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@Amoureux-Maths
Pour l'exercice 1 3) tu as oublié il me semble des solutions :
- Pour la a) tous les produits de facteur premier conviennent exemple n=17*19 f(n) = 1^19*1^17=1
- Pour la b) pas de solutions comme pour tout nombre premier (je pense)
-Pour la c) 2^2*(un produit de facteurs premiers)
Je me trompe ?
En effet ça marche ... donc oui je me suis planté ^^ (mais c'est pas une surprise)
Le truc c'est que c'est compliqué de faire tout à fond, 5h c'est beaucoup et bien trop peu à la fois.
Perso bien qu'étant très mauvais par rapport à vous, je suis resté jusqu'à la dernière seconde et j'étais loin d'avoir fini le III (qui me posait en + beaucoup de problèmes).
De plus on a vu que j'avais passé trop vite des questions, d'où la sélectivité de ce concours, bien que l'édition 2012 soit vraiment plus abordables que celle des autres années.
Petite question, vous parlez tous de réccurence forte, de quoi s'agit il et en quoi est ce que ca diffère de la rec normale?
Tutoie-moi, je ne suis qu'en MPSI
La récurrence "normale", ça n'existe pas. Les différents types de récurrences dépendent directement de ce que tu supposes. Je te fais un petit bilan des principales techniques :
- La récurrence simple est celle que t'as apprise, on montre P(0), puis on suppose P(n) pour montrer P(n+1)
- La récurrence d'ordre 2 consiste à montrer P(0) puis P(1). On suppose alors P(n) et P(n+1) pour montrer P(n+2)
- Plus généralement, la récurrence d'ordre k consiste à montrer P(0), P(1) (...) P(k-1). On suppose P(n), P(n+1), (...), P(n+k-1) et on montre P(n+k)
- La récurrence forte (ou dite complète, en informatique) consiste à montre P(0). La supposition est plus complexe : on suppose que pour tout
Si tu veux synthétiser au niveau des utilisations :
- La récurrence simple est celle qui permet de montrer le moins de choses, mais les raisonnements sont très simples et limpides, en général
- Les récurrences d'ordre k sont utilisées assez souvent pour faire des récurrences sur des suites définies par un+k = f(un, ..., un+k-1) ou alors pour forcer un peu quand la récurrence simple peut s'avérer être compliquée
- La récurrence forte est très utile dans les cas où on aurait besoin de tout supposer afin d'en déduire la proposition suivante. Elle permet donc le plus de flexibilité, mais c'est généralement la moins propre, il y a parfois une grosse dimension calculatoire dans les raisonnements.
Après je n'ai fait que très peu de maths, mais l'esprit y est, et on me reprendra si c'est faux.
salut, au fait une méthode facile que j'ai utilisé:
j'ai majoré Un par la moyenne des termes de la suite de 0 jusqu'à n-1. on appellera cette suite Vn.on trouvera par calcule que Vn+1 est inférieur à Vn multiplié par un truc(désolé je me rappelle pas, c'était peut être 1 sur n ). remonte jusqu'à V1 qui est égal à U0. tu trouvera la limite de Vn qui est égale à 0 et par conséquent Un aussi tend vers 0. j'espère que vous avez compris comment j'ai procédé.
Pour le problème 2, vous pouvez éventuellement essayer de démontrer que pour tout ,
.
Par récurrence forte, c'est quasi trivial. On peut également utiliser la réciproque du théorème de Césaro, mais c'est aussi HP. La récurrence simple me semble être, elle, bien plus compliquée (si ce n'est impossible).
J'ai tous fait a l'exception de deux questions :
Montrer que f(f(n))<=n
Calcul de l'espérance.
J'ai suivi la même démarche que ce qu'a posté Amoureux math pour l'exercice 2.
En un peu plus rigoureux vu que j'ai développé l'idée jusqu'au bout.
Sinon mon exercice 3 est complètement bidouillé et mes réponses trop intuitives...
Du reste, je poursuit mes études en mpsi (stanislas)
Bonjour,
Je viens de regarder le sujet du CG en rentrant du boulot, je n'ai pas encore chercher la dernière question du 3, le reste était bien abordable (bon, je suis prof, hein, je sais, c'est plus facile)... par contre j'ai un peu ramé pour la question 5)b) ainsi que, par voies de fait, pour la 5)c). J'ai finalement obtenu une démo qui peut très probablement être simplifiée (surtout si l'on remonte les arguments) mais qui, en tout cas, me semble juste. Je vous la propose en fichier joint (je m'excuse de ne pas l'écrire dans le corps du message, ça serait trop lourd...)
En espérant que ça en intéressera certains...
Juste une remarque, la solution 503^8048 est fausse, en effet f(503^8048)=8048^503=(2^4 * 503)^503=2^2012 * 503^503
Bonjour à tous,
Si m = 503^8048, f(m) = 8048*503
f(m) = (503*4)^2012
f(m) = (503^2012)*(4^2012)
f(m) = 2012^2012 !
Après avoir lu votre message, j'ai relu mon calcul.
Et oui, c'est archi faux, je me demande bien comment je suis passé de la 1ere à la 2e ligne !
Merci beaucoup pour votre raisonnement apichatpong, d'ailleurs j'avais essayé de trouver un truc avec les 2 et 3 beta et alpha, mais en vain, j'avais aussi un 1006 par ci par là, mais bon, il fallait aller jusqu'au bout !
En revanche, je ne comprends pas le signe qui ressemble à PI, je l'ai vu aussi sur forums futura sciences mais je ne l'avais pas compris, désolé pour mon ignorance.
Cordialement
j'ai fait 2012^2012=2012^(1999+13)=2012^1999*2012^13
1999 et 13 sont premiers.
Donc m= 13^2012*1999^2012 convient.
Est ce correct ?
Oui, c'est juste.
La solution que j'ai écrite plus haut est lourde et générale, une fois fait cette petite recherche, on comprenait que pour le cas 2012^2012 il suffisait d'écrire 2012 comme somme de nombres premiers.
@ Amoureux maths, c'est en effet le signe produit 
a_i^b_i=a_1^b_1x a_2^b_2 x...x a_n^b_n
@facedepitch
Oui je me suis rendu compte de ce souci, pour n=4 cela ne marche pas...
Mais est ce que E(x) = 18,66666 (soit 7*8/3) pour n=7?
Et comment tu l'as trouvée cette formule??
éléments de correction sur le site suivant. Des erreurs peuvent subsister.
http://lyc89-larousse.ac-dijon.fr/spip.php?article2021
Pour la 5.b) j'ai posé :
n=produit(p(i)^a(i)) a(i)>1 et p(i) premiers
A partir de la on applique la formule de la question précédente.
Donc on pose : a(i)=2*u(i)+3*v(i)
Donc :
donc p(i)^a(i)=(p(i)^(u(i)))^2*(p(i)^(v(i))^3
2 et 3 sont premiers.
J'en ai conclu qu'on pouvait écrire m sous la forme de produit de puissance de 2 et 3...
Mais je suis pas tout a fait convaincu.
Si, si, ça marche.
En fait si tu sautes le préambule trop général(et lourd) de ma proposition, tu en reviens à ça (c'est que je voulais dire par remonter les arguments).
En tout cas, bien vu! je n'avais pas vu tout de suite le lien avec la question précédente (d'où, encore une fois, la lourdeur de ma démo).
Ah ok merci !
On devait écrire 2012 sous forme d'une somme de nombres premiers, j'en étais sûr !! Je me demande comment j'ai fait pour pas trouver, alors que j'avais pourtant la piste, et même plus que ça puisque j'avais écrit que 2012 = 1213 + 797 + 2 (je suis dégouté ^^)
Bon, merci en tout cas pour tes explications apichatpong.
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