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DEVOIR MAISON : Relations racines et coefficients
Bien le bonjour,
J'ai fait tous mes exercices en Maths toutefois un seul persiste, j'ai besoin de votre aide s'il vous plaît.
Un livre de mathématiques de 1ère S a la forme d'un parallélépipède rectangle d'arêtes a, b et c.
Il s'agit de retrouver ses dimensions sachant que :
- son volume vaut V = 792 cm3
- son aire totale vaut S = 954 cm2
- la somme des longueurs des 12 arêtes est L = 170 cm
On pose P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)
1. Développer, réduire et ordonner P(x)
J'ai trouvé : P(x) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x - abc
2. En utilisant les renseignements donnés dans l'énoncé, déterminer les coefficients de P(x)
Ici j'ai marqué (je veux savoir si la rédaction est juste, mon expression pour la question, je n'arrive pas à démontrer correctement) :
Nous pouvons dire que V = abc, que S = 2 × (ab + ac + bc) et que L = 4 × (a + b + c).
Donc P(x) = x3 - (L/4)x2 + (S/2)x - V = x3 - 42,5x2 + 477x - 792.
3. Trouver un entier simple 
qui soit racine de P(x). Factoriser P(x) par x -
Je n'arrive pas à comprendre.
4. Déterminer les dimensions du livre.
J'ai besoin du 3.
Merci encore pour vos aides.
Bonjour,
On pose P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)
On a donc P(x) = 0 si x = a ou x = b ou x = c,
c'est-à-dire si x est égal à une des dimensions du livre.
En factorisant P(x), on trouve :
P(x) = x3 - (L/4)x2 + (S/2)x - V,
C'est-à-dire qu'on a exprimer les coefficients du polynôme en fonction de L, S et V, qui sont connus.
On sait que les racines de P(x), c'est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles P(x) = 0, sont les dimensions du livre. Il faut donc résoudre l'équation P(x) = 0.
On commence par chercher une racine évidente (c'est l'objet de la question 3).
Essayons avec x = 2:
P(2) = 23 - (L/4) * 22 + (S/2) * 2 - V = 8 - L + S - V
P(2) = 8 - 170 + 954 - 792 = 0
2 est donc bien une racine du polynôme P(x), qui peut donc être factorisé par (x - 2).
On pourra donc mettre P(x) sous la forme :
P(x) = (x - 2)(x² + mx + p) avec m et p : paramètres à déterminer.
On trouvera les deux autres racines de P(x) en résolvant l'équation x² + mx + p = 0.
Merci merci merci merci ! Vraiment sympathique.
À la fin vous dites P(x) = (x - 2)(x² + mx + p)
Puis le remplacer par : P(x) = (x - 2)(x² + x + p) car ils le demandent
C'est une des réactions possibles ? Vous m'en voyez fort aise.
Cependant le système (x - 2)(x² + mx + p) me semble complexe, non ?
Quand vous dites "m et p : paramètres à déterminer." que faut-il faire ?
Merci beaucoup.
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