Comment peut-on démontrer que la limite d'une suite croissante et non majorée et + l'infini ?


On sait que la suite est croissante donc :
Un+1 > Un

Mais après je vois pas comment faire

Merci pour votre aide

*** message déplacé ***

Désolé, je suis pas encore un pro de l'informatique...

Bonjour

Soit A un réel positif, comme (Un) n'est pas majorée, il existe N entier tel que U_N > A.
Comme (Un) est croissante, on en déduit que pour tout entier n naturel :


Cela veut dire que l'on peut trouver Un aussi grand que l'on veut lorsqu'on choisit n convenablement, donc que (Un) diverge vers +oo

Je me rends compte que la démonstration ne doit pas te paraitre évidente.
En fait, elle est assez intuitive.

Le fait que ta suite ne soit pas majorée nous permet de dire que si l'on se fixe un réel quelconque, on pourra toujours trouver un terme de la suite qui lui sera supérieur.
Ainsi, on peut prendre le réel aussi grand que l'on veut, on trouvera encore un terme de la suite qui lui sera supérieur.
Mais cela ne suffit pas pour en déduire que la suite tend vers +oo. En effet, on peut certes trouver un terme qui lui est supérieur, mais rien ne nous dit a priori que les termes suivant eux lui seront supérieur. C'est là qu'intervient la croissance de la suite : Si elle est croissante, cela veut bien dire que tout les termes sont supérieurs à ceux qui les précédes. Par conséquent, si l'on peut trouver un terme qui est supérieur à n'importe quel réel, aussi grand que l'on veut, qu'on fixe, tout les termes suivant seront eux même supérieur à ce réel.

Dit plus mathématiquement : Quelque soit le réel A, on pourra toujours trouver un rang à partir du quel tout les termes de la suite seront supérieurs à A. C'est exactement la définition d'une suite qui tend vers +oo

Merci beaucoup