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Niveau Maths sup
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dérivées successives / polynômes

Posté par
marion988
27-12-08 à 10:21

bonjour!
je bloque sur une question,

voilà les données du problème :

C= {f/ f''(x)>=f(x)}

F/ P''-P = Q   avec P,Q[X]

P(2k+2)-P(2k)=Q(2k)  k

P=P(2k+1)+P(2k+2)-02kQi

F est bijective

question:en choisissant convenablement le polynôme Q, établir que C contient des fonctions polynômiales de degré 2k pour tout k

jai essayé de remplacer P par son expression dans C mais ça ne m'avance pas à grand chose...
auriez vous une idée?
merci

Posté par
Camélia Correcteur
re : dérivées successives / polynômes 27-12-08 à 15:34

Bonjour

Si j'ai bien compris l'énoncé; soit Q(X)=X^{2k}+1 et soit P le seul polynôme tel que F(P)=P"-P. Alors P est un polynôme de degré 2k et la fonction polynômiale associée est dans C.

Posté par
marion988
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 14:06

je ne comprend pas pourquoi on peut dire que cette fonction polynômiale appartient à C?

Posté par
Camélia Correcteur
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 15:06

Parce que pour tout x, Q(x)=P"(x)-P(x) >0

Posté par
marion988
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 15:46

justement je ne comprend pas pourquoi Q(x)O

si on pose Q(x)=x(2k)+1
si cest supérieur à 0 on a

x(2k)-1 ce qui vrai car à partir de k=1 x(2k) = 0
c'est pour ça?

et donc après on peut s'en servir pour dire que p est de degré 2k et appartient à C... et oui en fait je crois que j'ai compris.

merci beaucoup^^

Posté par
Camélia Correcteur
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 15:54

Mal entendu!

Q(X)=X^{2k}+1 Il s'agit de puissance! X^2+1,\ X^4+1...

Posté par
marion988
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 15:54

sauf que k donc ça ne marche pas pour k=0 !!

comment faire?

Posté par
marion988
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 15:55

ah oui daccord je vais voir ça

Posté par
marion988
re : dérivées successives / polynômes 28-12-08 à 16:06

donc alors

j'aurais P(2k+2)-P2k=(x2k+1)(2k)

avec (x2k+1)(2k)= 2k! qui est supérieur à O

mais alors je ne vois pas l'intérêt du '+1' on peut prendre Q(x)=x^2k non?

Posté par
Camélia Correcteur
re : dérivées successives / polynômes 29-12-08 à 14:26

Oui, on pourrait! avec le +1 il y a inégalité stricte. Mais je ne comprends pas pourquoi tu veux dériver Q(X).



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