est unique : X=16.
A+

je trouve une unique solution qui est :
- le nombre  de carreaux qu'il prende est 16, ainsi il  
   peut former un carré de 4 carreaux sur 4.
- ensuite en ajoutant 2009, il a en tout 2025 carreaux
   qui forment un carré de 45 carreaux sur 45.

Merci pour cette énigme!

Je trouve une solution : X=16.

je trouve une seule solution X=16
et donc X+2009=2025=45²

merci pour l'énigme

La seule réponse est X = 16

Une seule solution :
X=16

Salut !

Il n'y a qu'une seule possibilité qui est X=16 carreaux.

Il y aurait d'autres solutions constructibles par notre artisan s'il avait plus de carreaux (et aussi plus de temps...) à disposition. En effet, notons et on a alors l'égalité où et sont des entiers naturels.

Décomposition en facteurs premiers de 2009 = 1.7.7.41

Cela nous conduit à plusieurs valeurs possibles de a et b, mais seule la solution (3) ci-dessous vérifie X12000:

(1) b-a=1  et b+a=2009 donne a=1004 et b=1005  => X=1008016 trop grand
(2) b-a=7  et b+a=7.41 donne a=140  et b=147   => X=19600 trop grand
(3) b-a=41 et b+a=49   donne a=4    et b=45    => X=16

Merci pour cette énigme élégante qui rappelle le challenge 175 du mois dernier, mais dans un cas où la théorie permettrait plusieurs solutions !

A++ et de nouveau, bon premier Mai !

Bonjour,
x=16
Merci pour l'énigme.

salut!!
je suis content d'avoir trouvé la reponse de l'enigme(si au moins elle est juste!)

J'ai trouvé 16 pour X, car 16 est le carré de 4 et 16+2009=2025 est le carré de 45

C'est la seule solution, car au dessus de 10000 (=12000-2009), le carreleur n'a pas assez de carreaux.

Je veux mon
A la prochaine enigme!

bonjour,

avec un petit programme caml cherchant les x entre 0 et 12000 vérifiant x est un carré ainsi que x+2009, j'ai trouvé une unique solution : 16

et

bonjour puisea,

X est donc un carré parfait

donc on peut écrire

Il remarque alors que s'il en ajoutait 2009, ce serait également une surface carrée.
cela se traduit par


et m> n

or 2009 = 41x7x7

et X < 12000
recherche dans les systèmes d'équations d'entiers
1/ m-n =1
m+n= 2009 => (pas solution !!)

2/ m -n=7 ; m+n = 287 =>  (pas solution !!)

3/ m -n = 41 ; m+n=49 =>
l'unique solution est X=16

Merci pour l'égnime  

K.

45, avec le programme suivant en flash:

for (i=1;i<109;i++)
{
res=Math.sqrt(i*i+2009);
if (int(res)==res) trace (res);
}

j'espere que c est bon....

Bonjour,
Je propose x=16 soit un carré de 4 carreaux de côté. En ajoutant 2009 carreaux, on fera un carré de 2025 carreaux, soit 45 de côté.
Et je ne trouve pas d'autre solution.
Et voili voilà, merci pour l'énigme...

Tu as dit que le carreleur avait 12000 carreaux, et qu'il faalait former un carré, or cette forme carré s'obtient en prennat la racine de 12000: 34,64
Donc X sera compris entre 1 et 34 carreaux.

Maintenant si on mettait en équation:
à la surface carrée qui vaut X², on ajoute 2009, on a donc X² + 2009. Ensuite on doit attérir sur une surface carrée,on doit prendre la racinne de tout çà pour avoir le nombre de carreaux : .
De là on a plus qu'à remplacer X par les carrés de nombres de 1 à 34.
Il n'y a qu'avec que l'on tombe sur un nombre entier qui est 45. De plus 4² = 16, on peut former un carré avec 16 carreaux.
ma réponse est donc X = 4

Bonjour
Je n'ai trouvé qu'une solution
Le côté d'un carreau = 1 dont l'aire = 1
A+

Bonjour,

Une seule valeur de X :

X = 16
et si on rajoute 2009 carreaux on a un carré de 45 sur 45.

X=16

Raisonnementéjà X<9991
X=a²
(X+2009)=b²
Donc b²-a²= 2009 = 7*7*41
ie (b-a)(b+a)=1*7*7*41
Comme b-a<b+a et a<b, on a donc
{
   (b-a)=1 et (b+a)=7*7*41, soit a=1004 et b=1005
ou (b-a)=7 et (b+a)=7*41, soit a=140 et b=147
ou (b-a)=41 et (b+a)=7*7, soit a=4 et b=45
}
Cela donne donc pour valeurs possibles de X:
1004²,140²,4²

Comme 140²>12000, il ne reste que la dernière solution.

Bonjour à tous,

Voici le joli mois de mai...
Je suis allé me promener 3 jours et voilà déjà 3 énigmes à rattrapper !!

Notre carreleur a pris 16 carreaux.
Il a formé une surface carrée de 4 par 4 carreaux.
Il peut ajouter 2009 carreaux pour un total de 2025 carreaux.
Il obtient une nouvelle surface carrée de 45 par 45 carreaux.

Je n'ai trouvé qu'une solution.

Merci et à Bientôt, KiKo21.

Je ne trouve qu'une réponse possible : X=16

Cela lui permet de faire une surface carrée de 4.4 carreaux et s'il en ajoute 2009 il en aura 2025 pour faire une surface carrée de 45.45.

Bonjour

Réponse proposée : X=4²=16

Méthode proposée :
Soit X le nombre initial de carreaux tel que X=x² < 12000 => x<110;
"il en ajoute 2009" => on suppose que ces 2009 proviennent des 12000-x²;
il faut alors que x²+2009 < 12000 => x < 100

x²+2009 est un carré de côté y => x²+2009=y²

y²-x²=(y+x)(y-x)=2009=1*2009=7*287=49*41
x<100

d'où les systèmes :
( y+x=2009 ; y-x=1 ; 0<x<100 ) => pas de solution
( y+x=1 ; y-x=2009 ; 0<x<100 ) => pas de solution
( y+x=287 ; y-x=7 ; 0<x<100 ) => pas de solution
( y+x=7 ; y-x=287 ; 0<x<100 ) => pas de solution
( y+x=41 ; y-x=49 ; 0<x<100 ) => pas de solution
( y+x=49 ; y-x=41 ; 0<x<100 ) => x=4 et y=45

On a, en effet, 4²+2009=45²

Nota : On suppose qu'il ne superpose pas plusieurs épaisseurs de carreaux : p.x² + 2009 = q.y², cette façon de carreler n'étant pas dans les règles de l'art.

Mais, l'énoncé n'étant pas clair, suffisament précis, rien ne dit que ce ne soit pas "possible"

Par exemple, le couple (p;q) valant (2;1) fournit, selon le même raisonnement, les valeurs de X suivantes :
X= 100, 196, 400, 2116, 3136 et 4096

Avec le couple (5;1), on a X=784.

Il aurait d'ailleurs été intéressant de chercher les nombres d'épaisseurs de carrelages p et q tels que le nombre de carreaux non utilisés soit minimal.

Je me tiendrais cependant à ma proposition "réponse proposée"

Merci pour l'énigme,

Philoux

Bonjour,

La seule solution avec 12000 carreaux est X = 16.
16 = 4*4 et 16+2009 = 2025 = 45*45.

Le joli mois de mai commence bien.

A+,
gloubi

condition

X = x²

X + 2009 = y²

X + 2009 12000

avec x y et X entier

une seule solution X=16

Bonjour à tous,

Je n'ai trouvé pour X qu'une seule valeur répondant aux conditions de l'énoncé.

Cette valeur serait : 16 carreaux.

atomium.

Bonjour,

Cette énigme ressemble fort à l'énigme 175...
Voici ce que j'ai trouvé :
Si on suppose que le carreleur ne découpe pas les carreaux, alors
doit être un carré, ainsi que .

On peut donc écrire :
avec
avec

Lorsqu'on soustrait ces deux équations, on obtient :
, c'est-à-dire :
.

On a donc a priori 3 possibilités :
ou ou ,
ce qui donne :
, ou .

Etant donné que le carreleur ne possède que 12000 carreaux, on n'a plus qu'une seule solution :
x=16

Ouf! Grâce à la programmation C++, j'ai trouvé qu'un seul résultat : X=11984
en effet 12000-11984=16=4² donc la surface est carrée (4 carreaux sur 4). 16+2009=2025=45² est une surface carrée (45 carreaux sur 45). Il a donc enlevé 11984 carreaux.
Merci Puisea pour cette belle énigme qui fera sans doute la joie des programmeurs.

^{Ich mag Dev-C++!}

@+,
Benoît

Bonjour, je n'ai trouvé que 16 comme solution.

Voilà une table excel qui résume ma façon de faire.

Aucun autre nombre ne donne un carré parfait.

Merci pour l'énigme...

Et voici en outre, pour les programmeurs C++, le code source :
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <math.h>

using namespace std;

int main(int argc, char *argv[])
{
    long double a,b,c,d,e,f,g,h;
    a=12000;
    b=0;
    do{
            c=a-b;
            d=sqrt(c);
            e=c+2009;
            f=sqrt(e);
            g=d-int(d);
            h=f-int(f);
            if(g==0){
                     if(h==0){
                              cout<<"Le carreleur a enleve : "<<b<<" carreaux."<<endl;
                              }
                              }
             b++;
             }while(b<=12000);
    system("PAUSE");
    return EXIT_SUCCESS;
}

Benoit

Bonjour, je trouve une seule solution X = 16.

On cherche deux entiers naturels a et b tels que: X = a² et  X + 2009 = b².
On en déduit que b² - a² = 2009.
                 (b - a)(b + a) = 2009
On décompose 2009 en produit de facteurs premiers: 2009 = 7²41.
On étudie tous les cas possibles, avec la contrainte: X 12000:
1er cas: b - a = 1 et b + a = 2009 d'où a = 1004 et b = 1005 puis  X = 1004² > 120000, donc pas solution.
2eme cas: b - a = 7 et b + a = 287, d'où a = 140 et b = 147, puis X = 140² > 12000, donc pas solution.
3eme cas: b - a = 41 et b + a = 49, d'où a = 4 et b = 45, puis X = 16 < 12000, une solution.
4eme cas: b - a = 49 et b + a = 41, d'où a =  - 4 , a < 0, pas de solution.
5eme cas: b - a = 287 et b + a = 7, d'où a = - 140, a < 0,^pas de solution.
6eme cas: b - a = 2009 et b + a = 1, d'où a = - 1004, a < 0, pas de solution.

Une seule solution

X = 16

Merci

Bonjour

Unique solution : X = 16

Merci puisea

la valeur de X est 16  donc X=16  car  16+2009=45*45

de plus la solution est unique

Bonjour, ma réponse est x = 16 carreaux qui forment un carré de 4 sur 4.

ajouté de 2009, il y aurait 2025 carreaux qui formeraient un carré de 45 par 45

C'est la seule solution inférieure à 12000!

Merci pour cette énigme, a bientôt

Bonjour,

Nons savons que : X = a² et a² + 2009 = b²
Donc : 2009 = (b-a) (b+a)
2009 = 7 x 7 x 41

Soient les solutions :
2009 = 1 x 2009 donc a = 1004 d'où X = plus de 1 million. Impossible.
2009 = 7 x 287 donc a = 140 d'où X = 19 600 : impossible.
2009 = 41 x 49 donc a = 4 d'où X = 16. Possible.

Je ne trouve qu'une solution pour X : 16 carreaux.

Merci pour cette énigme.

La troncature de la racine carrée de 12000 est 109, le careleur ne peut donc pas faire de carré avec un coté plus grand que 109 carreaux.

Il faut alors que le nombre de carreaux qu'il pose pour former un carré ait toujours une racine carée entière inférieure à 109.

Soit x un nombre entier défini entre 0 et 109 inclus.
En essayant toutes les valeurs de x possibles dans le calcul:
   V(x*x+2009)
On n'obtient une valeur entière que pour x=4, ce qui veut dire un carré ayant 16 carreaux en tout

ma réponse est donc 16

le carreleur utilise 16 carreaux.
Amicalement ireeti.

2009=41*7^2=1*2009=7*287=41*49
d'où la seule solution 16=4^2, correspondant à la troisième décomposition, puisque les autres conduisent à un nombre de carreaux supérieur à 12000 (140^2 et 1004^2)

Une seule solution : X = 16

bonjour,

Je trouve X=16

Bonjour,

   Voici une enigme qui se rapproche beaucoup d'une précédente enigme, à la différence près que dans celle-ci, plusieurs réponses sont attendues ! (**)

Voici ma réponse :
   Soit n le plus petit des entiers recherchés
   Soit n+a le suivant (a étant également un entier naturel non nul)


On a alors (n+a)²-n²= 2009 = 2an + a² = a(2n+a)
Donc a divise 2009
Or 2009=7x7x41
Donc a appartient à {1,7,41,49,287,2009)
   Si a=1, n=1004
   Si a=7, n=140
   Si a=41, n=4
   Si a appartient à {49.287.2009), pas de solution entière possible pour n

Les valeurs possibles de X sont donc (4²,140²,1004²)
Reste que notre carreleur ne possède pas 1004² = 1.008.016 (> 12.000) carreaux, ni 140² = 19.600 (>12.000) carreaux

Finalement X=16

Merci pour l'enigme

Merci à tous de votre participation.

Aïe!
Mauvaise interprétation de l'énoncé => !

Benoît

D'où la nécessité de relire l'énoncé avant de poster... tu n'es pas le premier qui répond à côté en ayant trouvé la bonne réponse