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Démontrer parallélogramme
Bonjour,
"ABCD est le quadrilatère ci-dessous. On partage chacun des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] en trois segments de même longueur et on joint deux à deux les points obtenus comme le montre la figure ci-dessous. On obtient alors un quadrilatère PQRS.
1. Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme."
Voici ma démonstration, j'ai vraiment eu du mal à la trouver et la fin me semble assez fragile, j'aimerais donc votre avis:
Dans les triangle ABC, Z le point d'intersection des droites (AB) et (PQ) et Y le point
d'intersection des droite (BC) et (PQ).
Dans le triangle ADC, W est le point d'intersection des droites (AD) et (SR) et X le point d'intersection des droites (CD) et (SR)
D'après la réciproque du théorème de Thalès:
BZ/BA=BY/BC= 1/3 dc (ZY)//(AC)
DW/DA=DX/DC=1/3 dc (WX)//(AC)
Si 2 droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles, ainsi (ZY)//(WX)
Dans le triangle BAD, F l'intersection des droites (AB) et (PS) et G l'intersection des droites (AD) et (PS).
Dans le triangle BCD, K l'intersection des droites (BC) et (QR) et L l'intersection des droites (CD) et (QR)
D'après la réciproque du théorème de Thalès:
AF/AB=AG/AD=1/3 ainsi (FG)//(BD)
CK/CB=CL/CD=1/3 ainsi (KL)//(BD)
Ainsi (FG)//(KL)
De plus ces couples de parallèles se coupent aux points P,Q,R et S.
Alors (PS)//(QR) et (PQ)//(SR) et la distance séparant ces droites étant toujours la même
par conséquent PQ=SR et PS=QR.
On peut donc affirmer que vecteurPQ=vecteurSR, ainsi PQRS est un parallélogramme.
Bonjour
Oui, c'est l'idée de la démonstration
(PS) et (QR) parallèles à (BD) donc sont parallèles entre elles
(PQ) et (SR) parallèles à (AC) donc parallèles entre elles
Un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux est un parallélogramme
Il faut nommer les points d'intersection et réciproque de Thalès
On peut s'éviter d'écrire deux fois la même démonstration en écrivant
par exemple On démontrerait de même que (RS) et (PQ) sont parallèles
Il n'est pas question de distance
parallèles de même longueur
parallèles deux à deux
de même longueur deux à deux
Cela suffit pour un parallélogramme. Il faudrait indiquer les points sur la figure.
Difficile de suivre sinon.
Voici ma nouvelle version, c'est mieux?
Dans les triangle ABC, Z le point d'intersection des droites (AB) et (PQ) et Y le point
d'intersection des droite (BC) et (PQ).
Dans le triangle ADC, W est le point d'intersection des droites (AD) et (SR) et X le point d'intersection des droites (CD) et (SR)
D'après la réciproque du théorème de Thalès:
BZ/BA=BY/BC= 1/3 dc (ZY)//(AC)
DW/DA=DX/DC=1/3 dc (WX)//(AC)
Si 2 droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles entre elles, ainsi (ZY)//(WX)
Dans le triangle BAD, F l'intersection des droites (AB) et (PS) et G l'intersection des droites (AD) et (PS).
Dans le triangle BCD, K l'intersection des droites (BC) et (QR) et L l'intersection des droites (CD) et (QR)
Avec la même méthode, on démontre que (FG)//(KL), car en effet:
AF/AB=AG/AD=1/3 ainsi (FG)//(BD)
CK/CB=CL/CD=1/3 ainsi (KL)//(BD)
(ZW) coupe (WX) au point S et (ZY) au point P et (YX) coupe (ZY) au point Q et (WX) au point R.
Donc PQ=SR et PS=QR, en conclusion vecteur PQ= vecteur SR et PQRS est un parallélogramme.
Il ne peut y avoir deux points communs
(ZW) coupe (WX) au point S Non ce ne peut être qu'en W idem pour les autres
Vous n'avez pas montré la dernière ligne.
Une proposition
Appelons Z et Y les points d'intersection de (PQ) avec {BA) et (BC)
Appelons X et W les points d'intersection de (SR) avec {DC) et (DA)
Par hypothèse, et
Il en résulte que
De même
Par hypothèse, et
Il en résulte que
Nous avons ainsi Les droites (ZY) et (WX) sont donc parallèles,
Comme (PQ)=(ZY) et (SR)=(WX) les droites (PQ ) et (SR) sont parallèles.
Nous démontrerions de même que les droites(PS) et (QR) sont parallèles
Un quadrilatère PSQR qui a ses côtés parallèles deux à deux est un parallélogramme.
D'accord je trouve cet exercice hyper compliqué, je suis encore bloqué ensuite:
Démontrer que vecteur IP= vec(2/3)IA + vec(2/3)IB
Je sais que IP=IN+IM
et que IM=x*IA et IN=k*IB
mais ensuite je ne sais pas quoi faire, je ne vois aucune propriété pour m'aider.
Appelons J le point d'intersection de (AB) et (PS)
Appliquez Thalès dans les triangles AJM et ABI
AM= 1/3 AI donc IM= 2/3 IA
De même IN= 2/3 IB
Ce n'est pas en vecteurs d'abord
Je vous l'avais indiqué Thalès les droites(BI) et (JM) sont parallèles
On sait par hypothèse que le segment [AB] a été découpé en 3 ce que l'on peut traduire par .
Par conséquent
Cela, en utilisant les vecteurs. Plus traditionnel :
D'accord ça fait des heures que je planche dessus et j'étais encore incapable de voir ça. J'ai la dernière question qui fini de m'achever:
"3.En déduire que IA+IB+IC+ID=3IO où O est le centre du parAllélèlogramme PQRS."
Qu'est-ce que je loupe encore ici, car je ne vois PAS ce que je dois déduire de la question 2.
En faite c'est bon j'ai au moins trouver pour cette question là. Merci infiniment pour votre patience et votre aide !
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