Bonjour,

la démonstration de la preuve par 9 est bien expliquée sur Wikipédia

Louisa

Merci.

Mais l'arithmétique modulaire ça me paraît un peu ardu.

Ca reste quand même assez simple dans ce cas là.

Tu ecris tes nombres en base 10
Tu as donc la somme de 10^k ak.
Or 10^k est congru à 1 modulo 9.
Donc tout nombre x est congru à la somme de ses chiffres modulo 9.
on va noter s(x) la somme des chiffres dun nombre. (réduit le plus possible).
Ce qu'on écrit c'est que s(x*y)=s(x)*s(y) modulo 9
Et cela vient donc tout simplement de :
si ab et cd alors acbd

Bonjour.
Un nombre est 1 fois son chiffre des unités, plus 10 fois son chiffre des dizaines, plus 100 fois son chiffre des centaines, etc.
En remplaçant la valeur relative de chaque chiffre par sa valeur absolue (1 fois chaque chiffre), on obtient la somme des chiffres et on a une diminution de 0 fois le chiffre des unités, 9 fois le chiffre des dizaines, 99 fois le chiffres des centaines, etc. La diminution est divisible par 9. On ne touche donc pas au reste de la division par 9.
Si la somme des chiffres avait plus d'un chiffre, on pourrait encore la réduire à sa propre somme des chiffres et le reste de la division par 9 ne changerait toujours pas.
On peut donc écrire : reste du multiplicande, reste du multiplicateur, reste du produit.
Tout nombre est un nombre multiple de 9 plus un nombre plus petit que 9 (son reste).
Multiplicande fois multiplicateur égale :
multiplicande fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)
égale : [nombre divisible par 9 fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)] plus [reste du multiplicande fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)]
égale : (nombre divisible par 9) plus (reste du multiplicande fois nombre divisible par 9) (plus reste du multiplicande fois reste du multiplicateur)
égale : nombres divisibles par 9 plus (reste du multiplicateur fois reste du multiplicateur).
En remplaçant le produit de deux nombres par le produit des restes de leur division par 9, on a une diminution divisible par 9 et les restes de la division par 9 des deux produits sont les mêmes.
On peut donc écrire la somme des chiffres du produit des restes.
Cette somme doit être égale au reste du produit, sinon le calcul de la multiplication est faux.

merci à vous, je vais regarder tout ça avec attention, et peut-être vous poser des questions complémentaires

Je cite :
Un nombre est 1 fois son chiffre des unités, plus 10 fois son chiffre des dizaines, plus 100 fois son chiffre des centaines, etc.
En remplaçant la valeur relative de chaque chiffre par sa valeur absolue (1 fois chaque chiffre), on obtient la somme des chiffres et on a une diminution de 0 fois le chiffre des unités, 9 fois le chiffre des dizaines, 99 fois le chiffres des centaines, etc. La diminution est divisible par 9. On ne touche donc pas au reste de la division par 9.

Cela donne :
(abc) = 100a + 10b+ c
a+b+c = 100a - 99a + 10b -9b + c-0 = (abc) - 99 (a+b) + c


Je cite :
Si la somme des chiffres avait plus d'un chiffre, on pourrait encore la réduire à sa propre somme des chiffres et le reste de la division par 9 ne changerait toujours pas.
On peut donc écrire : reste du multiplicande, reste du multiplicateur, reste du produit.
Tout nombre est un nombre multiple de 9 plus un nombre plus petit que 9 (son reste).
Multiplicande fois multiplicateur égale :
multiplicande fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)
égale : [nombre divisible par 9 fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)] plus [reste du multiplicande fois (nombre divisible par 9 + reste du multiplicateur)]
égale : (nombre divisible par 9) plus (reste du multiplicande fois nombre divisible par 9) (plus reste du multiplicande fois reste du multiplicateur)
égale : nombres divisibles par 9 plus (reste du multiplicateur fois reste du multiplicateur).

Là je ne comprends pas trop, je trouve ça :

Prenons a x b = p
a = 9q1 + r1
b = 9q2 +r2
a x b = 9q + R
a x b = (9q1 + r1)(9q2 +r2)= 9q1x9q2 + 9q1xr2 + 9q2x9q1 + 9q2xr1
81q1q2 + 9q1r2 + 81q2q1 + 9q2r1 = 162q1q2 + 9q1r2 + 9q2r1

Je cite :
En remplaçant le produit de deux nombres par le produit des restes de leur division par 9, on a une diminution divisible par 9 et les restes de la division par 9 des deux produits sont les mêmes.
On peut donc écrire la somme des chiffres du produit des restes.
Cette somme doit être égale au reste du produit, sinon le calcul de la multiplication est faux.

(a x b) - (9q1 + 9q2) = r1 x r2 ??
Là non plus je ne vois pas trop.

Dans ma démonstration j'ai ça :
on passe de :
a x b = 9 x (9q1q2 + q1r2 + r1q2 + q3) + R' avec R'<9 à
q =9q1q2 + q1r2 + r1q2 + q3 (q3 est issu de r1r2 = 9q3 + R')
avec R = R' pou respectivement R le reste de la division de a x b par 9, et R' le reste de la division du produit des restes par 9

C'est cette dernière étape que je ne comprends pas