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[DM] Suites (couplées avec des barycentres)

Posté par
Hkev 22-10-07 à 13:11

Enoncé :
On considère les suites de points An et Bn pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté (0;\vec{u}), le point A0 a pour abcisse 0 et le point B0 a pour abcisse 12.
Le point An+1 est le barycentre despoints (An;2) et (Bn;1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An;1) et (Bn;3)
Hors énoncé :
J'ai un schéma de dessiner, et les points A1 et B1 ont pour abscisse respective 4 et 9

La question sur laquelle je bloque est la suivante:
On définit les suites (an) et (bn) des abcisses respectives des points An et Bn. Montrer que :

a_{n+1}=\frac{2a_n+b_n}{3}

Je n'ai pas l'impression que cette question soit difficile, mais je ne vois pas du tout comment arriver au résultat.
Je vous remercie d'avance pour votre future aide ^^.

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 14:46

Bonjour

Quel que soit M on a :

\vec{MA_{n+1}}=\frac{2}{3}\vec{MA_n}+\frac{1}{3}\vec{MB_n}

en prenant M = O, on obtient exactement la réponse attendue.

Posté par
Hkevre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 15:15

Oui effectivement ^^. Je te remercie.
Juste une chose, quelqu'un aurait une idée au niveau de la formulation, c'est a dire pour que on voit bien par ou je passe et tout (par exemple pour passer des vecteurs aux suites).

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 15:35

Dire que le point M a pour abscisse x dans le repère (O,\vec{u}) d'une droite signifie : \vec{OM}=x\vec{u}.

Or \vec{OA_{n+1}}=\frac{2}{3}\vec{OA_n}+\frac{1}{3}\vec{OB_n}

donc si on appelle an et bn les abscisses respectives de An et Bn, on a :
\Large a_{n+1}\vec{u}=\frac{2}{3}a_n\vec{u}+\frac{1}{3}b_n\vec{u}=(\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n)\vec{u}

Au niveau de la question, il n'est pas encore question de suite : la traduction de l'égalité vectorielle montre simplement que l'abscisse de An+1 est a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n

Posté par
Hkevre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 15:50

j'ai du mal a voir comment tu passe de lexpression ac le point d'origine (0) a lexpression ac les vecteurs u...
Et aussi, a la derniere étapes, il reste le vecteur u, je doit en faire koi ?

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 16:00

"ac" siginifie "avec" ?

La première ligne est une définition.

La dernière provient de l'unicité des coordonnées d'un point dans un repère donné (ou de l'unicité des coordonnées d'un vecteur dans une base donnée) : ici le repère est (O;\vec{u}) (la "base" est \vec{u})

donc si j'ai a_{n+1}\vec{u}=(\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n)\vec{u}, alors nécessairement a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+\frac{1}{3}b_n,

...

Posté par
Hkevre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 16:17

"ac"="avec" effectivement, désolé pour l'abréviation.

Citation :
La dernière provient de l'unicité des coordonnées d'un point dans un repère donné (ou de l'unicité des coordonnées d'un vecteur dans une base donnée)

Il ne me semble pas avoir déjà rencontré les termes d'unicité de coordonnées en fait, c'est pour ça que je ne comprend pas comment tu passe à l'expression avec le vecteur u.

Et enfin, est il necessaire de poser la lettre M vu que apparemment tu ne t'en sert pas ?

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 16:22

J'ai donné la première phrase à 15:35 simplement pour rappeler une définition générale. Inutile de le rappeler dans ta rédaction

Simplement si V est un vecteur non nul et que l'on a :

aV = bV,

alors on peut affirmer que

a = b

Posté par
Hkevre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 16:36

D'accord j'ai compris. Et en ce qui concerne la lettre M d'abcisse x, il faut le marquer ?

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 16:44

pas obligé, voir première ligne 16:22.

Mais tu peux l'écrire si tu veux ; "ça mange pas d'pain"

Posté par
Hkevre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 22-10-07 à 17:20

Ok, je te remercie pour tes réponses ^^.

Posté par
littleguyre : [DM] Suites (couplées avec des barycentres) 23-10-07 à 13:13


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