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droite d 'euler
soit ABC un triangle non aplati,A' le milieu de [BC],G son centre de gravité,Hson orthocentre,et O le centre de son cercle circonscrit,qu'on appellera lui-même C.soit D le symétrique de A par rapport à O.
1/réaliser soigneusement la figure.
2/justifier que D appartient à C.
3/(a)/rappeler la proprièté vérifiée par un triangle inscrit dans un cercle dont un coté est le diamétre de ce cercle.
(b)/démontrer que(AB)perpendiculaire à (BD)et que (AC) perpendiculaire à (CD).
4/(a)/rappeler la proprièté vérifiée par deux droites perpendiculires à une même troisième.
(b)/après avoir rappelé la définition d'un parallélogramme,démontrer que BHCD est un parallélogramme.
(c)/après avoir rappelé une proprièté des diagonales d'un parallélogramme,démonter que A' est le milieu de [HD].
5/(a)/rappeler la position du centre de gravité d'un triangle sur chacun des médianes.
(b)/démontrer que G est le centre de gravité du triangle AHD.
6/en utilisant le triangle AHD,démontrer que O,H et G sont alignés.
bonjour,
sache tout d'abord que ce site est un échange entre des élèves et des bénévoles et qu'il est donc d'usage de faire preuve d'un peu de convivialité. Bonjour, svp, merci font partie du vocabulaire utilisé.
Sache aussi que nous ne sommes pas là pour faire le travail à ta place mais pour t'aider.
Il me semble par exemple que tu ne devrais avoir besoin de personne pour répondre aux questions 2) et 3a) 3b) et 4).
4c) dans le cas présent, la propriété caractéristique du parallélogramme qui convient est la suivante:
un quadrilatère qui a ses côtés opposés parallèles 2 à 2.
comme tu as démontré que (DC) est perpendiculaire à (AC); donc parallèle à la hauteur issue de B et que (BD) est perpendiculaire à (AB) donc parallèle à la hauteur issue de B, que ces 2 hauteurs se coupent en H, BHCD est donc n quadrilatère répondant à la définition du parallélogramme, telle que je te l'ai rappelée.
et comme les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leurs milieux, tu sauras bien en déduire que A' est le milieu de [HD].
5a) G est à l'intersection des médianes et sa position sur les médianes est telle que
AG=2/3AA' et pareil sur les 2 autres médianes
5b) dans le triangle AHD
A' est le miieu de [HD] donc (AA') est médiane dans ce triangle.
O est le milieu de (AD) donc (HO) est médiane dans ce même triangle.
Compte tenu de la position d'un centre de gravité d'un triangle sur les médianes, le point G sera forcément centre de gravité du triangle AHD et comme (HO) est une autre médiane de ce triangle, (HO) passera forcément par le centre de gravité G et par conséquent les points H;O;G sont alignés.
Et c'est cette droite que l'on appelle la droite d'Euler (c'est un mathématicien suisse du 18ème siècle)
Bonjour, j'ai exactement le même devoir à faire, mais je ne comprend pas comment faire pour prouver la 3.b) ! et la propriété de la 3.a) est elle : si un triangle est inscrit dans un cercle ayant un coté pour diamètre alors ce triangle est rectangle ? Car je ne vois pas l'utilité de donner cette propriété pour resoudre la 3a) merci beaucoup !
Bonjour
puisque D est le symétrique de A par rapport à O, centre du cercle circonscrit, AD sera diamètre du cercle, et par conséquent tu sais qu'un triangle (ABD ici) dont le centre du cercle circonscrit est au milieu de l'un des côtés est un triangle rectangle,la droite sur laquelle est ce centre étant l'hypoténuse.
En B on a donc bien una angle droit
Salut!
J'ai le même exercice, j'aurai besoin d'aide svp.. Je ne vois pas comment justifier le fait que D appartient à C ..
Merci d'avance..
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