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Niveau Maths sup
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convergence d'une serie

Posté par
funkykiwi
28-12-08 à 22:51

Bonjour tout le monde,

Je seche completement sur la question suivante :

On considere la suite u definie par : pour tout n un=nn.
et on veut savoir si la somme de 1 à n des ln(ui) converge (ou bien si le produit de 1 à n des ui converge, j'ai démontré que c'est équivalent).

J'ai donc dit que cette somme est celle de 1 à n des ln(i)/i, elle meme inférieure a celles des ln(i)/n.
Et avec la moyenne de Cesaro (redemontrable en quelques lignes),on trouve que notre somme diverge vers +.

L'ennui c'est qu'il fallait en fait obligatoirement utiliser le fait que pour n2,
1/nln(n+1)-ln(n).

J'ai tout essayé et je ne vois pas comment on peut retrouver le resultat avec cette methode, donc si quelqu'un pourrait m'aider, merci d'avance

Posté par
yaya0
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 22:57

salut
montrer que pour tout x positif on a ln(1+x)≤ x puis rempacer x par 1/n

Posté par
gui_tou
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 23:02

salut

yaya0 > je crois que c'est comment utiliser ça qui pose pb ici ^^

à partir d'un certain rang (n=3) on a 4$\fr1i\le\fr{\ell n(i)}{i}

Donc 3$\Bigsum_{k=3}^p\fr1k\le\Bigsum_{k=3}^p\fr{\ell n(k)}{k soit encore

3$\ell n(p+1)-\ell n(3)\le\Bigsum_{k=3}^p\fr{\ell n(k)}{k

Vu que 3$\ell n(p+1)\longright_{p\to+\infty}+\infty, c'est gagné

sauf erreur

Posté par
funkykiwi
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 23:08

merci yaya0, mais c'est vrai que j'avais deja trouvé ca, et gui_tou il me semble que ca colle,merci beaucoup, tu m'a debloqué

Posté par
yaya0
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 23:27

bon concernant gui_tou j'ai pas compris ou vous voulez arriver
et concernant funkykiwi la serie de terme génerale Un ne converge pas
car limite de Un est different de 0
il suffit d'ecrire Un=exp(ln(Un))=exp(ln(n)/n) qui tend vers exp0=1
et si une suite qui ne tend pas vers 0 alors directement on peut conclure que sa somme diverge

Posté par
gui_tou
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 23:32

yaya0 > Tu as indiqué comment démontrer ln(1+t) <= t ; or funkykiwi l'avait montré, le problème était : comment utiliser cette inégalité.

Citation :
et concernant funkykiwi la serie de terme génerale Un ne converge pas
car limite de Un est different de 0
il suffit d'ecrire Un=exp(ln(Un))=exp(ln(n)/n) qui tend vers exp0=1
et si une suite qui ne tend pas vers 0 alors directement on peut conclure que sa somme diverge


Nous sommes d'accord, mais le problème est la limite de 3$\Bigprod_{k=1}^{p}u_k. En passant au logarithme on se retrouve avec ln(Un)=ln(n)/n qui tend vers 0, et on ne peut rien conclure de la série de terme général ln(Un)

Posté par
yaya0
re : convergence d'une serie 28-12-08 à 23:42

vous pouvez utiluser la regle de BERTRAND
  ∑▒1/((n^a.〖ln(n)〗^b ) converge si et seulement si a>1 ou ( a=1 et b>1)
  Dans ce cas on a a=1 et b=-1 donc la serie est divergente

Posté par
gui_tou
re : convergence d'une serie 29-12-08 à 10:06

encore faut-il savoir la redémontrer pour l'utiliser, et ce n'est pas le plus court!



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