Bonjour,
Une urne contient des boules de plusieurs couleurs, et il y en autant (plus d'une) de chacune des couleurs. On ajoute dans l'urne 15 boules d'une autre couleur que celles déjà utilisées. Ce faisant il se trouve que la probabilité de tirer sans remise deux boules de la même couleur est la même qu'avant l'ajout des 15 boules.
Combien y avait-il de boules au début ?
Même question pour l'ajout de 20 boules au lieu de 15, et même question pour l'ajout de 25 boules au lieu de 15.
Pour chacune des trois questions, on donnera toutes les solutions s'il y en a plusieurs, et le cas échéant on répondra « problème sans solution » s'il n'y en a aucune.
Bonjour,
posons n le nombre de couleur, b le nombre de boules de chaque couleur initiale, p le nombre de boule rajoutée.
Notons l'évenement avant ajout et après ajout
On a donc
Cas 1)
On cherche et entiers non nuls tels que:
Les diviseurs de 225 sont 1 3 5 9 15 25 45 75 225
Ont obtient alors les couples (n,b) suivants:
(3,5)
(5,6)
(15,15)
Cas 2)
On obtient lkes couples (n,b) suivants:
(2,5)
(5,8)
(10,9)
Cas 3)
On obtient les couples (n,b) suivants:
(5,10)
(25,12)
Merci pour cette énigme, en esperant ne pas être aller trop vite.
salut
En rajoutant 15 boules:
Il y avait 7 couleurs et 7 boules de chaque couleur donc la réponse est 49 boules.
En rajoutant 20 boules:
Il y avait 19 couleurs et 10 boules de chaque couleur donc la réponse est 190 boules.
En rajoutant 25 boules, plusieurs solutions:
Il y avait 2 couleurs et 7 boules de chaque couleur donc la réponse est 14 boules.
Il y avait 3 couleurs et 9 boules de chaque couleur donc la réponse est 27 boules
Il y avait 4 couleurs et 10 boules de chaque couleur donc la réponse est 40 boules
Il y avait 6 couleurs et 11 boules de chaque couleur donc la réponse est 66 boules
mince, pour le dernier cas, j'ai oublié de recopier une solution
12 couleurs et 12 boules de chaque couleur soit 144 boules
J'ai voulu faire trop vite ...
J'espère au moins que c'est juste ...
Bonjour littleguy,
Cas où l'on ajoute 15 boules.
1 solution : 7 boules de chaque couleur, 7 couleurs
Cas où l'on ajoute 20 boules.
1 solution : 10 boules de chaque couleur, 19 couleurs
Cas où l'on ajoute 25 boules.
5 solutions :
7 boules de chaque couleur, 2 couleurs
9 boules de chaque couleur, 3 couleurs
10 boules de chaque couleur, 4 couleurs
11 boules de chaque couleur, 6 couleurs
12 boules de chaque couleur, 12 couleurs
Merci pour cette énigme de proba.
Bonsoir,
Si on ajoute 15 boules, il y en avait 49 avant l'ajout.
Si on ajoute 20 boules, il y en avait 190 avant l'ajout.
Si on ajoute 25 boules, il y en avait 14, 27, 40, 66 ou 144 avant l'ajout.
Merci, bonne soirée
Bonjour,
Voila mes réponses ...(en espérant que j'aie bien compris le problème ...)
1. pour un ajout de 15 boules, je trouve qu'il y avait 49 boules au départ (7 boules et 7 couleurs)
2. pour un ajout de 20 boules, je trouve qu'il y avait 190 boules au départ (10 boules et 19 couleurs)
3. pour un ajout de 25 boules, il y a 5 solutions
Je trouve qu'il y avait 14 boules au départ (7 boules et 2 couleurs), 27 boules au départ (9 boules et 3 couleurs), 40 boules au départ (10 boules et 4 couleurs), 66 boules au départ (11 boules et 6 couleurs) et 144 boules au départ (12 boules et 12 couleurs)...
Bonsoir LittleGuy,
Soit c le nombre de couleurs au départ
et b le nombre de boules par couleur.
Nombre total de boules=b*c
Pour 15: une solution bc=49 avec b=7 et c=7
Pour 20: 1 solution bc=190 avec b=10 et c=19
Pour 25: cinq solutions
bc =14 b=7 et c=2
bc=27 avec b=9 et c=3
bc=40 avec b=10 et c=4
bc=66 avec b=11 et c=6
bc=144 avec b=12 et c=12
Merci pour l'énigme.
Pour un ajout de 15 boules (une solution):
7 couleurs différentes et 7 boules de chaque soit 49 boules en tout
Pour un ajout de 20 boules (une solution):
19 couleurs différentes et 10 boules de chaque soit 190 boules en tout
Pour un ajout de 25 boules (5 solutions):
2 couleurs différentes et 7 boules de chaque soit 14 boules en tout
3 couleurs différentes et 9 boules de chaque soit 27 boules en tout
4 couleurs différentes et 10 boules de chaque soit 40 boules en tout
6 couleurs différentes et 11 boules de chaque soit 66 boules en tout
12 couleurs différentes et 12 boules de chaque soit 144 boules en tout
bonsoir Littleguy !... et merci
je pose
n : le nombre des couleurs n >1
x : le nombre de boules de chaque couleur (identique pour chaque couleur) x >1
15 boules : on arrive à la condition : n(8-x) = 7
7 étant premier, et n>1, la seule valeur possible pour n est 7, et donc 7 aussi pour x
Combien y avait-il de boules au début ? 7 * 7 = 49 boules
----
20 boules : égalité : n(21-2x) = 19
19 étant premier, et n>1, la seule valeur possible pour n est 19, et donc x=10
Combien y avait-il de boules au début ? 19 * 10 = 190 boules
-----
25 boules : égalité : n(13-x) = 12
n peut prendre pour valeur les diviseurs de 12, sauf 1.
Combien y avait-il de boules au début ?
n=2 ==> x = 7 soit 14 boules
n=3 ==> x = 9 soit 27 boules
n=4 ==> x = 10 soit 40 boules
n=6 ==> x = 11 soit 66 boules
n=12 ==> x = 12 soit 144 boules
Bonsoir
quand on ajoute 15 boules il y a 1 solution et 49 boules au départ
quand on ajoute 20 boules il y a 1 solution et 190 boules au départ
quand on ajoute 25 boules il y a 5 solutions et soit 14 soit 27 soit 40 soit 66 soit 144 boules au départ
A+
Bonjour à tous. Je propose:
1) 49 boules
2) 190 boules
3) 14, 27, 40, 66 ou 144 boules
Merci pour l'énigme
Bonjour,
Je vais tenter :
Pour un rajout de 15 boules
Au départ 21 boules :3 de 7 couleurs différentes.
Pour un rajout de 20 boules
Au départ 76 boules :4 de 19 couleurs différentes.
Pour un rajout de 25 boules , je n'ai trouvé aucune solution.
Bonjour
N'ayant pas beaucoup de temps comme d'habitude je n'ai pas vérifié.
Au début il y avait 49 boules.
2e cas : 190 boules
3e cas : 5 solutions :
14, 27, 40, 66 et 144 boules
Bonjour,
- pour 15 boules, je propose 49 boules au total au départ
- pour 20 boules, je propose 190 boules au total
- pour 25 boules, il y a plusieurs possibilités : 144,66,40,27 et 14.
Si on note n le nombre de boules de chaque couleur, c le nombre de couleurs différentes au départ et p le paramètre valant 15, 20 ou 25, on a que la probabilité de tirer 2 boules sans remise de même couleur au départ vaut (n-1)/(cn-1). Après l'ajout des p boules, il faut considérer la disjonction "la première boule tirée est de la nouvelle couleur ou non". Si la première boule est de cette nouvelle couleur, on obtient la proba p/(cn+p) et alors la proba conditionnelle d'en tirer une seconde de cette couleur vaut (p-1)/(cn+p-1). Sinon, si on tire une boule d'une couleur de départ, on obtient cn/(cn+p) puis (n-1)/(cn+p-1).
Bref, au final, on obtient l'équation (n-1)/(cn-1)=p(p-1)/(cn+p)(cn+p-1)+cn(n-1)/(cn+p)(cn+p-1) dont on cherche les solutions entières. Un programme pour c entre 1 et 1000 et n entre 1 et 10000 donne les valeurs de nc annoncées. Je n'ai pas montré que c'étaient les seuls solutions (n et c pourraient être plus grand que les valeurs testées, j'espère que dans un souci de réalisme, les valeurs testées sont assez grandes...)
Merci pour l'énigme !
Bonjour,
1)probabilité inchangée si on ajoute 15 boules d'une autre couleur:
49 boules en 7 couleurs: probabilité 1/8
2) impossible
3) probabilités inchangées si on ajoute 25 boules d'une autre couleur :
14 boules en 2 couleurs: probabilité 6/13
27 boules en 3 couleurs: probabilité 4/13
40 boules en 4 couleurs: probabilité 3/13
66 boules en 6 couleurs: probabilité 1/13
En fait, en simplifiant mon équation, on obtient (avec mes notations) c(2n-1-p)=1-p donc c divise p-1. Les diviseurs de p-1=15-1=14 sont 1,2,7,14 et pour c=7, on obtient n=7 d'où nc=49 et pour les autres valeurs de c, n n'est pas entier. On procède de même pour p-1=20-1=19 de diviseur 1 et 19. c=19 donne n=10 d'où nc=190. Enfin p-1=25-1=24 a pour diviseurs 1,2,3,4,6,8,12,24. c=2 donne n=7 d'où nc=14. c=3 donne n=9 d'où nc=27. c=4 donne n=10 d'où nc=40. c=6 donne n=11 d'où nc=66 et enfin c=12 donne n=12 d'où nc=144. On pouvait donc tout faire à la main et cette fois, on a toutes les solutions. Ma fainéantise ne me quittera jamais
une faute de frappe :
3) 66 boules en 6 couleurs: probabilité 2/13 et non 1/13
un oubli :
3) 144 boules en 12 couleurs: probabilité 1/13
ça me vaudra un poisson, mais ce n'est pas grave.
avec 15 boules, une solution : 49
avec 20 boules, une solution : 190
avec 25 boules , 5 solutions : 14, 27, 40, 66, 144
prolongement: (à vérifier)
il semblerait que si une urne contient n² boules en n couleurs, la probabilité d'en tirer 2 de même couleur p = 1/(n+1) reste inchangée en ajoutant 2n +1 boules d'une autre couleur.
bonjour,
je ne sais pas pourquoi je 'ai pas réussi à poster ma réponse,je vois apparaitre en rouge
que je n'y suis pas autorisée
je fais un nouvel essai mais cette fois je ne retape pas tout
*k est le nombre initial de couleurs dans l'urne
* n le nombre de boules de chacune de ces couleurs
il y a donc initialement N = kn boules dans l'urne
probabilité p1 de sortir deux boules de même couleur en deux tirages sans remise
*on introduit x boules d'une même couleur différente des k couleurs déjà représentées
probabilité p2 de sortir deux boules de même couleur avec cette nouvelle
composition de l'urne
(1)
x=15 (1) devient k(8-n)=7
k est différent de 1 et divise 7 donc k=7 et n=7 => N=49
x=20 (1) devient k(21-2n)=19)
k est différent de 1 et divise 19=>k=19 et n=10=>N=190
x=25 (1 ) devient k(13-n)=12
donc
k=12,n=12 N=144
k=6, n=11 N=66
k=4, n=10 N=40
k=3, n=9 N=27
k=2, n=7 N=14
merci pour ce petit problème
Bonjour,
Si ajout de 15 boules, au départ il y avait 49 boules
Si ajout de 20 boules, au départ il y avait 190 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 14 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 27 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 40 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 66 boules
Si ajout de 25 boules, au départ il y avait 144 boules
Pas d'autre solution.
Si on rajoute 15 boules et que la probabilité reste la même c'est qu'il y a avait 7 boules pour chacune des 7 couleurs et donc 49 boules.
Si on rajoute 20 boules et que la probabilité reste la même c'est qu'il y a avait 10 boules pour chacune des 19 couleurs et donc 190 boules.
Si on rajoute 25 boules et que la probabilité reste la même, il y avait 14, 27, 40, 66 ou 144 boules réparties comme suis :
Nombre de boules | Nombres de boules de chaque couleur | Nombre de couleurs |
14 | 7 | 2 |
27 | 9 | 3 |
40 | 10 | 4 |
66 | 11 | 6 |
144 | 12 | 12 |
Petit post scriptum :
C'est plus facile en repartant de l'équation et en isolant : . On voit directement que .
Lorsque l'on rajoute 15 boules il y avait 49 boules au début dans l'urne (7 de 7 couleurs distinctes)
Lorsque l'on rajoute 20 boules il y avait 190 boules au début dans l'urne (10 de 19 couleurs distinctes)
Lorsque l'on rajoute 20 boules il y pouvait y avoir au début dans l'urne
14 boules (7 de 2 couleurs)
27 boules (9 de 3 couleurs)
40 boules (10 de 4 couleurs)
66 boules (11 de 6 couleurs)
144 boules (12 de 12 couleurs)
bonjour,
c'est un problème assez compliqué dont j'y ai beaucoup réfléchis.
je pense que
15 boules : 30 boules
20 boules: 20 boules
25 boules : 50 boules
merci pour ce problème.
Bonjour,
sauf erreur, en faisant le calcul des différentes proba et en utilisant excel pour trouver les égalités, j'obtiens:
pour ajout de 15 boules, on avait au départ 7 fois 7, soit 49 boules;
pour ajout de 20 boules, on avait au départ 19 fois 10, soit 190 boules;
pour ajout de 25 boules, on avait au départ 2 fois 7, soit 14 boules; ou alors 3 fois 9 soit 27 boules; ou alors 4 fois 10 soit 40 boules; ou alors 6 fois 11 soit 66 boules ou enfin 12 fois 12 soit 144 boules.
Quel que soit le nombre de boules ajoutées on a en général une solution voire un peu plus; étonnamment avec 49 on a 7 solutions et je me suis demandé si l'ajout du carré d'un nombre premier donnait ce nombre de solution...., mais non. C'est juste un hasard pour 25 et 49 à priori.
Merci et à la prochaine....
Bonjour
J'ai préféré mettre les résultats dans un tableau pour que ça soit plus lisible (dernière colonne)
J'ai donc trouvé une seule solution pour l'ajout de 15 ou 20 boules, et cinq solutions pour l'ajout de 25 boules.
Merci pour cette énigme ! Toujours aussi
Lorsqu'on ajoute 15 boules, il faut 49 boules au départ.
Lorsqu'on ajoute 20 boules, c'est un problème sans solution.
Enfin lorsqu'on ajoute 25 boules, il faut 14, 27, 40, 66 ou 144 boules au départ.
I_ Ajout de 15 boules
Possible pour 49 boules au début ( 7 couleurs)
II_Ajout de 20 boules
Problème sans solutions
III_Ajout de 25 boules
Possibles pour 14 boules au début (2 couleurs), 27 boules (3 couleurs), 40 boules (4 couleurs), 66 boules (6 couleurs), 144 boules (12 couleurs)
Bonjour,
Soit n le nombre initial de couleurs, b le nombre de boules par couleur et N le nombre total de boules au début.
soit c le nombre de boules de la couleur ajoutée (15, 20, 25)
La probabilité P1 (sans la couleur ajoutée) est
P1 = (b -1) / (nb - 1)
La probabilité P2 (avec la couleur ajoutée) est de
P2 = ( nb(b -1) + c(c -1)) / ((nb + c)(nb + c - 1))
P1 = P2 donne n = (c - 1) / (c + 1 - 2b)
soit pour c = 15 n = 7 / (8 - b) => 1 seule solution : b = 7 n = 7 N = 49
pour c = 20 n = 19 / (21 - 2b) => 1 seule solution : b=10 n = 19 N = 190
pour c = 25 n = 12 / (13 - b) => 4 solutions b = 7, 9, 11, 12 n = 2, 3, 6, 12,
et N = 14, 27, 66, 144
En résumé pour 15 boules N = 49
pour 20 boules N = 190
pour 25 boules N = 14, 27, 66, 144
Nota on peut aussi considérer que N = infini constitue une solution
Merci pour cette énigme
Belle enigme en effet.
rajout de 15 boules une solution unique 7 boules et 7 couleurs
rajout de 20 boules une solution unique de 10 boules 19 couleurs
rajout de 25 boules 5 solutions
qui sont
7 boules et 2 couleurs
9 boules et 3 couleurs
10 boules et 4 couleurs
11 boules et 6 couleurs
12 boules et 12 couleurs
Merci pour cette très belle énigme
On ajoute dans l'urne 15 boules :
Il y avait 49 boules : 7 couleurs de 7 boules
On ajoute dans l'urne 20 boules :
Il y avait 190 boules : 19 couleurs de 10 boules
On ajoute dans l'urne 25 boules :
Il y avait 144 boules : 12 couleurs de 12 boules
ou
Il y avait 66 boules : 6 couleurs de 11 boules
ou
Il y avait 40 boules : 4 couleurs de 10 boules
ou
Il y avait 27 boules : 3 couleurs de 9 boules
ou
Il y avait 14 boules : 2 couleurs de 7 boules
bonjour et merci Littleguy
Bonjour,
En notant:
c le nombre initial de couleurs
b le nombre de boules par couleur
n le nombre de boules qu'on rajoute
La probabilité de tirer 2 boules de même couleur vaut :
[ nbre de cas avec 2 boules de même couleur ] / [ nbre total de possibilités ]
soit p(n) = [ b(b-1).c + n(n-1) ] / [ (bc+n).(bc+n-1) ]
Avant de rajouter les n boules, la probabilité est p(0) = (b-1) / (bc-1)
En posant p(n) = p(0), on obtient b = (n+1)/2 - (n-1)/2c
D'où on tire 1 solution pour n=15 et n=20, et 5 solutions pour n=25 :
- ajout de 15 boules : 49 boules au début
- ajout de 20 boules : 190 boules au début
- ajout de 25 boules : 14 ou 27 ou 40 ou 66 ou 144 boules au début
Bonjour
Soit x le nombre de couleurs avant l'ajout des 15 boules et n le nombre de boules de chaque couleur
proba avant (n-1)/(nx-1)
proba aprés ajout
en égalisant les proba on obtient x(8-n)=7 d'où x=n=7 Donc il y avait 49 boules au début
Bonjour,
Certains ont détaillé la répartition pour chaque cas, d'autres donné le résultat brut, j'ai bien sûr accepté les deux approches, il y avait effectivement une seule solution pour 15 et une seule pour 20, et cinq pour 25.
Merci pour votre participation et bravi à ceux qui ont trouvé.
Bonjour. J'avais posé dans la rubrique "Détente" une question qui n'est pas passée vraisemblablement car elle aurait pu orienter certains vers la solution de cette énigme.
La voici : Dans cette énigme on a 2 configurations successives qui donnent la même probabilité. Il y a des possibilités avec 3 configurations (c'est à dire avec 2 remises de boules) et même avec 4 configurations (j'ai trouvé 4 solutions dans ce cas). Ma question est : peut-on faire mieux que 4 configurations ? Je pense que non mais je n'en ai pas la preuve.
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