Bonjour, où plutot bonsoir!!!

Si je comprends bien l'énoncé, on prends plusieurs nombres entre 1 et 1989 (par exemple 1,3 et 5)
qu'on appelle G et G est instable si on n'arrive pas à faire 1,3 ou 5
en additionnant deux de ces nombres même s'ils sont identiques

Dans mon exemple, on peut faire

1+1=2
1+3=4
1+5=6
3+3=6
3+5=8
5+5=10.

Aucune de ces sommes n'étant 1,3 ou 5, alors mon ensemble G est dit instable.

Me vient alors une reflexion, si je prends comme G l'ensemble des nombres impairs entre 1 et 1989, soit 995 nombres au total, les sommes obtenues ne peuvent être que des nombres pairs, soit différents de G.

J'ai conscience que je donne ma réponse un peu hativement, comme d'habitude, et cette hate ne m'a pas value toujours de bons résultats, mais bon, là je le sens bien..

Ma réponse est donc 995 nombres au maximum dans G

PS: on n'a pas préciser dans l'énoncé que les nombres étaient consécutifs!)

Une partie instable G peut être constitué, soit des nombres impairs, soit des nombres de 995 à 1989 inclus.
Dans les deux cas, ce groupe est constitué au maximum de 995 nombres.

Je pense que la réponse est :
995

Des exemples de telles parties instables sont les nombres impairs de l'ensemble de départ, ou la partie des 995 plus grands nombres de l'ensemble de départ .. Je n'arrive pas démontrer que c'est la plus grande partie possible, mais sur de petits exemples (21, 23, ...) et avec un programme, je tombe toujours sur avec seuleument les 2 exemples que j'ai donnés précédemment.

_{Sinon, pour info, mais je pense que tu le sais, un groupe (et donc un sous-groupe) contient l'élément neutre. Or ici, même l'ensemble de départ (les nombres de 1 à 1989) ne contient pas l'élément neutre : 0 (l'opération semble être l'addition ...)... On a donc ni groupe ni sous-groupe : alors d'où vient le titre ?}

un partie instable peut contenir au maximum 994 nombres, de 995 a 1989

Bonjour, je pense qu'une partie G instable peut contenir au maximum 995 nombres.

Merci pour l'énigme ^^

Bonjour, pour former une partie instable, il faut au maximum 995 nombres (par exemple, tous les nombres impairs).
Merci pour l'énigme.

Fractal

Bonjour
Au maximum la partie instable comprend éléments (nombres)
A+

Bonjour,

ma réponse est 995 ( les 995 impairs )

La somme de deux entiers impairs est paire; ce qui donne un ensemble de 995 éléments. Je ne crois pas que l'on puisse faire mieux...

la taille maximum est de 995 nombres.
par exemple tous les nombres impairs ou bien tous les nombres supérieurs ou égaux à 995.

bonjour,
depuis ce matin j'essaie de poster ma réponse mais cela fait maintenant cinq fois que je recommence tout disparait brusquement,
j'ai trouvé 995,je ferai un nouvel essai tout à l'heure pour poster ma methode.

Voici ma réponse : 994

Preuve :

Soit G un sous-groupe instable.
Soit y le plus grand élément tel que .
Alors
Soit n le nombre d'éléments de G plus petits ou égaux à y.

Alors n éléments plus grands que y ne peuvent appartenir à G car tous les éléments du type ne peuvent appartenir à G et il y en a n.

le nombre d'éléments de G est donc inférieur ou égal à :

car n est le nombre d'éléments plus petits que y, 1989-y-n est le nombre maximal d'éléments plus grands que y (et plus petits que 1989) pouvant appartenir à G.

Or car

donc le cardinal de G est inférieur ou égal à 994.

De plus, un tel G existe, il suffit de prendre .

Donc le cardinal maximal possible de G est bien 994.


Merci beaucoup pour l'énigme,

bret

Bonjour,

Une partie instable contient au maximum 995 nombres.

A+,
gloubi

Bonjour à tous,
Voici ma proposition de réponse : .

Méthode:
De toute évidence admet une borne inférieure sur avec dans . La propriété implique: . On cherche donc une partie de pour laquelle le nombre d'éléments entre et .

La valeur convient. Donc la partie de est

rebonjour,
Si E est l'ensemble de nombres donnés tout singleton de E est une partie instable de E.Soit G une partie instable de E ayant au moins deux éléments,x le plus petit ,y le plus grand .
soit z un  entier naturel tel que x<z<y,d'aprés la définition de G:
zGx+z>y donc  y-x<z<y.
On étudie le cardinal de G
1)y=2p+1
a)x<p
x=1  G={1,y}         card G=2
x=2  G={2,y-1,y}     card G=3
x=k  G{k,y-k+1,....y-1,y} card Gk+1<p+1
(2k ne peut appartenir à G)
b)
x=p  G={p,p+1,p+2,......2p-1,2p+1=y}       card G=p (2p ne peut appartenir à G)
c)x=p+1
      G={p+1,p,..............,2p+1=y}      card G=p+1
d)p+1<x<2p+1
      G={x,x+1,..............,2p+1=y}      card G<p+1
conclusion:le cardinal de G passe par un maximun pour x=p+1 et ce maximun est p+1
2)y=2p
la methode est la même
a)x<p card G<p
b)x=p G n'existe pas
c)x=p+1 G={p+1,p+2,.........,2p}    card G=p
d)p+1<x<2p
       G={x,x+1,x+2,.........,2p=y} card G<p
conclusion:le cardinal de G passe par un maximun pour x=p et ce maximun c'est p.
G partie instable de E est de cardinal maximun quand y=1989 et ce maximun est E(y/2)+1=995

G peut avoir jusqu'à 995 éléments.
Deux solutions évidentes : tous les nombres impairs ou tous les nombres supérieurs à la moitié de 1989.
Dans le problème, on peut aussi remplacer 'somme' par différence.

Un problème analogue sur l'échiquier : comment y disposer le maximum de cavaliers sans qu'aucun ne soit en prise par un autre.

Bonjour,
ma reponse est 1988.
En effet G etant une partie de l ensemble de départ, son cardinal est inférieur à 1989.
Cependant, il ne peut etre égal à 1989, car dans ce cas, G serait l ensemble initial, ce qui est impossible, car 2+3=5G.
Donc, il y en a au maximum 1988.
Or, si on enlevé le nombre premier 2, il ne restera que des nombres impairs. En faisant la somme de 2 quelconques de ces nombres, on obtiendra forcément un nombre pair, qui n est donc pas premier, et donc qui n appartiendra pas à G.
Une partie instable peut donc contenir au maximum 1988 éléments.
Merci pour l énigme.

NB: de plus, mais cela n est pas demandé, l ensemble G décrit ci-dessus est l unique partie instable de cardinal égal à 1988. en effet, il est necessaire de "supprimer" un element de l ensemble de depart parmi 2,3 et 5 (d apres mon contre-exemple). mais si on supprime 3, il reste 2+5=7 G et si on supprime 5, il reste 2+11=13G.

Bonjour,

Une partie instable contiendra au maximum 995 nombres.

On peut en donner deux exemples :
1. G = {1, 3, 5, 7, ..., 1987, 1989} (les nombres impairs, 995 éléments)
2. G = (995, 996, 997, …, 1988, 1989} (les derniers 995 entiers)

On ne peut avoir un ensemble plus grand. Supposons avoir G un ensemble instable de taille 996 (par exemple) et raisonnons par l'absurde :

Soit a = min(G) et F = {x-a; x G\{a}}. (F l'ensemble de toutes les differences d'elements de G avec « a », le plus petit element de G).

F et G sont disjoints en effet si y appartient à F et à G, alors il existe x dans G tel que x+y = a, élément de G, d'où une contradiction. Card(FG) = Card(F) + Card(G)

Tous les elements de F sont distincts et appartiennent à l'intervalle [1 ;1989]. FG [1; 1989] et Card(F)=996-1=995.

On en déduit Card(FG)=Card(F)+Card(G) Card[1 ;1989] soit 995+996 1989. Impossible.

A++

L'ensemble de tous les impairs de 1 à 1989 !

La somme sera toujours pair : instabilité de la loi !

Je trouve 995 de deux manières mais je pense qu'on peut optimiser cette solution. Je tente tout de même :

L'ensemble des entiers compris entre 1 et 1989 ET impairs contient 995 éléments et est une partie instable. En effet la somme de deux nombres impairs est un nombre pair et il n'y en a aucun dans cette partie.

L'ensemble des entiers compris entre 995 et 1989 contient 995 éléments et est une partie instable. En effet la différence entre deux éléments x et y de cette partie est inférieure ou égale à 994 et les entiers inférieurs ou égaux à 994 n'appartiennent pas à cette partie.

Aucune démonstration donc, mais j'ai trouvé 995 donc. Peut-être une démonstration par récurrence ...

995

Bonjour,

Il est peut-etre temps que je corrige ce défi. J'attendais un peu parce que Manpower n'avait pas répondu mais visiblement il est parti en vacances. Il se rattrapera le mois prochain.

L'énigme n'était sans doute pas trop difficile puisque la solution des nombres impairs était correcte meme s'il était plus difficile de montrer qu'on ne pouvait faire mieux.

Désolé pour certains (oni, bret, theprogrammeur) mais de 995 à 1989 il y a 995 nombres et désolé mahow mais tu ne réponds pas à la question.

_{Nobody, comme tu le dis j'ai encore quelques souvenirs d'algèbre. Le titre est venu simplement parce que l'énoncé m'a fait penser aux groupes.}


minkus

Salut Minkus. Je n'ai pas osé répondre, parce que ça me semblait si ridiculement facile, que j'ai pensé avoir mal compris l'énoncé. Tant pis pour moi

Ce n'est pas cool là !

Il y a 995 nombre impair dans mon groupe instable !

Pourquoi j'ai faux ?

Ah pardon Minkus je n'avais pas lu ton post...

Mince alors ! Je ferais plus attention !

Mahow, tu peux te consoler en regardant les réponses de ceux qui ont oublié un poteau

Oui, même s'ils sont peu nombreux ^^

(Grrr saleté erreur de ******* (je ne voudrais pas choquer les plus jeunes !) )

Petite question un (tout petit) peu HS pour minkus, est-ce qu'il y aura d'autres énigmes avant la fin du mois?
Parce que je ne serai peut-être pas là à partir de la toute fin de juillet.

Merci

Fractal

Je pense qu'il n'y en aura plus de la part de minkus comme de moi avant la fin du mois

Ok merci.  

Fractal

En effet comme indique dans le defi 59, les 4 que j'ai postees aujourd'hui seront les dernieres du mois.

C'est deprimant de dire ca, la moitie des vacances envolee !!

Oh que oui !

Vous n'avez pas hâte de retrouver vos chers profs, devoirs, contrôles, examens, ... ?


Fractal

Que les eleves ne se plaignent pas, ils reprennent le 4 septembre apres le week-end, nous on reprend avant le week-end

oula !!!
je sais pas ce qui m'a pris, mais je le mérite bien ce !!
j'étais complétement ailleurs et j'ai mal lu l'énoncé : il me semblait avoir lu les 1989 premiers nombres premiers (j'ai du me mélangé les pinceaux avec l'autre énigme sur les nombres premiers !).

Au moins, je me console en me disant que j'étais partis sur la bonne voie...

bonjour,
d'abord une petite question:pourquoi 1989? c'était un exercice pour le bi-centenaire de la révolution?
Ma réponse est exacte mais il manque une partie partie à ma démonstration j'aurais du dire qu'en prenant les impairs on ne faisait pas mieux,le correcteur a fait preuve d'indulgence enfin ça récompense ma persévérance j'ai passé la matinée pour envoyer ce post(coupures d'électricité,de téléphone dues aux orages).
bonne journée à tous