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distance minimum
Bonjour, j'ai rencontré le problème suivant :
Dans la figure ci-jointe on fixe arbitrairement les deux points H(hx,hy) et K(kx,ky) ayant des coordonnées positives. Calculer le distance minimum en suivant le parcours H,A,B,K (x>=0 et y>=0) et en optimisant la position des points A(0,y) et B(x,0).
Pouvez-vous m'aider à résoudre ce problème?
Pour compléter, 3 exemples:
-pour H=(1,1) et K=(1,3) on obtient x=0.5 , y=1 , dist=4.472136
-pour H=(2,1) et K=(1,2) on obtient x=1 , y=1 , dist=4.242641
-pour H=(1,1) et K=(2,2) on obtient x=0 , y=0, dist=4.242641
Dans le cas général, je ne vois pas comment effectuer l'optimisation sur les deux variables x et y.
Merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
mais la méthode la plus simple consiste à placer les symétriques des points H et K par rapport aux axes vertical et horizontal, et à chercher les intersections des dits axes avec la ligne droite
Bonjour, tu écris que la somme des distance vaut
f(x,y) = 
(Hx² +(Hy-y)²)+(x²+y²)+((Kx-x)²+Ky²) et pour trouver le minimum, tu annules les deux dérivées partielles en x et y.
et
Après, ça n'est pas forcement très simple de trouver x et y avec ces deux équations. (ça aurait été peut-être plus simple de trouver le minimum de la somme des carrés des 3 distances).
à toi de déterminer les calculs à faire pour déterminer ces intersections puis en déduire la distance minimale
Oui c'est vrai que c'est astucieux de prendre les symétriques et de dire que le minimum a lieu quand on a une seule ligne droite, plutôt que de faire des calculs bestiaux. Bravo lafol 
, bien vu.
Bonjour,
pour mieux saisir la minimalité du trajet, on prend A et B quelconques et comme HABK = H'ABK', le minimum est quand H', A, B, K' sont alignés.
A noter comme déja signalé que dans les cas numériques indiqués le trajet minimal est HBAK et pas HABK.
si on se réfère à la figure de départ où le trajet minimal était bien HABK, le critère est en fait :
HABK minimal nécessite que la pente de (OH) soit > la pente de (OK)
sinon c'est HBAK,
ou bien si on impose de passer obligatoirement dans l'ordre par H, puis A sur Oy, puis B sur Ox puis K
si pente(OH) < pente(OK) le trajet minimal est A = B = O :
la trajet le plus court de H' à K' qui passe par des points A et B > 0 est le trajet H'OK'
Bonjour,
reprenons la deuxième figure de mathafou.
on a dit précédemment que la distance minimale de KABH est réalisée lorsque K1, A, B, H1 sont alignés.
A ce moment les angles marqués 
sur la figure ci-dessus sont tous égaux.
Il en résulte que AK est parallèle à BH !
amitiés
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