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Convergence et divergence de sommes

Posté par
tonio 24-05-09 à 17:55

Salut,

Alors voilà, j'ai un exercice qui est le suivant:
Déterminer si la suite converge, puis, si elle converge, déterminer sa limite.
a) Un =\sum_{p=\0}^n(\frac{1}{3})^p, avec n.
L'exercice n'a pas l'air trop compliqué, sauf que je ne voit pas du tout par ou commencer...
Si quelqu'un peut m'éclairer.

Merci.

Posté par
pti-gatore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 17:57

ben déjà la limite de (1/3)^p c'est 0 car -1<1/3<1...

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 17:57

Bonjour.

Calcule d'abord Un en relation avec la somme des termes d'une suite géométrique de raison 1/3

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:02

hum donc sa me donne normalement:
Un=U0 (\frac {1}{3})^{n-0}

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:04

oups non je me suis trompé de formule, autant pour moi, je vais rectifier sa..

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:06

Mais non :

3$\textrm 1 + \fra{1}{3} + (\fra{1}{3})^2 + ... + (\fra{1}{3})^n = \fra{1-(\fra{1}{3})^{n+1}}{1-\fra{1}{3}}

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:08

donc Sn=U0\frac{1-(1/3)^{n+1}}{1-(1/3)}

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:09

avec naturellement u0 = 1 ici.

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:20

Donc je peut en conclure que la limite de Unest égale à 0, car la la limite de 1/3 est égale à 0?

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:24

enfin plus précisément que comme -1<1/3<1, lim Un=0

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 18:58

Non.

Effectivement la limite de (1/3)n est égale à 0, mais il reste 1/(1-(1/3)) = 3/2

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 19:14

Donc comme la raison est -1<(1/3)<1 et que Sn=3/2, je peut en conclure que la suite Un est convergente, et que sa limite est en + est 3/2?  

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 20:27

Oui.

Posté par
toniore : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 20:37

D'accord, merci beaucoup. A la prochaine.

Posté par
raymond Correcteurre : Convergence et divergence de sommes 24-05-09 à 20:39

Bonne soirée.


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