Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques DétentePour discuter des JFF, des problèmes intéressants. ExercicesExercices ludiques [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau exercices
Partager :

Défiition d' une application.

Posté par
cailloux Correcteur 01-09-07 à 01:59

Bonjour à tous,

Comme promis à Kévin, Xunil, _Estelle_ et Dellys, voici un problème sur les suites qui m' a beaucoup plu, accessible aux 1ères, dès lors que l' on admet le théorème de la convergence monotone vu en Terminale, à savoir:

-Toute suite croissante majorée est convergente.
-Toute suite décroissante minorée est convergente.

Un Terminale peut le "court-circuiter" en 3 lignes. Ce n'est pas le but. A mon sens, il est plus intéressant de suivre l' énoncé.

I- Des racines...

A tout x>0, on associe la suite (w_n) définie par w_0=x et \forall n\in \mathbb{N}, w_{n+1}=\sqrt{w_n}

1. Etudier le cas x=1

2. Soit (w_n) et (w_n^') les suites associées à deux réels x et x' et (W_n) celle associée au produit xx'.

Montrer que: \forall n\in \mathbb{N}, W_n=w_n.w_n^'

3. Soit (w_n) et (w_n^') les suites associées à x et \frac{1}{x}. Montrer que: \forall n\in \mathbb{N}, w_n^'=\frac{1}{w_n}

4. On suppose ici que x>1. Montrer que (w_n) est minorée par 1, décroissante et convergente vers 1.

5. Déduire du I_3. le comportement de (w_n) quand x<1.

En conclusion, \forall x>0, (w_n) est convergente vers 1.


II- Etude numérique d' une seconde suite.

A tout x>0, on associe la suite (t_n) définie par: \forall n \in \mathbb{N}, t_n=2^n(w_n-1)

1. Peut-on conclure quant à la convergence de cette suite ?

2. Démontrer que: \forall n \in \mathbb{N}, t_{n+1}=\frac{2t_n}{1+w_{n+1}}

3. Voici deux algorithmes:

A1: données N, W
T\,\leftarrow 2^N(W-1)
Noter N,T
N \,\leftarrow N+1
W \,\leftarrow \sqrt{W}

A2: données N,W,T
W \,\leftarrow \sqrt{W}
T \,\leftarrow \frac{2T}{W+1}
N \,\leftarrow N+1
Noter N,T

a) Expliquer en quoi A1 ou A2 permet de construire un tableau de la suite (t_n).

b) Essayez de trouver en quoi l' un des deux algorithmes est préférable à l' autre.

c) Conjecturer sur ce tableau des propriétés de (t_n).

III- Où on lève l' indétermination.

1. Montrer que (t_n) est décroissante.

2. On suppose ici que x>1. Montrer que (t_n) est convergente.

3. Soit (t_n) et (w_n) les suites associées à x, (t_n^') et (w_n^') celles associées à \frac{1}{x}.

Montrer que: \forall n \in\mathbb{N}, t_n^'=-\frac{t_n}{w_n}.

4. En déduire que pour x<1, (t_n) est convergente.

En conclusion: pour tout x>0, la suite (t_n) est décroissante et convergente vers un réel qu' on notera l(x).

On définit ainsi une application l:\,\mathbb{R}^{+*} \,\mapsto\, \mathbb{R}

IV- Propriétés de l' application l.

1. Montrer que l(1)=0

2. Soit (t_n) et (w_n) les suites associées à x, (t_n^') et (w_n^') celles associées à y, (W_n) et (T_n) celles associées à x.y.

Montrer que: \forall n\in \mathbb{N}, T_n=t_n.w_n^'+t_n^'

3. Montrer que l est une application croissante sur \mathbb{R}^{+*}.

V- Construction approchée de la courbe représentative de l.

1. Montrer que pour tout x>0, et pour tout entier naturel n, on a: l(x)\leq t_n.

2. En déduire que pour tout x>0 et pour tout entier naturel n, \frac{t_n}{w_n}\leq l(x)\leq t_n.

3. Avec n=10, et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on pour: l(2), l(3), l(5), l(7), l(11) ?

4. Ebaucher sur une figure soignée l' allure de la courbe représentative de l dans un repère orthonormé.

VI- Dérivabilité de l.

1. Déduire du V-2. que pour tout x>0, \frac{x-1}{x}\leq l(x)\leq x-1 puis que l est dérivable en 1 de nombre dérivé 1.

2. Soit x>0. Déduire de la question précédente que l est dérivable en x de nombre dérivé \frac{1}{x}.

Voilà, amusez vous bien

Posté par
_Estelle_re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 08:19

Bonjour,

Je ne suis pas là de la journée mais je poste pour suivre, merci Cailloux

Estelle

Posté par dellys (invité)re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 09:48

Bonjour Cailloux et _Estelle_ !


Je viens de me connecter et je commence tout de suite encore merci Cailloux  

Posté par dellys (invité)re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 11:45

 Cliquez pour afficher

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 13:38

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Posté par dellys (invité)re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 13:47

 Cliquez pour afficher

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 13:53

 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:04

Salut,

c'était juste pour savoir ce que veut dire:
Soit w n  et w' n  les suites associées à deux réels x  et x' et Wn celle associée au produit x.x' .

Cela veut-il dire: w n=x et w' n=x' ?

Interessant l'exo (désolé :embarras de telles questions idiotes)

Kuider.

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:09

Non c'est W0 = x et W0'=x'

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:10

Ah d'accord merci de l'explication Kévin

et donc wn+1=VWn ?

Kuider.

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:10

Oui oui toujours

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:55

Bonjour à tous,

>> Dellys

 Cliquez pour afficher


>> Kévin
 Cliquez pour afficher


Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 16:59

 Cliquez pour afficher

Posté par dellys (invité)re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:06

Salut Cailloux, merci pour la réponse ...


 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:20

Salut

Alors voila mes réponses partielles sorry

 Cliquez pour afficher


Je reflechis a la suite.

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:36

>> Dellys

 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:37

re

cailloux a propos de dellys:

 Cliquez pour afficher


Kuider.

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:43

Bonjour Epi

 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:49

 Cliquez pour afficher


Ah sympa je sors un peu (sa  a chauffé ) prendre l'air et j'y re refléchis (se soir )

A+

Kuider.

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:52

Dite les d'jeunes vous voulez la démo du théorème de convergence monotone ?

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 17:57

bonjour,

 Cliquez pour afficher

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:01

Bonjour Xunil

 Cliquez pour afficher

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:15

 Cliquez pour afficher


Edit Kaiser

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:15

et mince....

excusez moi

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:39

>> Xunil


 Cliquez pour afficher

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:47

merci Kaiser

mais pourquoi \sqrt{Wn}=\sqrt{w_n-w'_n} ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:53

>> Xunil

 Cliquez pour afficher

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:54

c'est mulitplier le latex a modifier:

donc je repose:

\sqrt{W_n}=\sqrt{w_n\times w'_n} ?

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 18:55

ah exact c'est largement plus simple vo comme cela merci

Posté par
xunilre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 19:14

II)

j'ai une question: qu'entend tu par tableau de suite.

 Cliquez pour afficher



c'est pas mal un petit exo avec des algo...

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 19:31

>> Xunil

 Cliquez pour afficher

Posté par dellys (invité)re : Défiition d' une application. 01-09-07 à 19:47

Re cailloux !  

 Cliquez pour afficher
?

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 20:36

>> Re Dellys

 Cliquez pour afficher

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:31

Vous avez tous fait le tour du I. Je vous propose une solution:

 Cliquez pour afficher

On n' est pas obligé de regarder

Posté par
infophilere : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:32

C'est trop beau

Posté par
moominre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:32

Coucou Cailloux

 Cliquez pour afficher

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:35

Bonsoir Moomin,

 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:37

cailloux je réfléchi au II) demain , se soir je bosse un peu la physique la

Ton topic est dans mes favoris!

Kuider.

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:41

>> Epi

Bien content que ça te plaise. Les choses intéressantes se situent à partir du III

Je ne sais jamais comment t' appeler: Epi, Epicurien, Kuid...

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:42

Kuid

Kuider.

Posté par
moominre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:46

Ou Cuicui, il aime beaucoup

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 01-09-07 à 21:48

Ca m' aurait étonné : signé Moomin

Posté par
ottore : Défiition d' une application. 02-09-07 à 02:37

dès lors que l' on admet le théorème de la convergence monotone vu en Terminale, à savoir:

          -Toute suite croissante majorée est convergente.
          -Toute suite décroissante minorée est convergente.


Théorème de la limite monotone plutôt non ?
Le théorème de la convergence monotone est d'un autre niveau et dit que si on a des fonctions mesurables positives f_n et qui forment une suite croissante, alors la limite est mesurable et la convergence est en fait L1.

Sinon, une belle application de ce théorème est le théorème de Bolzano-Weiestrass, donnée par Erdös, qui montre préalablement et sans trop de difficulté que de toute suite bornée, on peut en extraire une suite monotone.

Démonstration beaucoup plus courte et probablement plus intuitive que la traditionnelle.

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 02-09-07 à 22:45

re

 Cliquez pour afficher


pas bô le up

Kuider.

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 02-09-07 à 23:19

Bonsoir,

>> otto

J' ai sous les yeux un bouquin de TS (le Terracher pour ne pas le nommer) où il est explicitement fait référence au "théorème de la convergence monotone" pour les suites.

Je crois bien que c' est la terminologie employée en France.
Elle est peut-être différente au Canada...?

>> Kuid

 Cliquez pour afficher

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 02-09-07 à 23:25

cailloux>> Ok !   


 Cliquez pour afficher


Kuider.

Posté par
Epicurienre : Défiition d' une application. 02-09-07 à 23:42

Je vais me coucher, je poursuis demain, sur!


Juste pour savoir avant d'aller me coucher si je suis dans la bonne voie?

Kuider.

Posté par
lafol Moderateurre : Défiition d' une application. 02-09-07 à 23:54

bonsoir
surtout pour suivre le fil ....
pour ne pas le nommer : plutôt : pour ne pas le citer sans le nommer, non ?

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 03-09-07 à 00:09

Bonsoir,

>> Kuid

 Cliquez pour afficher


>> Lafol

Tu peux le comprendre comme ça, mais j' emploie cette "formule" quand je fais allusion à quelqu' un contraint et forcé...comprenne qui pourra

Posté par
cailloux Correcteurre : Défiition d' une application. 03-09-07 à 00:33

Re,

Un oubli de taille dans l' énoncé

Au IV- 2:

Après: Montrer que \forall n \in \mathbb{N},\; T_n=t_nw_n^'+t_n^'

Ajouter: En déduire que: \forall x>0,\;\forall y>0,\; l(x.y)=l(x)+l(y)

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !