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(Double) dérivation

Posté par Melandine (invité) 23-08-07 à 15:31

Bonjour à tous !

Me voici revenue hanter votre après-midi... Avec une nouvelle dérivée qui me pose problème. :'D

Voici donc ma fonction de base :

3$f(x)=\frac{x}{x^2-1}

Et sa dérivée première, calculée par mes soins :

3$f'(x)=\frac{x}{x^2-1}' \\ =\frac{(x)'.(x^2-1)-x.(x^2-1)'}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{(x^2-1)-x.(2x)}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} \\ =\frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2}

...Et me voici bloquée pour la dérivée seconde de cette même fonction de base. J'ignore si mon développement ci-dessus est juste, ou s'il n'est pas encore achevé... Ainsi donc j'espère que vous saurez m'aider dans ma tâche ingrate. YwY

Merci d'avance !

Posté par
Skopsre : (Double) dérivation 23-08-07 à 15:34

Bonjour,

Ca à l'air juste

Skops

Posté par
Epicurienre : (Double) dérivation 23-08-07 à 15:35

Salut

4$ (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}

Ici
u(x)=-x²-1
u'(x)=...
v(x)=(x²-1)²
v'(x)=..

A toi

Kuider.

Posté par
cailloux Correcteurre : (Double) dérivation 23-08-07 à 15:36

Bonjour,

Tu veux calculer la dérivée seconde?

Si oui, c' est un rapport: même manière de procéder que pour f'

Posté par
raymond Correcteurre : (Double) dérivation 23-08-07 à 15:36

Bonjour.

Je trouve la même réponse pour f '(x).
Pour trouver f "(x), il te faut prendre ce dernier résultat et dériver encore.

A plus RR.

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : (Double) dérivation 23-08-07 à 15:40

f(x) = x/(x²-1)

f '(x) = (x²-1-2x²)/(x²-1)²
f '(x) = -(x²+1)/(x²-1)²

f ''(x) = -(2x(x²-1)²-4x(x²-1)(x²+1))/(x²-1)^4
f ''(x) = -(2x(x²-1)-4x(x²+1))/(x²-1)³
f ''(x) = -2x(x²-1)-2(x²+1))/(x²-1)³
f ''(x) = -2x(-x²-3)/(x²-1)³
f ''(x) = 2x(x²+3)/(x²-1)³

Tu trouves pareil ?

Posté par Melandine (invité)re : (Double) dérivation 23-08-07 à 16:16

Aïe... J'ai du mal à saisir ton développement, J-P... Surtout lorsque tu passes de :

f ''(x) = -(2x(x²-1)-4x(x²+1))/(x²-1)³

à :

f ''(x) = -2x(x²-1)-2(x²+1))/(x²-1)³

...Comment es-tu parvenu à simplifier le produit "4x" devant la seconde parenthèse du numérateur ?

Posté par
cailloux Correcteurre : (Double) dérivation 23-08-07 à 16:33

Bonjour,

Je le réécris en \LaTeX:

f'(x)=-\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}

f''(x)=-\frac{2x(x^2-1)^2-4x(x^2-1)(x^2+1)}{(x^2-1)4}=-\frac{2x(x^2-1)\left[x^2-1-2(x^2+1)\right]}{(x^2-1)^4}=-\frac{2x(-x^2-3)}{(x^2-1)^3}=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}

Posté par Melandine (invité)re : (Double) dérivation 23-08-07 à 16:47

Merci cailloux, c'est nettement mieux J-P, tu as ainsi mis "2x(x²-1)" en évidence... C'était donc ça. ^^

Pour moi c'est bon, j'ai refait le calcul et je suis arrivée au résultat escompté.

Merci à tous !


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