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[DM] Etude de fonction complexe

Posté par
versatis 10-10-07 à 20:54

Bonjour,

Qui peut m'aider a faire mon dm qui me cause du soucis. Pour la partie 1 c'est bon (je la poste pour mieux comprendre la partie 2 qui elle me cause problème)

Enoncé:

Partie1:

On considère la fonction f définie ]0;+[ par f(x)=1/2(x+2/x). C désigne sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthonormal (O; i; j).

1.Etudier la limite de f en 0.Interpréter graphiquement
2.Etudier la limite de f en +infini.
3.a)Montrer que la droite D d'équation y=(1/2)x est asymptote à C
b)Etudier les positions relatives de C et de D
4.Etudier les variations de f.
5.Représenter graphiquement C et D avec soin

Partie 2

On définit la suite (Un) par u0=1 et n, un+1=f(Un).(On admet que la suite (Un) est définie sur .)

1.a) Représenter graphiquement les quatre premiers termes de la suite (Un).
b)Conjecturer sur le comportement de (Un):variation et limite.
2.a) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3.
2.c) Vérifier a l'aide de la calculatrice les inégalités suivantes : u0<2<u3<u2<u1

Voila à partir de cette question je ne comprends plus:
3.a) Montrer par récurrence que n *, 2<un+1<un 3/2.
b)En déduire le sens de variation de (Un) ainsi que la convergence de (Un)
4.a)Montrer que n *, |un-2|1/2(un-1-2)².
b)Vérifier que |u0-2|<1/2. En déduire par récurrence que n ,|un-2|(1/2)(2^n+1-1)
c)Prouver que  n , 2n+1-1 n+1. En déduire la limite de (Un).
d)A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que (0.5)(2^n+1-1)<10-9.
En déduire que u4=(665857)/(470832) 2 à 10-9 près.

Merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : [DM] Etude de fonction complexe 11-10-07 à 00:05

Bonsoir,

3)a) Initialisation: on bien \sqrt{2}<\fra{17}{12}<\frac{3}{2}\leq \frac{3}{2}

c' est à dire \sqrt{2}<u_2<u_1\leq \frac{3}{2}

Hérédité: On suppose que \sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \frac{3}{2} pour un certain rang n fixé.

Comme f est croissante sur [\sqrt{2},+\infty[, on peut écrire:

f(\sqrt{2})<f(u_{n+1}<f(u_n\leq f(\frac{3}{2})

soit \sqrt{2}<u_{n+2}<u_n\leq \frac{17}{12}<\frac{3}{2} et l' hérédité est prouvée.

Ainsi: \fbox{\forall n\in \mathbb{N}^*,\;\;\sqrt{2}<u_{n+1}<u_n\leq \frac{3}{2}}

3)b) La suite (u_n) est donc décroissante et minorée par \sqrt{2}.

Elle est donc convergente.

4)a) \|u_n-\sqrt{2}\|=\|\frac{1}{2}\left(u_{n-1}+\frac{2}{u_{n-1}}\right)-\sqrt{2}\|=\|\frac{1}{2}\,\frac{u_{n-1}^2-2\sqrt{2}u_{n-1}+2}{u_{n-1}}\|=\frac{1}{2}\,\frac{(u_{n-1}-\sqrt{2})^2}{u_{n-1}}

comme u_{n-1}>\sqrt{2}>1, on a donc: \fbox{\|u_n-\sqrt{2}\|\leq \frac{1}{2}\,(u_{n-1}-\sqrt{2})^2}

4)b) On vérifie aisément que \|u_0-\sqrt{2}\|=\sqrt{2}-1<\frac{1}{2} et l' initialisation de la récurrence est faite.

Hérédité:

On suppose que \|u_n-\sqrt{2}\|\leq \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1} pour un certain rang n fixé.

Alors, \|u_{n+1}-\sqrt{2}\|\leq \frac{1}{2}\,(u_{n}-\sqrt{2})^2 d' après 4)a).

L' hypothèse de récurrence permet d' écrire:

\|u_{n+1}-\sqrt{2}\|\leq\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}\right]^2

ou bien: \|u_{n+1}-\sqrt{2}\|\leq \frac{1}{2}\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+2}-2}

soit \|u_{n+1}-\sqrt{2}\|\leq \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+2}-1} et l' hérédité est prouvée.

Ainsi: \fbox{\forall n \in\mathbb{N},\;\;\|u_n-\sqrt{2}\|\leq \left(\frac{1}{2}\right)^{2^{n+1}-1}}

4)c) On fait encore une récurrence:

Initialisation: on a bien 2^1-1=1\geq 1

Hérédité: On suppose que 2^{n+1}-1\geq n+1 pour un certain rang n fixé.

2^{n+2}-1=2(2^{n+1}-1)+1\geq 2n+3\geq n+2 et l' hérédité est prouvée.

Ainsi \fbox{\forall n\in\mathbb{N},\;\; 2^{n+1}-1\geq n+1}

On en déduit que 2^{2^{n+1}-1}\geq 2^{n+1}

donc que \frac{1}{2^{2^{n+1}-1}}\leq \frac{1}{2^{n+1}}

puis que \|u_n-\sqrt{2}\|\leq \frac{1}{2^{n+1}} avec \lim_{n\to +\infty}\frac{1}{2^{n+1}}=0

d' où \fbox{\lim_{n\to +\infty}u_n=\sqrt{2}}

4)d) Avec la calculatrice, on a (0.5)^{2^{n+1}-1}\leq 10^{-9} pour n\geq 4

On a donc \|u_4-\sqrt{2}\|\leq 10^{-9} et u_4 est donc une approximation de \sqrt{2} à 10^{-9} près. (La suite converge très vite).

Posté par
versatisre : [DM] Etude de fonction complexe 11-10-07 à 19:11

Merci cailloux pour ces explication complètes, juste une question, je ne comprends pas ton raisonnement et tes calcules de la question 4)a) dès la 2eme étape, peux tu m'expliquer comment tu procèdes?

Posté par
cailloux Correcteurre : [DM] Etude de fonction complexe 11-10-07 à 20:34

Bonsoir versatis,

J' ai calculé |u_n-\sqrt{2}| en disant que u_n=f(u_{n-1}) et j' ai ensuite réduit au même dénominateur u_n en faisant apparaître au numérateur l' identité remarquable d' un carré.

A ce moment là, |u_n-\sqrt{2}|=\frac{(u_{n-1}-\sqrt{2})^2}{u_n}

On se retrouve avec un fraction dont le dénominateur: u_n est plus grand que 1.

comme il s' agit de nombres positifs, on a donc cette fraction qui est plus petite que son numérateur:

|u_n-\sqrt{2}|\leq \frac{1}{2}(u_{n-1}-\sqrt{2})^2

Je ne vois pas comment te l' expliquer autrement...

Posté par
cailloux Correcteurre : [DM] Etude de fonction complexe 12-10-07 à 10:59

Un oubli; il faut lire:

A ce moment là, |u_n-\sqrt{2}|=\frac{1}{2}\,\frac{(u_{n-1}-\sqrt{2})^2}{u_n}


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