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DM de maths: suites récurrentes

Posté par
atwa2 21-04-07 à 02:10

Bonjour, voilà mon exercice:
Soit (Un) la suite définie par le réel u0=5 et la relation de récurrence Un+1= 2/Un +1
Voila ce qu'on a déjà prouvé avant la question qui me pose problème:
7/5 =< Un =< 5
Un est définie pour tout entier n , et elle est bornée par 7/5 et 5. Elle n'est pas monotone.
(Un+1) -2 = (2-Un)/Un.
|Un+1-2| =< 5/7 |2-Un|
Voila la question problématique:
En déduire que la suite (Vn) définie, pour tout entier n, par Vn= |Un-2|/(5/7)^n     est décroissante
En comparant Vn et Vo, établir qe |Un-2| =<  3 x (5/7)^n

Démontrer que la suite est convergente et préciser sa limite.
Voila la fin de cet exercice, en sachant qu'il y a un long début, et encore une longue fin ^^
En tout cas j'ai pas mal essayé, je sais pas trop comment prouver que c'est décroissant, car je n'arrive pas à utiliser la relation qu'on a justifiée juste avant: |Un+1-2| =< 5/7 |2-Un|
Merci à tous ceux qui m'aideront

Posté par
littleguyre : DM de maths: suites récurrentes 21-04-07 à 09:15

Bonjour

\Large V_{n+1}=\frac{|U_{n+1}-2|}{(\frac{5}{7})^{n+1}}

donc

\Large V_{n+1}\leq \frac{\frac{5}{7}|U_n-2|}{\left(\frac{5}{7}\right)^{n+1}}

d'où

\Large V_{n+1}\leq \frac{|U_n-2|}{\left(\frac{5}{7}\right)^{n}}


\Large V_{n+1}\leq V_n

Par conséquent : Vn V0

et on obtient le résultat attendu.

Sauf erreur

Posté par
atwa2re : DM de maths: suites récurrentes 21-04-07 à 17:04

Merci
J'avais pas pensé à faire Vn+1.
J'ai ensuite démontré facilement la relation |Un-2| =<  3 x (5/7)^n

Il faut prouver la convergence de la suite Un. Est ce que j'ai le droit de dire que (5/7) converge vers 0, donc 3 x (5/7)^n converge vers 0, et que donc, puisque |Un-2| converge vers 0, alors Un converge vers 2? (c'est une propriété du cours donc j'imagine que c'est bien ça qu'il faut faire

Posté par
atwa2re : DM de maths: suites récurrentes 22-04-07 à 02:59

S'il vous plaît
J'en profite pour faire savoir que j'ai du mal avec la suite de cet exo à cette adresse:
https://www.ilemaths.net/sujet-etude-d-une-suite-recurrente-80962.html

Posté par
patrice rabillerre : DM de maths: suites récurrentes 22-04-07 à 05:47

Bonjour,

Tu peux dire :

La suite (vn) définie par vn=3(5/7)n est une suite géométrique de raison q=5/7 avec |q|<1. Donc elle converge vers 0.

Par contre tu ne peux pas dire que (5/7) converge vers 0 car 5/7 est une constante !

Posté par
atwa2re : DM de maths: suites récurrentes 22-04-07 à 12:12

Merci beaucoup


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