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Développement en série entière

Posté par
pepe19 07-02-16 à 13:31

Bonjour,
je cherche à développer en série entière : sqrt[x+srqt(1+x²)].
J'ai essayé plusieurs méthodes comme multiplier par le conjugué mais je reste bloquer. Si quelqu'un pourrait m'aider ce ne serait pas de refus !

Merci et bonne journée

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 13:44

Bonjour,

f(x)=\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}

Essaie de trouver une équation différentielle dont f est solution.

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 13:54

Il faudra probablement aller au second ordre...

Posté par
pepe19re : Développement en série entière 07-02-16 à 14:18

Merci d'avoir bien écrit la fonction!

Justement il y avait une première question à l'exercice :
Montrer que f(x) est solution de l'équation différentielle : (x²+1)y"+xy'-(1/4)y=0 et en déduire les autres solutions.

J'ai réussi cette question mais je ne vois pas comment faire à partir de l'équation différentielle...

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 14:30

Je suis aussi tombé sur cette équation différentielle.

Ensuite, tu poses f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+ a_nx_n+\cdots

Et tu remplaces dans l' équation différentielle pour obtenir une relation de récurrence (probablement d' ordre 2) entre les coefficients a_n.

Remarque que f(0)=1 donc a_0=1

Il faudra déterminer a_1

Et il faudra bien parler de rayon de convergence à un moment où à un autre...

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 15:49

Pour info, tu dois tomber sur:

a_0=1

a_1=\dfrac{1}{2}

4(n+1)(n+2)\,a_{n+2}=-(2n-1)(2n+1)\,a_n

Posté par
pepe19re : Développement en série entière 07-02-16 à 16:17

J'ai quelque chose dans mon cours qui ressemble à ça ! Je vais m'y replonger alors, j'espère trouver comme toi après ! Merci beaucoup !!

Posté par
pepe19re : Développement en série entière 07-02-16 à 17:02

J'ai trouvé : a_{n}=\frac{-(n+2)(n+1)a_{n+2}}{(n+0.5)(n-0.5)}
Je pense que c'est pareil que ce que tu as trouvé mais je n'ai pas factorisé de la même manière. Mais j'ai deux petites questions :
- Comment tu trouves a_{0}  a_{1} ?
- Dans mon cour, on avait une relation entre  a_{n}  a_{n+1}, comment faut-il faire du coup avec  a_{n+2} ?

Posté par
boninmire : Développement en série entière 07-02-16 à 17:41

Peut-être essayer de prouver la convergence des séries des termes de même parité, qui vont du coup être des séries alternées pour x positif.

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 17:56

Citation :
J'ai trouvé : a_{n}=\frac{-(n+2)(n+1)a_{n+2}}{(n+0.5)(n-0.5)}


Oui, c' est le même résultat.

Citation :
- Comment tu trouves a_{0}  a_{1} ?


f(0)=1 et f(0)=a_0 donc a_0=1

Pour a_1, on fait la même chose avec la dérivé que l' on calcule.

  On obtient f'(0)=\dfrac{1}{2} et f'(0)=a_1 donc a_1=\dfrac{1}{2}

Citation :
- Dans mon cour, on avait une relation entre  a_{n}  a_{n+1}, comment faut-il faire du coup avec  a_{n+2} ?


On sépare les cas n pair et n impair

  on obtient de proche en proche a_{2p} en fonction de a_0 et a_{2p+1} en fonction de a_1 (éventuellement à démontrer par récurrence une fois qu' on a obtenu une formule explicite)

Il se trouve qu' on arrive à réunir les deux formules en une seule; j' ai obtenu:

  pour n>1   a_n=(-1)^{\left[\frac{n-1}{2}\right]}\,\dfrac{\prod_{k=1}^n(2k-3)}{2^n\,n!}

Il y a une partie entière dans la puissance de -1: les signes se succèdent deux par deux: 2 signes + puis deux signes -... Il y a peut être moyen de faire plus élégant...




  

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 17:58

Quant au rayon de convergence, si boninmi a un bon plan ...

Posté par
lakere : Développement en série entière 07-02-16 à 18:19

Une erreur:

  pour n>1,   a_n=(-1)^{\left[\frac{n-1}{2}\right]}\,\dfrac{\prod_{k=1}^{n-1}(2k-1)}{2^n\,n!}

Posté par
luzakre : Développement en série entière 07-02-16 à 22:36

Bonsoir !
Si vous avez besoin d'un bon plan pour trouver le rayon de convergence, étant donnée la relation de récurrence proposée à 15h49, c'est que vous n'avez jamais entendu parler de la règle de d'Alembert !

Posté par
lakere : Développement en série entière 08-02-16 à 09:55

Le rayon vaut 1, oui; j' étais curieux de savoir ce qu' avait en tête boninmi

Posté par
alainpaulre : Développement en série entière 08-02-16 à 11:35

Bonjour,

Quid d'une ligne hyperbolique ,x= ch(t) ?


Alain

Posté par
luzakre : Développement en série entière 08-02-16 à 12:25

Bonjour alainpaul !
Ce serait plutôt x=\sinh t pour avoir \cosh t=\sqrt{1+x^2} puis x+\sqrt{1+x^2}=\sinh t+\cosh t= e^t mais je ne vois pas du tout ce que tu veux en faire !

Posté par
boninmire : Développement en série entière 08-02-16 à 15:41

luzak @ 07-02-2016 à 22:36

Bonsoir !
Si vous avez besoin d'un bon plan pour trouver le rayon de convergence, étant donnée la relation de récurrence proposée à 15h49, c'est que vous n'avez jamais entendu parler de la règle de d'Alembert !

lake @ 08-02-2016 à 09:55

Le rayon vaut 1, oui; j' étais curieux de savoir ce qu' avait en tête boninmi

La même que luzak, sans doute, en distinguant la série des termes de rang pair et la série des termes de rang impair. Mais si tu as pu calculer an, c'est sans grand intérêt.


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