posté par : mabou
Bonjour a tous, j'aurais grand besoin de votre aide pour résoudre un exercice sur lequel je suis complètement bloqué :

1) Déterminer le polynôme de degré 3 tel que pour tout réel x,
P(x+1)-P(x)=x²et P(1)=0.

2)Démontrer que pour tout entier n(supérieur ou égal à)1,
1²+2²+...+n²=P(n+1)

Merci d'avance pour votre aide.

Le polynôme est de la forme :
P(x) = aX3 + bx2 + cx + d
P( x+1) = a(x+1)² + b(x+1)² + c(x+1) + d
après avoir développé, on obtient que :
P(x+1) - p(x) = 3ax² + (3a + 2b)x + a + b + c.
Donc :
3ax² + (3a + 2b)x + a + b + c = x²
On obtient le système suivant ( deux polynômes sont égaux si tous les coeff. des monomes du même degré sont egaux !!!!!):
    3a = 1
    3a + 2b = 0
    a + b + C = 0
on a trois équations, la quatrième s'obtient par :
    P(1) = 0 = a + b + c + d ( il suffit de remplacer x par 1)
Après résolution du système, on aura :
a = 1/3
b = -1/2
c = 1/6
d = 1

Pour la question :
P(n+1) = 1² + 2² + .......+ (n+1)²
Démonstration par récurrence :

Pour n = 1 ( on peut le faire pour n = 2 ou 3)
P(1) = 1²= 1 la propriété est vérifiée.

on suppose qu'elle est vraie au rang n, on démontre qu'elle l'est au rang (n+1).
Let's go:

P(n+2) = P(n+1+1)
P(n+2) = 1² + 2² + .......+ (n+1)² + (n+2)² ......(A)

on a : P(x+1) - P(x) = x²
donc : P(x+1) = P(x) + x².

ce qui  donne :

P(n+2) - P(n+1) = (n+2)²
P(n+2) = P(n+1) + (n+2)²
P(n+2) = 1² + 2² + .......+ (n+1)²  + (n+2)².
CQFD ( Ce Qu'il Fallait Démontrer !!!!)

Merci.