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compacité et ouverts
Soit S,l'ensemble des nombres complexes de module 1, et on le munit de la métrique d(z,z') = module(z-z') . Soit p l'application de 
dans S définie par p(t) = e[sup][/sup]it .
1.Montrer que S est compact dans 
.
2.Montrer que p est continue.
3.Montrer que pour tout intervalle ]a,b[ , p(]a,b[) est ouvert dans S .
J'ai besoin d'aide s'il vous plait pour ces questions...
Pour la première, je n'arrive pas à montrer que S est fermé.
Pour la deuxième, ça me parait évident mais je n'arrive pas à le rédiger précisemment.
Enfin la troisième,je n'arrive pas du tout à la faire...
Merci
Salut 
Eh bien, considère une suite de complexe unimodulaire convergente. Il s'agit de montrer que la limite est unimodulaire. Utilise la continuité du module :
Pour tout n, donc en passant à la limite,
donc S est fermée.
Pour la question 3, je ne comprend pas : si l'on prend l'intervalle I=]-1,2
+1[ , l'image de I est S,et donc fermé puisque compact ... Ou est l'erreur !?
Autrement :
La sphère unité est l'intersection de la boule unité fermée (qui est donc fermée) avec le complémentaire de la boule unité ouverte (qui est donc aussi fermé) et est donc fermée.
Pour la 2) quels propriétés as-tu pour démontrer la continuité d'une fonction? Caractérisation séquentielle? Définition par les images réciproques des ouverts et des fermés?
Merci beaucoup Nightmare même si je n'ai pas bien compris ta réponse avec des suites... Et pou mon post précédent, il me semble que l'image de I est bien S mais que S est un ouvert dans S .
Pour la question 2, j'ai bien les deux méthodes dont tu me parles ... Mais si je dis que p(t) = cos(t) + isin(t) avec les fonctions sin et cos continues,cela na va pas ?
Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans ma réponse avec les suites?
Ensuite je ne comprends pas comment tu trouves l'images de I !
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