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Démonstration par récurrence

Posté par
NOKS 10-09-07 à 16:56

Bonjour,
je ne m'en sors pas avec une démonstration dont voici l'énoncé:
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 32n+1+2n+2 est divisible par 7.
Du côté de la proposition et de l'initialisation tout va bien je pense:
(Pn): "32n+1+2n+2 est divisible par 7"
Je vérifie P0
qui est égal à 7 donc naturellement divisible par 7.
C'est la deuxième partie que je n'arrive pas à conclure: l'hérédité.
Je sais qu'il faut montrer que pour tout entier naturel n, si Pn vraie alors P(n+1) vraie.
C'est-à-dire 32n+2+2n+3= k(...) avec k entier.
Mais j'ai beau faire des calculs, je tourne en rond
Si on pouvait déjà m'aider à démarrer, ce serait sympa.
Merci.

édit Océane : niveau modifié

Posté par
critoure : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:07

Bonjour,

Tu te trompes dans ce que tu veux démontrer, normal que tu n'y arrives pas :

P(n+1) s'écrit :
2$ 3^{2(n+1)+1}+2^{(n+1)+2}=3^{2n+3}+2^{n+3}=3^{2n+1}\times9+2^{n+2}\times2

Ça devrait aller mieux avec ça

Posté par
critoure : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:09

Euh, je n'ai pas vraiment écrit la traduction de P(n+1), mais le début du calcul.

Posté par
NOKSre : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:11

d'accord. C'était vraiment tout bête.
Et bien merci.

Posté par
NOKSre : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:20

Euh... j'espère que je ne demande pas trop,
mais est-ce que tu pourrais mettre le résultat final?
Histoire de voir si je trouve bien quelque chose de correct à la fin.
Merci d'avance.

Posté par
critoure : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:24

...=3^{2n+1}\times9+2^{n+2}\times9-2^{n+2}\times7=(3^{2n+1}+2^{n+2})\times9-2^{n+2}\times7
Et les deux membres de la somme étant des multiples de 7, tu peux conclure (après, à toi de voir comment tu veux rédiger ça).

Posté par
NOKSre : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:25

En quoi, les deux membres sont des multiples de 7

Posté par
critoure : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:28

3^{2n+1}+2^{n+2} l'est par hypothèse (on a supposé P(n) vraie), et pour -2^{n+2}\times7 c'est évident

Posté par
NOKSre : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:28

Il ne faut pas montrer une implication ? (si Pn vraie alors Pn+1 vraie)
Enfin, apparemment, je n'ai pas fait les mêmes calculs.

Posté par
NOKSre : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:29

ok d'accord, je vois.
Merci beaucoup.

Posté par
critoure : Démonstration par récurrence 10-09-07 à 17:30

De rien !


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