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DM de math sur les barycentres
Salut tout le monde ! J'ai un DM à faire et je bloque complètement sur cet exercice donc si quelqu'un pouvait m'aider se serait sympa !
Voici l'énoncé :
ABC est un triangle, M et N sont les points tels que vecteurAM=k * vecteurAB et vecteurBN=k * vecteurBC, où k est un réel différent de 0 et de 1.
On note I le milieu de [AB], J celui de [BC] et G celui de [MN].
Montrer que I, G, J sont alignés.
Alors j'ai trouvé que I= bar{(A ;1),(B ;1)} ,que J= bar {(B ;1),(C ;1)} et que G=bar {(M ;1),(N ;1)}.(enfin je crois...)
Pour répondre je pense qu'il faut prouver que G est le barycentre de I et J mais je ne sais pas du tout comment faire. Et je ne comprend pas non plus comment on peut utiliser « vecteurAM=k * vecteurAB et vecteurBN=k * vecteurBC ».
Merci d'avance pour votre aide !
Bonsoir,
-AM=kAB donc MA+kAB = 0
Avec Chasles : MA + kAM + kMB = 0 <=> 1MA - kMA + kMB = 0
on regroupe MA : (1-k)MA + kMB = 0 donc (M,1) barycentre de (A (1-k)) ; (B,k)
-Tu fais de même avec BN = kBC
-Dans G bary de (M,1) ; (N,1) tu remplaces M et N par ce que tu as trouvé précédemment (principe d'associativité)
Pour (M,1) tu vas remplacer par (A, 1-k) et (B,k)
-Tu sais que I bary de (A,1) et (B,1) donc dans G bary de ..... tu vas pouvoir retrouver ton I par le principe d'associativité la aussi
-Tu fais de même pour J
Tu te retrouve avec G bary de (I,...) et (J,...) donc G, I, J sont alignés
Merci beaucoup pour ta réponse! J'ai compris grâce à ton explication!
Voilà ce que j'ai trouvé:
AM = kAB
donc MA + kAB = 0
MA + kAM + kMB = 0 (relation de Chasles)
1MA - kMA + kMB = 0
(1 - k)MA + kMB = 0
Donc (M ;1)=bar{(A ;1-k),(B ;k)}
BN = kBC
donc NB + kBC = 0
NB + kBN + kNC = 0 (relation de Chasles)
1NB - kNB + kNC = 0
(1 - k)NB + kNC = 0
Donc (N ;1)=bar{(B ;1-k),(C ;k)}
G=bar{(M ;1),(N ;1)}
Je remplace (M ;1) par (A ;1-k),(B ;k) et (N ;1) par (B ;1-k),(C ;k) :
G=bar{(A ;1-k),(B ;k),(B ;1-k),(C ;k)} (associativité du barycentre)
I=bar{(A ;1),(B ;1)}
J=bar{(B ;1),(C ;1)}
Donc G=bar{(J ;2),(I ;2)}
Donc les points I, J et G sont alignés.
Voilà j'espère que c'est juste! Et encore merci de ton aide!
Alala je me suis encore trompé!
Finalement je crois que la réponse est:
G=bar{(I;2-2k),(J;2k)}par associativité du barycentre
Voilà merci beaucoup pour ton aide!
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