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Dérivation

Posté par francois88 (invité) 07-08-05 à 17:48

Bonjour,

j'ai un petit probleme pourriez vous m'aider svp merci d'avance

soit: f(x)=((1+x) -1)/x le tout multipilé par sin x
et f(o)=1/2
f est elle dérivable ??

svp en fait je connais la démarche mais je bloque c le sin x qui m'embete en fait!

Dérivation

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:03

svp pouvez vous m'aider ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:12

Bonjour francois88,

Tu cherches à savoir si ta fonction est dérivable sur R ou si elle est dérivable en 0?

A plus

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:14

oh oui excusez moi j'ai completement oublié de précisé excusez moi c en 0 que je cherche!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:18

J'ai écrit le taux d'accroissement entre 0 et x.
Chez moi, il est la somme de 3 termes, dont 2 tendent vers 0, et 1 tend vers l'infini, quand x tend vers 0.
J'aurais tendance à répondre : "non dérivable en 0"

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:19

Bonjour,

\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times sin(x)=\frac{sin(x)}{x}\times (\sqrt{1+x}-1)

Or on sait que \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1

Et \lim_{x\to 0}\sqrt{1+x}-1=0

Donc :\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\times sin(x)=0

Donc f est dérivable en 0 et f'(0)=0

A plus

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:21

\frac{f(x)-f(0)}{x-0}= \frac{\sqrt{1+x}sin(x)}{x^2} - \frac{sin(x)}{x^2}-\frac{1}{2x}
Quand x tend vers 0, les deux premiers termes tendent vers ...
et le troisième terme tend vers...

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:21

Je crois que je suis allé trop vite!

J'ai fais la continuité là!

Désolé!

A plus

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:22

clemclem, sauf erreur, tu as montré que la fonction était prolongeable par continuité en 0, c'est tout. Rien sur sa dérivabilité.

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:23

oui peut etre mais je croyais que pour démontrer qu'une fonction été dérivable il fallait faire : f(a+h)-f(a) le tt sur h vu que la on nous di que f(0)=1/2, il faut peut etre s'en servir??

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:23

Moi aussi, j'ai dit une bêtise avec mes trois termes !

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:24

oui je suis plutot d'accord avec nicolas

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:24

ah oK

Posté par
cinnamonre : Dérivation 07-08-05 à 18:24

Salut, clemclem tu n'as pas calculé le taux d'accroissement mais la limite de f en 0, ce n'est pas avec ça que tu montres que la fonction est dérivable en 0.
Par contre ton calcul n'est pas inutile puisqu'il montre que f n'est pas continue en 0, elle ne peut donc pas être dérivable en 0.


à+

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:26

oué mais en meme temps moi j'ai jamais vraiment vu ca!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:27

Je reprends :
taux d'accroissement entre 0 et x
= \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.\frac{sinx}{x}-\frac{1}{2x}
or \frac{sinx}{x} tend vers 1
et \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} tend vers (\sqrt{1+x})'(0)=1/2
Donc le premier terme converge.
Mais le second diverge.
J'espère ne pas m'être trop trompé cette fois-ci !

Nicolas

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:29

Bonjour,

Je réessaye

Alors cela fait donc :\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}sin(x)-sin(x)}{x^2}

Or \lim_{x\to%200}\frac{sin(x)}{x}=1

Donc :\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}sin(x)-sin(x)}{x^2}=\lim_{x\to 0} \sqrt{1+x} -1=0

C'est bon où je me suis encore planté

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:30

Je vois que toi comme moi Nicolas_75 nous ne sommes pas très sûr

A plus

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:30

Autre méthode, plus courte :
En posant f(0)=1/2, la fonction n'est même pas continue en 0 (puisque f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0). Donc elle n'est a fortiori pas dérivable en 0.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:32

clemclem, l'expression de ton taux d'accroissement est fausse. Il manque un 1/2 quelque part.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:33

Je pense que mes 2 méthodes ci-dessus sont bonnes. Du moins, j'espère !

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:33

nicolas je vois pas comment tu trouve ca! puisque tu doi avoir :

Dérivation

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:33

Nicolas_75 je ne vois d'où viens ton 1/2!

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 18:34

D'accord j'ai compris!

C'est bon pour moi!

A plus

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:34

je n'ai pas vu les fonctions continu ou pas! enfin je pense

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:35

francois88, je crois que j'ai la même expression, non ?
clemclem, mon 1/2 vient de f(0) (cf. énoncé) !

Posté par
cinnamonre : Dérivation 07-08-05 à 18:36

Nicolas_75 18:30 "En posant f(0)=1/2, la fonction n'est même pas continue en 0 (puisque f(x) tend vers 0 quand x tend vers 0). Donc elle n'est a fortiori pas dérivable en 0".

C'est ce que je disais dans mon poste de 18:24, mais personne ne l'a remarqué  

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:36

a oui autant pour moi

Posté par aicko (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:38

>clemclem tu as juste calculer la limite en 0 dc tu as juste etudié la continuité, d'ailleurs il me semble que f(0)=0 sinon la fonction n'est pas continue en 0


en multipliant par la quantité conjuguée ta fonction s'ecrit

f(x) =\frac{ sinx}{\sqrt{1+x}+1} elle est definie sur [-1;+[
donc on remarque directementque la limite en 0 est nulle.

pour ce qui est de la dérivée, la fonction est derivable sur ]-1;+[ (cf dérivation de \sqrt{1+x})

cas à voir : derivabilité en -1

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:40

je ne comprend pas trop nicolas quand tu met tend vers (x+1)'(0)  à 18:27

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:42

aicko il faut dériver en 0!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:43

Si on change l'énoncé en définissant :
f(x)=\frac{\sqrt(1+x)-1}{x}.sin(x) pour x>0
et f(0)=0

Alors f est continue en 0.
Et f est dérivable à droite en 0, de dérivée 1/2,
puisque :
\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.\frac{sin(x)}{x}
qui tend vers (\sqrt{1+x})'(0).1 quand x tend vers 0+

Sauf erreur.

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 18:44

ya pas quelqu'un qui serait capable de m'expliquer clairement pour que je comprenne sans me parler de f continue?? svp

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:46

francois88, tu dis : "je ne comprend pas trop nicolas quand tu met tend vers (\sqrt{x+1})'(0) à 18:27"

Réponse : quand x tend vers 0,
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} tend vers la dérivée de \sqrt{1+x} en 0 : c'est la définition même.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:49

francois88, tu as dû voir dans ton cours que si une fonction est dérivable en un point, alors elle est continue en ce point. Dans notre cas la fonction n'est même pas continue.

Si tu ne veux pas entendre parler de continuité, cherche à voir si le taux d'accroissement que tu as marqué à 18h33 admet une limite. Nous avons montré ci-dessus que non. (Par exemple ma démonstration de 18h27).

Posté par aicko (invité)remarque 07-08-05 à 18:51

si ta fonction est vraiment celle de ton enoncé
c'est a dire avec f(0) =\frac{1}{2}
ta fonction n'est pas continue puisque

\lim_{x\to 0}f(x)=0\frac{1}{2}

or derivabilitécontinuité

donc si ta fonction n'est pas continue en 0 elle ne peut pas etre derivable en 0 par contraposée......

Posté par
cinnamonre : Dérivation 07-08-05 à 18:52

francois88, es-tu sûr de l'énoncé de ta fonction (ou alors de ton identité ?)?
Jette un coup d'oeil aux posts du 18/07 à 21:32 et 21:46 :
Limites et derivées 1ereS

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:53

aicko, ne parle pas de continuité ! Notre ami y semble allergique

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 18:55

cinnamon > :D

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 19:05

oué ba ca mapporte pas grd chose

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Dérivation 07-08-05 à 19:07

Je suppose que l'énoncé essaie de définir f(x) comme suit:
f(x) = [(V(1+x) - 1)/x] * sin(x) pour x dans R*
et f(0) = 1/2.

Si c'est le cas:

Avec f(x) = [(V(1+x) - 1)/x] * sin(x)

lim(x->0) f(x) = 0

Or on donne f(0) = 1/2

f(x) n'est pas continue en 0 --> Pas question qu'elle soit dérivable en 0.
-----
Si par contre f(x) est définie par:

f(x) = [(V(1+x) - 1)/x] * sin(x) pour x dans R*
et f(0) = 0, alors c'est tout différent.

Quel est le bon énoncé ?
-----


Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 19:13

ce que vous avez écris en haut de votre message est bon!(enfin c l'énoncé)

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 19:13

francois88, , ton énoncé semble mal recopié.
Même si tu le considères comme juste, nous t'avons donné 2 preuves différentes que ta fonction n'est pas dérivable :
- par la non-continuité (cinnamon 18h24)
- par la non-convergence du taux d'accroissement (Nicolas 18h27)
Que souhaites-tu de plus ?
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ?

Posté par aicko (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 19:32

il y a une corrélation avec la continuité
je vous rappelle que la valeur de la derivée en un point est la valeur du coefficient directeur de la tangente en ce point dc si la fonction n'est pas continue....


bon montrons tout ceci
d'abord
f(x)= \frac{sin x}{x} (\sqrt{1+x}-1) = \frac{sin x}{x} \frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{sin x}{x} \frac{(1+x-1)}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{sinx}{\sqrt{1+x}+1}

calculons la limite du taux d'accroisement en 0
\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{\frac{sinx}{\sqrt{1+x}+1}-\frac{1}{2}}{x-0}
= \frac{2sinx-\sqrt{1+x}-1}{2x(\sqrt{1+x}+1)}
= \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} \frac{sinx}{x}-\frac{1}{2x}

\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}
et \lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1
et \lim_{x\to 0}-\frac{1}{2x}=+ ou -

Conclusion :\lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}= -
et
            \lim_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=+

donc f n'est pas dérivable en 0

VOILA donc aucune discussion sur la continuité

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 07-08-05 à 19:37

En résumé, francois88, grâce à aicko, tu es maintenant face à 2 méthodes pour montrer que le taux d'accroissement ne converge pas :
- la sienne 19h32 basée sur une transformation de la fonction par multiplication par la quantité conjuguée du numérateur
- la mienne 18h27 basée sur le fait que l'on peut reconnaître dans le taux d'accroissement de f le taux d'accroissement d'une fonction simple de dérivée connue.

Nicolas

Posté par francois88 (invité)re : Dérivation 07-08-05 à 19:53

merci a tous pour avoir consacrer du tps pour moi c'est

Posté par sarah1710 (invité)erreur dans l énoncé 18-08-05 à 17:39

bonjour à tous,

j'ai le meme exercice que toi francois88 et il y avait une erreur dans l'énoncé, un papier me la confirmer

ce n'est pas multiplié par sin x mais c'est une indication si x différent de 0.

je vous demande également votre aide car j'ai un problème lors de la résolution.

je vous envoie ce que j'ai fait mais je pense que ce ne doit pas etre la bonne méthode.

merci de votre aide


*** message déplacé ***

Posté par sarah1710 (invité)erreur dans l énoncé 18-08-05 à 17:43

bonjour à tous,

j'ai le meme exercice que toi francois88 et il y avait une erreur dans l'énoncé, un papier me la confirmé.

ce n'est pas multiplié par sin x mais c'est une indication si x différent de 0.

je vous demande également votre aide car j'ai un problème lors de la résolution.

je vous envoie ce que j'ai fait mais je pense que ce ne doit pas etre la bonne méthode.

merci de votre aide

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Dérivation 18-08-05 à 17:51

Bonjour,

Quel est ton énoncé précis ?
Qu'as-tu déjà fait ?

Nicolas

Posté par
cinnamonre : Dérivation 18-08-05 à 17:57

Salut,
Limites et derivées 1ereS

18/07/2005 21:22 .

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