Bonjour, nouvelle énigme.
En jouant avec ses billes, P'tit Louis formes des triangles équilatéraux. Ainsi, il fait le plus petit triangle possible avec trois billes. Ensuite, il lui faut six billes pour faire un triangle juste un peu plus grand, puis 10, puis 15. Combien de billes lui faudra-t-il pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté ?
Bonne chance à tous.
Clôture mardi.
S'il a mis n billes sur le côté, il a dû utiliser en tout
n+(n-1)+(n-2)+...+3+2+1 billes, c'est à dire .
S'il a 2005 billes sur le côté, il y a clairement billes dans le triangle.
Isis
Pour faire un triangle de 2 billes , il faut : 2+1 billes
Pour faire un triangle de 3 billes , il faut : 3+2+1 billes
Pour faire un triangle de 4 billes , il faut : 4+3+2+1 billes
etc..
Pour faire un triagle de 2005 billes , il faut : 2005+2004+...2+1 billes = 2005*1003
Soit 2 011 015 billes
On remarque vite que pour faire un triangle de côté n , il faut 1+2+3+4...+n billes soit n*(n+1)/2.
pour n=2005, cela donne 2005*2006/2 = 2005*1003 = 2 011 015 billes Soit un gros gros sac ...!
C'est la somme de i de 1 à N, elle vaut n(n+1)/2
pour 4 : 4*5/2 = 10
pour 2005 : 2005*2006/2 = 2011015
Le joueur de billes ne se prénommerait-il pas plutôt Pascal ?
Soit (Un)n la suite définie par U1=1 et la relation de récurrence, Un+1 = n+1 + Un
U2=2+U1=2+1=3=
U3=3+U2=3+3=6=
U4=4+U3=4+6=10=
U5=5+U4=5+10=15=
On a donc Un=
( ce qu'on montre aisément par récurrence, à l'aide de la relation de Pascal +=
soit, dans notre problème, += i.e. n+1 + Un = Un+1 )
Enfin, U2005== = .
Conclusion: P'tit Louis aura besoin de la bagatelle de billes !
NB: Plus simplement, il suffisait de calculer : ... mais bon, c'était histoire de varier un peu...
Pour un triangle de 2005 billes de côté, il faudra à P'tit Louis la bagatelle de 2 011 015 billes !!!.
La question est ... : où va t'il bien pouvoir les trouver.???
Soit N : le nombre de billes nécessaire pour former un triangle équilatéral avec 2005 billes de côté.
N = billes
En fait si on généralise:
Soit n le nombre de billes formant un côté, il faudra alors :
1+2+3...+n billes pour faire ce triangle équilatéral ayant n billes de côtés.
Or 1+2+....+n = n*(n+1)/2
Vérification
pour n = 2 : il faut 3 billes
Pour n = 3 , il faut 6 billes
Pour n = 4 ; il faut 10 billes
Pour n= 5 il faut 15 billes
Ainsi pour n = 2005, on fait le calcul :
2005*(2005+1) / 2 = 2 011 015
Bilan : il faut 2 011 015 billes pour faire un triangle équilatéral de côté 2005 billes.
nombre de bille = somme de 1 juska 2005 = 2011015
car dans un triagnle de coté 4 il y a 1 + 2 + 3 + 4 bille soit 10 = 4 * 4+1/2
dc 2005*2006*2 = 2011015
Bonjour a tous,
Considerons une suite arithmétique de premier terme et de raison 1.
On veut un triangle equilatéral de coté égal à 2005 billes d'où .
Il suffit alors de calculer :
Donc P'tit Louis aura besoin de 2011015 billes pour realiser ce triangle et j'espere qu'il aura du fromage en récompense.. Trop d'humour tue l'humour..lol
Bonnes mathématiques...
Miaouw
soit la suite I1=1
I2=2+I1
I3=3+I2
.....
In=n+I(n-1)
on a donc I2005 = 2011015
2005*E((2005+1)/2)=2005*1003=2011015
il faudra donc 2 011 015 billes
Bonjour,
Réponse : 2 011 015 billes.
Un trianglede Pascal de n lignes possède n(n+1)/2 billes; avec n=2005, le nombre de billes est ycelui.
Merci pour l'énigme.
Philoux
Question : comment font-on pour écrire en couleur ?
c'est la somme des entiers naturels de 1 a 2500
je sais pas combien ca fait mais le calcul c'est ca je pense
Bonjour,
Voici rapidement le calcul :
Triangle de 2 billes de côté : 2+1 billes
Triangle de 3 billes de côté : 3+2+1 billes
Etc, etc … Donc triangle de 2005 billes de côté : 2005+2004+2003+…+1
Soit la somme des 2005 premiers termes d'une suite arithmétique de raison 1,
soit (2005)x(2006) : 2
2011015 BILLES…
J'ai trouvé que la réponse est 1+2+...+2005.Sauf que je n'arrive pas a faire le calcul.
Je suis parvenu a une fonction qui fait ce calcul mais je n'en suis pas sur, soit pour tout x superieur a 0,
f(x)=x(x/2+0.5)
Donc je pense que la réponse est 2.01102 x 10^6.
Il lui faut 2005*2006/2 = 2011015 billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de côté.
Hello donc voila je poste ma réponse:
U2=3
U3=6=U2+3=U2+2+1
U4=10=U3+4=U3+3+1=U2+(3+2+1)+1
U5=15=U4+5=U4+4+1=U2+(4+3+2+1)+2
U6=21=U5+6=U5+5+1=U2+(5+4+3+2+1)+3
...
En connaissant (grace au livre pas encore traité) la formule de la somme des p premiers naturels non nuls:
d'où ma relation:
Donc pour conclure et répondre au problème, il faudra billes pour faire un triangle ayant 2005 billes de cotés!!
J'espère que le qui m'a été remis dans l'épreuve précedente me sera remis cette fois ci a nouveau!!!
++ EmGiPy ++
Bonjour, nouvelle réponse :
2005 en bas, 2004 au rang supérieur, 2003 encore au-dessus... jusqu'à 1 tout en haut :
TOTAL 2011015 billes
Il aurait besoin de
(2006 x 2005)/2 billes, ce qui donne 2 011 015 billes!
C'est beaucoup! Hehe
ma voici de retour apres une semaine de vacances au ski ...
j'ai malheuresement raté pas mal d'enigmes il faut vite que je me rattrape
combien de billes ?
je dirai 2005 + 2004 + ... + 2 + 1 = 2005*2006/2 = 2011015
Et voila : 2011015 Billes ... Ca fé pas mal kan meme
Je pense qu'il faut faire la somme de tous les entiers compris entre 1 et 2005 parce que dans chaque ligne de billes du triangle, il ya une bille de moins que celle de la ligne précédente (en partant de la base du triangle) donc :
S=((1+2005)*2005)=2 011 015
Ptit Louis devra gagner 2 011 015 billes. Ben il peut jouer encore longtemps
Si on envisage que le plus petit triangle est composé d'une boule, on a affaire à la somme d'une suite arithmétique de raison 1
Pour faire un triangle de 4 boules de cotés il faut 1+2+3+4 boules
Donc pour faire un trialgle de 2005 boules de coté il faut
1+2+3+4+...+2004+2005
donc la somme S=2005(1+2005)/2=2011015
Il faut donc 2 011 015 billes
Le nombre de billes est égal à la somme d'une suite arithmétique de raison 1, et n est égal au nombre de billes formant un côté.
soit Sn = n*(n+1)/2
avec n=2005 alors S=nombre de billes=2011015
on apelle Bn le nombre de bille necesaire a faire un triangle a n bille de coté.
pour augmenter de 1 le nb de bille de cote il faut rajouter une ranger doux :
pour tous n>0
B1=1
Bn+1 = Bn + n+1
on en deduis Bn= 1+2+3+4+5+....+n
Bn=(n+1)*n/2
B2005=2005*2006/2 = 2005*1003 = 2011015
voila avec un peu de chance ma fleme d'aller chercher une calculatrice ne me coutera pas l'enigme hein...
Pour résoudre l'énigme, on définit une suite (Un) telle que
U1=2005
Un+1= Un-1
lorsqu'on fait un triangle avec des billes de n nombres de côtés, on construit la base du triangle avec n billes, puis la deuxième ligne avec (n-1) et ainsi de suite jusqu'à 1 bille.
Le nombre de billes utilisées pour construire un triangle équilatéral de 2005 billes de côté est donc la somme des 2005 premiers termes de la suite (Un) et donc
S=2005*2006/2
S=2011015
voilà ! en espérant que ce soit juste :p
Bonjour, la formule que vous utilisez: n(n+1)/2 ne va vous donner que le nombre de billes que pour le dernier étage.
La vraie formule pour calculer le nombre total de billes est :
n(n+1)(n+2)/6.
Exemple, pour un tétraèdre de 4 étages, le quatrième étage aura (4*5)/2=10 billes, mais le nombre total de billes sera de (4*5*6)/6= 20.
Donc dans le cas présent, pour 2005 étages on aura (2005*2006*2007)/6= 1 345 369 035 billes !
Bonjour Equanimus,
2 011 015
car 3+3=6
6+4=10
10+5=15
15+6=21
etc......
Intervention de la calculatrice:D
Ce qui me donne effectivement 2 011 015
:D:):P;)8-)
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