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DM fonctions et recurence

Posté par
oliv777 16-09-07 à 11:59

bonjour a tous apres une longue abscence (normal pendant les vacs les math

c'est moins dur ^^) me voila de retour avec encore quelque difficulté

que je vais vous exposer :

donc DM sur les fonctions et un peu de recurence  en 2 exerices

exercice 1

on considere une suite (Un)positive et la suite(Vn) definie par
Vn= (Un)/(1+Un)

le propositons suivante sont-elle vrai ou fausse ? justifier ( ça c'est plus dur )

1) pour tout n, 0Vn1

j'ai "repondu"  comme (Un) et positive  alors Un[0;+oo[

donc pour n=0 Un=0/1 = 0  ce qui est en accord avec la proposition

ensuite pour que Un< 1 il faudrait que le dénominateur  soit inferieur a Un

or la suite estdefinie tel que pour tout numerateur n le denominateur soit egal a 1+Un

donc la proposition 1 est validé

2) si la suite (Un) est croissante alors la suite (Vn)est croissante

pour demontrer qu'elles sont croissante j'ai apliqué  la formule (Un+1)-Un

si l'on prend n=4

pour Un Un+1 -1 = 5-4 =1 Un est donc croisante  

pour Vn Vn = Un/(Un=1)

on a donc Vn= 4/5  et Vn+1 = 5/6

5/6 - 4/5 = 25/30 -24/30 = 1/30  le resultat est positif  Vn est donc croisante

ce qui confirme la propositon

attention ça ce corse ^^

3) si la suite (Un) est convergente alors la suite (Vn) est convergente

4) si la suite (Vn) est convergente,alors la suite (Un) est convergente

pour  3 et 4 je seche completement  et ce n'est pas faute d'avoir essayer

je compte sur vous pour m'aiguiller et pour valider mes suposition

exercice 2 au prochaine post

Posté par
oliv777re : DM fonctions et recurence 16-09-07 à 12:02

pour le 2eme je le poste plus tard j'essaye de faire quelque calcul seul pour voir si j'y arrive mieu que l'autre )

Posté par
oliv777re : DM fonctions et recurence 16-09-07 à 14:59

voili le 2eme exo

exercice 2

1) developper (a+b)3 et (a+b)4

-(a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) =(a²+2ab+b²)(a+b)

=a3+a²b+2a²b+2b²a+b²a+b3

=a3+b3+3a²b+3b²a


-  (a+b)4 = (a3+b3+3a²b+3b²a)(a+b)

= a4+a3b+b4+b3a+3a3b+3a²b²+3a²b²+3b3a

2) on pose Sn=13+33+...+(2n-1)3 pour tout entier n1

A) calculer S1 S2 S3

j'ai trouver

S1= ((2x1)-1)3= 13=1

S2= ((2x2)-1)3 = 33=27

S3= ((2x3)-1)3 = 53 = 125

j'ai juste ???  
sinon quel son mes erreurs ?

ensuite c'est le vide pour les 2 derniers

B) démontrer par recurence qe pour tout entier 1

Sn=2n4-n2

C) déterminer n tel que Sn= 29161

voilou pour mon DM

biensur je ne vous demande par de e donner des rep toute faites qui ne m'aiderais pas a comprendre

juste de l'aide : la technique ... les astuce ..

voilou et merci d'avance

Posté par
cailloux Correcteurre : DM fonctions et recurence 17-09-07 à 14:46

Bonjour,

2)Pour la croissance de (v_n), on calcule:

v_{n+1}-v_n=\frac{u_{n+1}}{1+u_{n+1}}-\frac{u_n}{1+u_n}=\frac{u_{n+1}-u_n}{(1+u_{n+1})(1+u_n)}

Si (u_n) est croissante, u_{n+1}-u_n>0 et le dénominateur est aussi positif puisque (u_n) est à termes positifs.

D'où v_{n+1}-v_n>0 et (v_n) est croissante.

3) Si (u_n) converge vers l, alors l\geq 0 puisque (u_n) est à termes positifs.

On en déduit que (v_n) converge vers \frac{l}{l+1}.

4) v_n=\frac{u_n}{1+u_n}\Longrightarrow v_n+u_n.v_n=u_n \Longrightarrow u_n(1-v_n)=v_n

et u_n=\frac{v_n}{1-v_n}

On pourrait dire, comme précédemment, que si (v_n) converge vers l alors (u_n) converge vers \frac{l}{1-l}

Ce serait une erreur: que se passe-t-il si l=1 ?

La réponse au 4) est "faux".

Posté par
oliv777re : DM fonctions et recurence 17-09-07 à 14:51

merci a toi cailloux

ton aide m'es bien utile

personne pour m'aier a l'exo 2 ??

Posté par
cailloux Correcteurre : DM fonctions et recurence 17-09-07 à 15:06

Pour la suite:

(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4a^b3+b^4

S_1=1^3=1

S_2=1^3+3^3=28

S_3=1^3+3^3+5^3=153

Récurrence:

Soit (P_n) la propriété S_n=2n^4-n^2

Initialisation:

S_1=1=2\times 1^3-1^2 et P_0 est vraie.

Hérédité:

On suppose que P_n est vraie pour un certain rang n fixé:

soit S_n=2n^4-n^2

On calcule S_{n+1}=S_n+(2n+1)^3=2n^4-n^2+8n^3+12n^2+6n+1=2n^4+8n^3+11n^2+6n+1

S_{n+1}=2n^4+8n^2+12n^2+8n+2-(n^2+2n+1)=2(n^4+4n^3+6n^2+4n+1)-(n+1)^2

S_{n+1}=2(n+1)^4-(n+1)^2 et P_{n+1} est vraie.

P_n est donc vraie pour tout n et:

1^3+3^3+\cdots+(2n-1)^3=2n^4-n^2

Posté par
oliv777re : DM fonctions et recurence 17-09-07 à 16:17

ok un grand merci

et comment fait on pour deéterminer N tel que Sn = 29161 ??? :$

Posté par
cailloux Correcteurre : DM fonctions et recurence 17-09-07 à 16:30

Re,

Tu résous l' équation 2n^4-n^2-29161=0

c' est une "bicarrée": tu peux poser X=n^2

En principe, tu tombes sur n=11

Posté par Stella1307 (invité)re : DM fonctions et recurence 18-09-07 à 21:24

Bonjour cailoux : Je n'ai pas compris la réponse de l'affirmation #2 (je n'arrive pas à faire les fractions alors je peux pas recopier), parce que pour mettre sous le même dénominateur, ne faut-il pas multiplier le 1er numérateur par le 2ème dénominateur et multiplier le 2ème numérateur par le premier dénominateur ?
(Je ne mets pas en doute mais je ne comprends pas ...)
Merci d'avance pour l'explication ...

Posté par
cailloux Correcteurre : DM fonctions et recurence 18-09-07 à 22:04

Bonsoir,

Citation :
ne faut-il pas multiplier le 1er numérateur par le 2ème dénominateur et multiplier le 2ème numérateur par le premier dénominateur ?


Oui, et développer les 2 produits obtenus au numérateur: les termes en u_n.u_{n+1} s' annullent et il reste u_{n+1}-u_n au numérateur.

Posté par Stella1307 (invité)re : DM fonctions et recurence 18-09-07 à 22:09

Merci, j'avais mal calculé

Posté par
cailloux Correcteurre : DM fonctions et recurence 18-09-07 à 22:12


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