Bonjour

a.
Soit Pn:"1+3+5+...+(2n-1)=n²"
Pour n=1, la propriété est vraie donc P1 vrais.
Suppososns le résultat vrai jusqu'au rang n et calculons pour le rang n+1.
On a:
1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=n²+2n+1 (en utilisant l'hypothèse de récurrence)
Or n²+2n+1=(n+1)²
donc 1+3+5+...+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)²
donc Pn+1 est vraie et donc le résultata est vrai pour tout n supérieur ou égal à 1 d'après le théorème de récurrence.

b.
De la même manière, on a:
P0 est vraie car 0(0+1)=[0(0+1)(0+2)]/3
Supposons le résultat vrai jusqu'au rang n.
On a:
1*2+2*3+3*4+...+n(n+1)+(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)]/3 +(n+1)(n+2) en utilisant l'hypothèse de récurrence.
Or en mettant (n+1)(n+2) en facteur
donc
d'où Pn+1 vrai et donc Pn est vrai pour tout n d'après le théorème de récurrence

Joelz