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developpement limite d'une fonction dependant d'un parametre

Posté par
astroq123 21-11-16 à 12:28

Salut, svp, aidez moi à resoudre cette question:
Trouver un equivalent à l'infini de la suite definie par:
u_{n+1}=u_{n}^{2}+5 u_{n}
avec
u_{0}\geq 0

Merci d'avance

Posté par
astroq123re : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 12:33

Excusez moi j'ai fait une faute dans le titre :
Le titre est :
l'equivalent d'une suite recurrente

Posté par
LeHiboure : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 12:58

Bonjour,

Tu montre d'abord en minorant la dérivée de f(x) = x²+5x que pour U0 > 0 la suite diverge vers +
On a alors envie d'écrire que (Un²+5Un)/Un² = 1 + 5/Un tend vers 1, donc Un²+5Un est équivalent à Un², donc Un+1 est équivalent à Un², donc Un est équivalent à U0^(2^n)
A vérifier, ça n'est peut-être pas aussi simple que ça,  

Posté par
astroq123re : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 13:15

merci lehibou pour votre aide et explication

Posté par
franzre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 14:20

Attention aux raccourcis :
en prenant u_0=1, on obtiendrait u_n\sim_{n\to \infty}1^{2^n}=1 en contradiction avec le fait que  \lim_{n\to \infty}=+\infty

Posté par
luzakre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 15:05

Bonjour !
D'accord dans les grandes lignes mais l'équivalence ne se transmet pas par récurrence de sorte je doute fortement du (u_0)^{2^n}.

Je ne pense pas qu'on puisse dire mieux que :

Si \Large\gamma=\ln(u_0)+\sum_{n\geqslant0}2^{-n-1}\,\ln(1+\frac5{u_n}) (série convergente de manière évidente) alors

\Large u_n\quad\underset{n \to+\infty }\simeq\quad\gamma^{2^n}

Posté par
luzakre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 16:37

Oops : l'équivalent est en fait (e^{\gamma})^{2^n}

Posté par
astroq123re : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 17:30

Pourquoi la recurrence ne marche pas sur la relation d'equivalence?

Posté par
luzakre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 18:36

Si tu as des doutes, fais une démonstration !

Posté par
luzakre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 18:41

Et relis le message de franz !

Posté par
astroq123re : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 18:52

Oui j'ai compri
Dans le cas de ce type de suite recurrente, parfois on veut calculer une limite par exemple la limite de
u_{n}/ln(n^2+1)
A l'infini
Comment faire?

Posté par
carpediemre : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 19:51

Posté par
astroq123re : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 19:54

Ils n'ont pas donné une reponse precise.

Posté par
LeHiboure : developpement limite d'une fonction dependant d'un parametr 21-11-16 à 23:34

Ce que j'avais écrit est très nul, ça ne marchait même pas pour U0 < 1, car alors U0^(2^n) tend vers 0. J'ai honte


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