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Composée de translation et homohétie
Salut à tous! j'ai un petit Dm qui me pose des problèmes... en voici un exercice, mais d'autres risquent de suivre^^
"L'espace est rapporté à un repère orthonormé (O;
;
;
). on considère h l'homothétie de centre C(xc;yx;zc) et de rapport k (k différent 1), et t la translation de vecteur 
où (a;b;c).
On appelle f et g les deux transformations de l'espace définies par :
f= h o t et g= t o h.
On rappelle ainsi que, pour tout point M de l'espace,
f(M)=h(t(M))"
Questions :
1. Donner l'écriture analytique des transformations h et t.
2. Déterminer l'écriture analytique des composées f et g.
3. En déduire que f et g sont des homothéties de même rapport
4. A quelle(s) condition(s) f et g sont-elles égales?
je suis un peu perdu, si quelqu'un pourrait au moins me donner une indication ca m'aiderait énormément.
Merci d'avance!
Bonjour
si M'=f(M), l'écriture analytique de f consiste à exprimer les coordonnées (x';y';z') de M' en fonction des coordonnées (x;y;z) de M.
par exemple pour la transalation de vecteur , on a :
x' = x+1
y' = y+2
z' = z-3
je crois voir... mais là j'arrive pas à l'adapter aux données de l'exercice.
Faut faire le même principe avec f= h o t?
oh làlà je suis désolé j'ai trop de mal....
Pour hot et en considérant seulement les abscisses (même principe pour les autres coordonnées) :
M' = t(M) donne x' = x+a
M" = h(M') donne x"-xc = k(x'-xc), donc x" = xc + k(x'-xc)
on en déduit :
x" = xc + k(x+a-xc)
c'est encore moi (pas lourd le gars)
Alors j'ai trouvé l'écriture analytique de g (f littleguy l'a fait...^^)
pour f ca fait :
x"=k(x+a-xc)+xc
y"=k(y+b-yc)+yc
z"=k(z+c-zc)+zc
et g :
x"=k(x-xc)+xc+a
y"=k(y-yc)+yc+b
z"=k(z-zc)+zc+c
J'en ai donc déduit que c'était deux homothéties de rapports identiques (k), sans savoir justifier (à part que ca ressemble à l'écriture analytique d'homothéties)...
et en ce qui concerne la dernière question, j'ai trouvé éventuellement une condition :
il faut que a=b=c=0
je n'en ai pas trouvé d'autres si vous avez des idées... il se peut qu'il n'y en ai pas d'autres, mais il se peut aussi que la mienne soit fausse:p
Je vous remercie par avance!
Si on a :
x' = kx+a
y' = ky+b
z' = kz+c
avec k
1, on est en présence d'une homothétie de rapport k (si k=1 c'est une translation)
Donc les deux sont des homothéties de rapport k. Elles sont donc identiques ssi elles ont le même centre ; or le centre est l'unique point invariant, donc il suffit 
d'examiner à quelle(s) condition(s) le point invariant de hot est confondu avec le point invariant de toh (pour déterminer ce point on résout x'=x, y'=y, z'=z)
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