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Challenge n°195 : rectangles**

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 08-07-06 à 10:27

Bonjour à tous,

On dispose de n carrés identiques.
On essaie de les juxtaposer dans le plan, tous, sans les superposer, de manière à ce que la figure obtenue soit un rectangle.
On s'intéresse au nombre de façons différentes de composer ainsi un rectangle, sachant que deux rectangles diffèrent entre eux s'ils ont au moins une dimension différente.

Par exemple, avec 12 carrés identiques, on peut former 3 rectangles différents :
(i) un rectangle 1x12 (en considérant le côté du carré comme l'unité de mesure) ;
(ii) un rectangle 2x6 ;
(iii) un rectangle 3x4.

Quel entier strictement inférieur à 200 permet de former précisément sept rectangles ? S'il existe plusieurs entiers, donnez les tous. S'il n'en existe aucun, précisez-le.

Bonne chance

Posté par nobody (invité)re : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 10:52

Selon moi, seul 192 répond à la question.
Les rectangles possibles sont :
192     1
96     2
64     3
48     4
32     6
24     8 et
16    12
En effet, il usffit de chercher un entier qui peut s'écrire de 7 façons différentes sous la forme d'un produit de 2 entiers ...

Posté par
piepalmre : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 11:19

gagnéle nombre de rectangles est égal à la moitié du nombre des diviseurs (puisqu'on les associe deux par deux), qui est lui même égal au produit des exposants augmentés de un, dans la décomposition en facteurs premiers.
Le nombre cherché a donc 14 diviseurs, donc est de la forme p^6*q avec p et q premiers.
Pour p=2 2^6=64, et seul q=3 donne un nombre inférieur à 200, soit 192
toute autre valeur de p donne un nombre trop grand
Donc une seule solution, 192

Posté par
Nofutur2re : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 11:22

gagnéIl existe un seul nombre inférieur à 200 permettant de constituer 7 rectangles différents;
Il s'agit de 192.
(1x192);(2x96);(3x64);(4x48);(6x32);(8x24);(12x16).

Posté par
plumemeteorere : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 12:50

gagné192
et aussi 144, si on considère pas que le carré 12*12 n'est pas un rectangle.

Premier cas : 7 rectangles. La solution à 14 diviseurs (7*2) et s'écrit sous la forme a7-1b2-1, a et b étant des nombres premiers. Seul 192 convient en dessous de 200.
Deuxième cas : 7 rectangles et un carré interdit. La solution a 15 diviseurs (5*3) et s'écrit sous la forme a5-1b3-1. Seul 144 convient en dessous de 200.
Troisième cas : 6 rectangles et un carré autorisé. La solution a 13 diviseurs et s'écrit sous la forme a13-1. Aucune solution inférieure à 200.

Posté par
manpowerre : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 13:17

gagnéBonjour,

Le seul entier strictement inférieur à 200 permettant de former exactement sept rectangles est 3$ \red \rm 192=2^6\times3.
Les sept rectangles sont 1x192 ; 2x96 ; 3x64 ; 4x48 ; 6x32 ; 8x24 ; 12x6.

Plus généralement ce sont les nombres de la forme 2^6\timesp  où p est un nombre premier
Les suivants sont donc 2^6\times5=320, 2^6\times7=448, 2^6\times11=704, 2^6\times13=832...

Merci pour l'énigme.

Posté par
caylusre : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 15:25

gagnéBonjour,

Seul l'entier 2^6.3=\fbox{192} strictement inférieur à 200 permet de former précisément sept rectangles.
{1.192,2.96,3.64,4.48,6.32,8.24,12.16}

Posté par
Judeaure : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 16:42

gagnéBonjour,

Avec 192 carrés identiques, on peut former 7 rectangles différents (1 x 192, 2 x 96, 3 x 64, 4 x 48, 6 x 32, 8 x 24 et 12 x 16). C'est le seul entier strictement inférieur à 200 qui permet d'en faire exactement 7 différents.

Avec un programme java, j'ai fait afficher le nombre de carrés qui permettent de former 7 rectangles différents. Je suis allé jusqu'à 10000. La liste est la suivante : 192, 320, 448, 704, 832, 1088, 1216, 1458, 1472, 1856, 1984, 2368, 2624, 2752, 3008, 3392, 3645, 3776, 3904, 4096, 4288, 4544, 4672, 5056, 5103, 5312, 5696, 6208, 6464, 6592, 6848, 6976, 7232, 8019, 8128, 8192, 8384, 8768, 8896, 9477, 9536, 9664.

Posté par
chpowre : Challenge n°195 : rectangles. 08-07-06 à 17:06

perduBonjour!
Avec 12 carrés, on peut former 3 rectangles, donc avec x carrés on pourra former 7 rectangles, soit : x=(12*7)/3=84/3=28. 28<200.
Donc il faudra 28 carrés.

Posté par
chaudrackre : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 17:24

gagnéBonjour, je trouve que seul l'entier 192 donne exactement 7 rectangles différents.

En effet, avec 192 carrés, on peur faire les rectangles suivant:

192 x 1
96 x 2
64 x 3
48 x 4
32 x 6
24 x 8
16 x 12

Merci pour cette énigme.

Pour info, j'ai poussé le vice à chercher des entiers allant jusqu'a 1000, et j'ai remarqué qu'a chaque solution, l'entier était divisible par 8²... étonnant non?

@ plus, Chaudrack

Posté par Wismerhill (invité)re : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 19:33

gagnésalut à tous,

je n'ai trouvé qu'un seul entier strictement inférieur à 200.

Il s'agit de 192, qui peut se décomposer comme :

1 x 192
2 x 96
3 x 64
4 x 48
6 x 32
8 x 24
12 x 16

Merci pour l'enigme
@+

Posté par Torpedo (invité)re : Challenge n°195 : rectangles** 08-07-06 à 22:07

gagnéSalut,

Cet entier est 192 (=26.3)

La démonstration consiste à s'intéresser à la décomposition en facteurs premiers de n : n={p_1}^{a_1} \times {p_2}^{a_2} \times ... \times {p_k}^{a_k}

Donc k facteurs premiers. On forme une longueur (ou largeur) l possible pour construire un rectangle en choisissant des entiers bi tels que 0 \le b_i \le a_i et on a alors  l={p_1}^{b_1} \times {p_2}^{b_2} \times ... \times {p_k}^{b_k}. Il y a (a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1) longueurs possibles, toutes distinctes, et elles s'associent deux à deux pour former un couple longueur-largeur d'un rectangle donné (attention néanmoins au cas particulier où on peut construire un carré !). Il y a ainsi :

Si n est un carré parfait, il y a \frac{(a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1) + 1}{2} rectangles possibles.

Sinon, il existe \frac{(a_1+1) \times (a_2+1) \times ... \times (a_k+1)}{2} rectangles possibles.

Il suffit ensuite d'éliminer les valeurs de n qui ne respectent pas la condition n<200. On trouve qu'il y a deux facteurs premiers, l'un à la puissance 6 qui ne peut être que 2 car 36>200. Et le second à la puissance 1, qui ne peut-être que 3 pour ne pas dépasser 200. D'où la solution.

A++

Posté par
veledales rectangles 08-07-06 à 22:41

gagnébonsoir,
soientx et y les dimensions d'un rectangle solution l'unité de longueur étant le côté carré.
La surface d'un tel rectangle est n carrés unités donc xy=n=>(x,y)est un couple de diviseurs de n s'il y a exactement7 rectangles solutions
n admet 14 diviseurs (1 et n compris).
14=13+1=(1+1)(6+1) donc n est de la forme a13 ou a 6b a et b
étant des nombres premiers distincts.
213>200 =>n ne peut pas être de la forme a13
26=64 donc la seule valeur possible pour b est 3
finalement il existe une seule solution c'est n=192
1x192=2x96=3x64=4x48=6x32=8x24=12x16 ce qui fait bien 7 rectangles solutions.
merci pour ce défi et bon week-end.
véléda

Posté par
ireetirectangles 09-07-06 à 00:59

perdu
les deux nombres sont 144 et 192.
Amicalement ireeti

Posté par
borneore : Challenge n°195 : rectangles** 09-07-06 à 02:50

gagnéBonjour, je trouve une seule réponse : 192

1 * 192
2 * 96
3 * 64
4 * 48
6 * 32
8 * 24
12 * 16

Merci pour l'énigme.

Posté par
kiko21re : Challenge n°195 : rectangles** 09-07-06 à 18:06

gagnéBonjour,

192 permet de former 7 rectangles :
1x192 - 2x96 - 3x64 - 4x48 - 6x32 - 8x24 - 12x16

144 permet aussi de former 7 rectangles :
1x144 - 2x72 - 3x48 - 4x36 - 6x24 - 8x18 - 9x16
... et un carré 12x12 mais un carré est un rectangle particulier (cf Wikipédia).

Conclusion : Un seul entier 5$ \red \fbox{192}

Merci et à bientôt, KiKo21.

Posté par
cohlarre : Challenge n°195 : rectangles** 09-07-06 à 19:52

gagnéBonjour, je pense que seul 192 carrés permettent de former 7 rectangles différents dans le cadre de ce problème.

Merci pour l'énigme ^^

Posté par
geo3re : Challenge n°195 : rectangles** 09-07-06 à 22:34

gagnéBonsoir
Il n'existe qu'un seul entier  3$\red=192  strictement inférieur à 200 qui permet de former précisément sept rectangles
A+

Posté par
theprogrammeurre : Challenge n°195 : rectangles** 10-07-06 à 13:42

gagnéBonjour,

Voici ma réponse: Il faut 192=2^6\times 3 carré pour former 7 rectangles différents. Il s'agit d'ailleur de l'unique solution dans cet interval.

Méthode utilisée:
    On recherche en fait l'ensemble des entiers n\in ]0,200[ \cap \mathb{N} pour lequel il existe 7 couples distincts (\alpha,\beta)\in\mathbb{N}^2 vérifiants \left\{ \begin{align} &\alpha\times\beta = n \\&\alpha \leq \beta \end{align}\right. .
Ainsi soit \mathcal{D} l'ensemble des diviseurs positifs de n. Puisque l'on cherche 7 couples (\alpha,\beta) on doit avoir \text{card}\left(\mathcal{D}\right)=14.

   Puis on cherche les entiers n dont le nombre de diviseurs positifs est 14. On remarque que du fait que 14=7\cdot2, n comporte au plus 2 entiers premiers dans sa décompositions en produit de facteurs premiers.

  On supose dans un premier temps qu'il n'en comporte qu'un seul, alors n=p^{13} où p est un entier premier. Or 2 est le plus petit entier premier et 2^{13}>>200 donc aucune solution de cette forme n'existe.

  On supose ensuite que n est de la forme p^{\alpha}\cdot q^{\beta} avce p et q premiers. On a alors (\alpha+1)(\beta+1) = 7*2 d'où \alpha=6 et \beta=1 qui est à l'évidence l'unique solution dans \mathb{N}.

  Enfin on essaye récursivement des valeurs de n=p^{6} q^{1}:
    - 2^6 3^1=192 convient.
    - 2^6 5^1=320 en superieur à 200 donc ne convient pas.
  Il est évident que pour tout couple (p,q)\in \mathcal{P}^2, \text{ et } (p,q)\not=(2,5),\,\,\, p^6 q^1 > 200

Posté par
lotfire : Challenge n°195 : rectangles** 10-07-06 à 14:25

gagnéBonjour
un problème plutôt algébrique que géométrique.
je crois qu'il n'y a qu'un seul entier qui permet d'avoir 7 rectangles différent; ce nombre est 192 carrés.
192*1=96*2=48*4=24*8=12*16=6*32=3*64.
sinon les autres nombres doivent être plus grands que 200.

Lotfi

Posté par
gloubire : Challenge n°195 : rectangles** 11-07-06 à 10:01

gagnéBonjour,

Il y a une seule solution: n = 192

192 = 1x192 = 2x96 = 3x64 = 4x48 = 6x32 = 8x24 = 12x16.

A+,
gloubi

Posté par alrou (invité)re : Challenge n°195 : rectangles** 11-07-06 à 12:23

gagnéBonjour,
voici ma réponse.

Je trouve la solution unique 192.
1X192
2X96
3X64
4X48
6X32
8X24
12X16

Posté par
nikolere : Challenge n°195 : rectangles** 12-07-06 à 11:04

gagnésalut
l'exercice revient a trouver l'entier inferieur à 200 ayant exactement 14 diviseurs distincts ou 13 diviseurs (dont l'un au carré soit égal a l'entier considéré)  
je n'ai trouvé que 192 qui forme les rectangles suivants
1x192
2x96
3x64
4x48
6x32
8x24
12x16

Posté par
Fractalre : Challenge n°195 : rectangles** 12-07-06 à 18:18

gagnéBonjour, je ne trouve qu'une seule solution : 192 qui se décompose ainsi :

1x192
2x96
3x64
4x48
6x32
8x24
12x16

Fractal

Posté par
atomiumre : Challenge n°195 : rectangles** 12-07-06 à 18:46

perduBonjour à tous,

Je trouve 4 nombres qui me paraissent répondre aux conditions de l'énoncé; ce sont 120, 144, 168 et 192.

Les décompositions en 7 rectangles différents se présentent comme suit:

1 X 120    1 X 144    1 X 168     1 X 192
2 X 60     2 X 72     2 X 84      2 X 96
3 X 40     3 X 48     3 X 56      3 X 64
4 X 30     4 X 36     4 X 42      4 X 48
5 X 24     8 X 18     6 X 28      6 X 32
6 X 20     9 X 16     7 X 24      8 X 24
8 X 15.   12 X 12.    8 X 21.     12 X 16.

Les termes de l'énoncé, " former précisément 7 rectangles" devraient exclure l'entier 180 qui permet de former 8 rectangles différents.

atomium.

Posté par djinn (invité)rectangles 12-07-06 à 23:52

gagné192 convient :
1*192; 2*96; 3*64; 4*48; 6*32; 8*24; 12*16
c'est le seul.

Posté par
Marc75017re : Challenge n°195 : rectangles** 13-07-06 à 02:27

gagné192

Posté par
masterfab2re : Challenge n°195 : rectangles** 13-07-06 à 17:28

gagnén=192

Posté par olbest (invité)re : Challenge n°195 : rectangles** 13-07-06 à 17:35

Bonjour,
Je ne trouve qu'une seule réponse: 192 carrés.

Merci de l'enigme...
OLIVIER

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Challenge n°195 : rectangles** 14-07-06 à 12:09

Merci à tous de votre participation.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 43:48:04.

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