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Convergences

Posté par
yagami10 22-05-16 à 11:28

Bonjour,

Je bloque sur cette suite, soit la suite un = \frac{1}{\sqrt{n^{3}-1}}

Montrer que la série (\sum{}un) converge.

Merci d'avance.

Posté par
ImWeasre : Convergences 22-05-16 à 11:35

Bonjour,

Si tu étudie le comportement de (n3-1) puis après son inverse?

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 11:40

la fonction tend vers + l'infini. Mais sa ne me dit pas si la suite converge.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 11:52

Je penser montrer que la suite est majoré, puis montrer qu'elle tend vers + l'infini, et ensuite comme conclusion : je sais que toute suite majoré converge donc j'en déduis que la suite converge...

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 12:11

le porblème c'est que je n'arrive pas a montré que la suite  est majoré ..

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 12:36

J'utilise la règle d'Alembert :

Un lim \frac{un+1}{un}=\frac{1}{\sqrt{x^{3}-1}}=\frac{1}{\sqrt{x^{3}-1}+1}*\frac{\sqrt{x^{3}-1}}{1}=1

d'après la règle d'Alembert
un lim \frac{un+1}{un}



Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 12:38

donc comme l=1 la suite diverge ou converge cela ne nous avance pas.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 12:47

sur wikiuniversity je toruve que pour n>=2 on a un~1/3 d'après la somme Riemann  je ne comprend pas comment ils osnt pu obtenir ce résultat.

Posté par
carpediemre : Convergences 22-05-16 à 13:05

salut

pourquoi poster au niveau lycée ?

u_n est équivalent en +oo à \dfrac 1 {n^{1,5}} donc la série converge avec le critère de Riemann ...

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 13:15

salut

Peux-tu détailler ton explication, je ne comprend pas.

pourquoi  \dfrac 1 {n^{1,5}} je ne comprend pas comment tu as eu les puissances de 1 et de 5.

Posté par
mathamorere : Convergences 22-05-16 à 13:38

Bonjour,

Pour n\ge 2, \sum u_n est croissante;
reste à montrer quelle est majorée, ce qui n'est pas évident; il faut, par exemple, trouver une suite \epsilon_n telle que \sum u_n\le 2- \epsilon_n (démonstration par récurrence).
Sinon, le critère de Riemann (comparaison d'une série et d'une intégrale) est beaucoup plus simple à utiliser mais n'est pas au programme des lycées.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 13:40

Je suis a la facultés, pour montré qu'elle est majoré, cela me semble plus difficile, cependant je ne voit pas comment appliqué Riemann a cette fraction.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 13:52

l'énonce ne précise pas n>=2, je pense qu'il faut utilisé le critère de Riemann.

Posté par
carpediemre : Convergences 22-05-16 à 14:15

si n > 1 alors (n - 1)^3 - (n^3 - 1) = -3n^2 + 3n = -3n(n - 1) < 0

donc \sum_{n > 1} \dfrac 1 {\sqrt {n^3 - 1}} < \sum_{n > 1} \dfrac 1 {(n - 1) \sqrt {n - 1}}

or   \dfrac 1 {(n - 1) \sqrt {n - 1}}= 2 \dfrac {\dfrac 1 {2 \sqrt {n - 1}}}{(\sqrt {n - 1})^2}

en posant f(x) = \dfrac 1 {\sqrt {x - 1}} on reconnaît 2f'(n)

une comparaison série intégrale permet alors de conclure ...

Posté par
mdr_nonre : Convergences 22-05-16 à 14:25

bonjour : )

Tu dois apprendre à utiliser proprement le critère de Riemann.

\sum_{n\geq 2}\frac{1}{\sqrt{n^3 - 1}}

Lorsque n \to \infty, \frac{1}{\sqrt{n^3 - 1}} \sim \frac{1}{\sqrt{n^3}}.
Puisque la série \sum_{}\frac{1}{\sqrt{n^3}} est à termes positifs et qu'elle converge on peut conclure, par comparaison, que la série \sum_{n\geq 2}\frac{1}{\sqrt{n^3 - 1}} converge.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 14:32

mdr_non oui merci

carpediem
Je n'ai pas compris comment tu obtiens  :

or   \dfrac 1 {(n - 1) \sqrt {n - 1}}= 2 \dfrac {\dfrac 1 {2 \sqrt {n - 1}}}{(\sqrt {n - 1})^2}

Posté par
mdr_nonre : Convergences 22-05-16 à 14:42

Si tu ne comprends pas la réécriture laisse tomber, ce n'est pas une technique que tu sauras reproduire.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 14:54

sur wikiuniversités ils sont trouvé sa comme résultat : \frac{\frac{1}{3}}{n^{2}}
comment ils l'ont trouvé ce résultat ?

Posté par
carpediemre : Convergences 22-05-16 à 15:02

mets un lien ....

Posté par
mdr_nonre : Convergences 22-05-16 à 15:02

Je pense que tu lis mal ce qu'ils écrivent.
Donne le lien.

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 15:02

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/serie/serie_ch01/co/apprendre_11.html

Posté par
carpediemre : Convergences 22-05-16 à 15:07

évidemment quand on ne sait pas lire ...

\dfrac 1 {\sqrt {n^3}} = \dfrac 1 {n^{\frac 3 2 }}

ce que je t'ai déjà écrit à 13h05 ...

Posté par
mdr_nonre : Convergences 22-05-16 à 15:08

C'est bien ce que je me disais.



D'abord tu écris :

yagami10 @ 22-05-2016 à 12:47

sur wikiuniversity je toruve que pour n>=2 on a un~1/3 d'après la somme Riemann  je ne comprend pas comment ils osnt pu obtenir ce résultat.
Qui n'a pas de sens. Que signifie l'équivalence ?

Et puis tu en es arrivé à :
yagami10 @ 22-05-2016 à 14:54

sur wikiuniversités ils sont trouvé sa comme résultat : \frac{\frac{1}{3}}{n^{2}}
Qui n'a pas de sens non plus. En répondant à ma précédente question tu comprendras.


Pour leur raisonnement, ils n'ont rien écris de plus que ce que carpediem t'a écrit et que je t'ai réécrit ensuite.
\frac{1}{\sqrt{n^3}} = \frac{1}{n^{3\times\frac{1}{2}}} = \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

Posté par
yagami10re : Convergences 22-05-16 à 15:09

ok merci


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