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Devoir Maison sur les barycentres
Bonjour !
Voici 3 exercices où j'ai rencontré des difficultés au niveau de ma réflexion !
EXERCICE 1
Soit ABC un triangle du plan tel que AB=6 ; BC=5 et AC=4. Soit G son centre de gravité.
1/ Déterminer et construire l'ensemble des point M du plan tels que ||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC||=4.
2/ a. Montrer que pour tout point M du plan, 2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC = 2 Vecteur IA, où I est le milieu de [BC].
b. Quel est l'ensemble Γ des points M du plan tels que ||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC|| ?
c. Justifiez que Γ passe par A.
3. Soit E le barycentre de (A;2), (B;1). Déterminer l'ensemble des points M du plan tels que ||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA + Vecteur MB||.
Merci beaucoup pour ceux qui peuvent m'aider et ceux qui essaient de m'aider ! Les 2 autres exercices sont beaucoup moins long !
Bonjour,
1/
||MA+MB+MC|| = 4
<=> ||3MG|| = 4
<=> MG = 4/3
<=> M appartient au cercle de centre G et de rayon 4/3
2/a/
2MA - MB - MC = 2MA - (MB+MC) = 2MA - 2MI = 2(IM+MA) = 2IA
Tout cela ne me semble pas bien compliqué. Es-tu sur d'avoir vraiment cherché ?
Merci beaucoup Nicolas_75 !
J'ai effectivement cherché mais moins et les maths ça fait deux !
Pour la 2b, ||2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC|| = 2 Vecteur IA.
OK. Cela permet de transformer le membre de droite.
Pense maintenant à transformer le membre de gauche, en te servant d'une question précédente.
Déroule les calculs...
Je ne comprends pas ce que tu fais.
Pars de ||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC||
Et déroule tes calculs clairement.
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC||
MA+MB+MC (en supprimant les normes) = 2MA+MB+MC (en supprimant les normes)
Après on divise pas 2 chaque membre, non ?
Non.
Tu n'as pas le droit de supprimer les normes.
Si les vecteurs u et v ont même norme, cela ne veut pas dire qu'ils sont égaux. Par exemple, ils peuvent ne pas avoir la même direction. Cf. ton cours.
Ici, il s'agit d'abord de transformer ce qui est au sein des normes.
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA - Vecteur MB - Vecteur MC||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2.Vecteur IA||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = 2.IA (distance)
Maintenant, transforme le membre de gauche comme en 1/
La conclusion est bonne, mais le raisonnement est faux.
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = 2.IA (distance)
||MA + MB + MC || = 2IA >> tu avais encore oublié les normes
||MA + MB + MC || = 3/2 IA >> tu avais encore oublié les normes
|| 3MG || = 3/2 IA
MG = 3/2IA
Donc l'ensemble des points M est... ?
Pourquoi || 3MG || = 3/2 IA, ne doit-on pas supprimer le 3 du MG ?
Donc l'ensemble des points M est 3/2 IA.
Je reprends :
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = 2.IA (distance)
||MA + MB + MC || = 2IA >> tu avais encore oublié les normes
||MA + MB + MC || = 2IA >> tu avais encore oublié les normes
|| 3MG || = 2 IA
MG = 2/3 IA
l'ensemble des points M est 3/2 IA.
Cela n'a aucun sens.
Un "ensemble de points" ne peut pas être égal à 3/2IA qui est... une distance, un nombre.
Comme G est différent de IA, l'ensemble des points M cherchés est la médiatice de [G;IA] ?
Te rends-tu compte de ce que tu écris ?
"Comme G est différent de IA" >> cela n'a aucun sens : G est un point alors que IA est une distance, un nombre
"médiatrice de [G;IA]" >> cela n'a aucun sens. IA est une distance, un nombre. Le segment [G;IA] n'existe pas !
Propose quelque chose de sérieux si tu veux qu'on continue.
Mon message de 9h28 me semble pourtant clair.
Quand on demande de vérifier que x=2 est solution de x^3 = 8, tu remplaces :
2^3 = ... = 8 c'est bon !
Fais de même : remplacer M par A, et vérifie si l'équation est ou non vérifiée.
Et pour le dernier (le 3/) :
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA + Vecteur MB||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 EA||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = 2.EA
||3 Vecteur MG|| = 2.EA
3.MG = 2.EA
MG = 2/3.EA
2/c/ A nouveau, je ne comprends pas bien ce que tu fais.
Il s'agit de regarder si A vérifie l'équation :
||MA+MB+MC|| = ||2MA-MB-MC||
Remplace M par A dans le membre de gauche : que devient ce membre ?
Remplace M par A dans le membre de droite : que devient ce membre ?
Est-ce la même chose ?
Membre de gauche : || MA + MB + MC || = || AB + AC ||
Membre de droite : || 2MA - MB - MC || = || -(AB+AC) || = || AB + AC ||
On trouve bien la même chose.
A vérifie l'équation définissant Gamma.
A appartient à Gamma.
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA + Vecteur MB||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 EA||
Pourquoi 2 EA ?
Vous voulez dire que je dois enlever le 2 ?
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA + Vecteur MB||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||EA||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = EA
||3 Vecteur MG|| = EA
3.MG = EA
MG = 1/3.EA
Vous voulez dire que je dois enlever le 2 ?
Non. Juste que tu dois le remplacer par le bon nombre.
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||2 Vecteur MA + Vecteur MB||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = ||3 EA||
||Vecteur MA + Vecteur MB + Vecteur MC|| = 3.EA
||3 Vecteur MG|| = 3.EA
3.MG = 3.EA
MG = EA
EXERCICE 2
Supposons que le barycentre G de (A ; a) et (B ; b) soit aussi celui de (A ; a') et (B ; b') où a, b, a' et b' sont des réels tels que a + b 
0 ; a' + b' 0 et a + b a' + b'. Montrer que G est aussi le barycentre de (A ; a' - a) et (B ; b' - b).
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