Bonjour,
Je tente une réponse un peu hasardeuse, masi bon, qui ne tente rien n'a rien .
1- A > A A AAA > AAAAA AAAAA AAA > ASA ASA ASA A > A (j'ai mis des espace pour une meilleur lisibilité mais ce sont bien des mots)
2- S > S S AAA > S S SA > SSSA > AA > AA AA AAA > ASA AAA > AAA > AAA AAA AAA > ASA ASA A > A
3- Le but de cette question, est de vérifier que l'on peut toujours enlever les S... Dès que l'on a  ASA, le S peut-être supprimé, il faut donc avoir un S a coté d'un autre S pour que celui ci ne soit pas supprimé soit ...SS... si l'on a un S a coté, il y a trois S, donc ce triplet sera supprimer, donc des S sont enlevé, ainsi il faut que l'on ais ....ASSA... si l'on a un A a coté de ce groupe, on arrive a SSS ce que l'on ne veux pas... donc l'on a SASSAS avec des S au extremité sinon les groupes sont supprimés. (en remarquand que si l'on se limite a ASSA, SS, S ou SASSAS ils sont tous très facilement supprimable en appliquand la première règle et en attaquand les S par la fin du mots ) .
En répettant cette opérations on remarque que le l'on arrive a un mots cyclique ...SASSASSASSASSASSASS... qui ne peut être attaquer que si il est fini. Comme le mots est fini, on peut enlever tout les S.
Donc il n'existe pas de mots avec lequel l'on ne puisse arriver a des mots ne contenants que des A.

Appelons (1 ), (2), (3) et (4) les règles utilisées et NA une chaîne de N A consécutifs

1)On part de A
en appliquant (1) on obtient AAAAA puis de nouveau (1) on obtient alors AAAAAAAAAAAA soit 13A

Quand on a AAAA on peut remplacer les deux A du milieu par S on obtient ASA que l'on peut supprimer en utilisant (3) Appelons cette règle (5)

Donc 13A peut être ramené à 9A
en appliquant (2) à toutes les paires de A en partant de la gauche on obtient SSSSA
En appliquant (4) avec les 3 premiers S on obtient SASA
Il n'y a plus qu'à appliquer (3) sur les 3 dernières lettres pour obtenir S

On peut donc mettre S dans le dictionnaire

2 On part de S
(1) SSAAA
(2) SSSA
(4) AA

(1) AAAAAAA
(5) AAA
(1) AAAAAAAAA
(5) AAAAA
(5) A

On peut donc mettre A dans le dictionnaire

3)
Soit X une chaîne quelconque

(1) XXAAA
(1) XXAAAXXAAAAAA
(1) XXAAAXXAAAAAAXXAAAXXAAAAAAAAA

On obtient une chaîne C constituée d'une chaîne Y suivie de la chaîne 9A

Regardons ce qui se passe pour les deux dernières lettres de Y

1 si Y=ZAA alors C est constituée d'une chaîne Z suivie de la chaîne 11A
2 si Y=ZAS  alors
C=ZAS 9A   on applique (2) deux fois
C=ZAS SS 5A  on applique (4)
C=ZA 5A 5A=Z11A

3 si Y=ZSA alors
C=ZSA 9A
C=ZS SS 6A
C=Z 12A

4 si Y=ZSS alors
C=ZSS 9A
C=ZSSS 7A
C=Z14 A

Dans tous les cas la chaîne Y a été réduite de deux lettres et on a toujours au moins 9A à la fin

De proche en proche on peut réduire la chaîne Y de deux en deux jusqu'à ce quelle disparaisse.  Si la chaîne comportait un nombre impair de lettres si la lettre de gauche est un A on a plus que des A.
Si c'est un S on applique (2) sur les deux premières paires de A la chaine commence alors par SSS suivie de A, on applique (4) et le tour est joué

Bonsoir Monrow

Je trouve l'énigme intéressante, mais en fait avant de me lancer dans sa réolution  j'ai une petite question à propos de l'énoncée et vue qu'apparament tu regardes pas ta boite mail, je vais me permettre de la poser ici en éspérant que tu me répondes par mail:
Dans les cas où on a sss à la fin d'un mot la dernière regle nous permettra-elle de les supprimer

merci d'avance .

Question 1:
A donne AAAAA par la règle 1
AAAAA donne (13A) par la règle 1
(13A) donne AAAASSSAAA par la règle 2
AAAASSSAAA donne (10A) par la règle 4
(10A) donne ASA ASA AA par la règle 2
ASA ASA AA donne AA par la règle 3.
AA donne S par la règle 2.

Question 2:
S donne SSAAA par la règle 1
SSAAA donne SSSA par la règle 2
SSSA donne AA par la règle 4
AA donne A (7 fois) puis A (17 fois) par la règle 1
A (17 fois) donne ASA ASA ASA ASA A par la règle 2
ASA ASA ASA ASA A donne A par la règle 3.

Question 3:
On considère les différentes successions de S les plus à droite dans un mot.

1. On peut déjà démontrer que toute succession de 3S et plus peut être réduit à moins de 3S. Si ces S terminent le mot on utilise la règle 1 pour y ajouter 3A.
L'application successive de la règle 4 permet alors d'obtenir un mot qui se termine par 1 ou 2 S suivi par au moins 6A.
Exemple avec 4S à la fin .
XA(4S) donne XA(4S) XA(4S)AAA par la règle 1
XA(4S) XA(4S)AAA donne XA(4S) XAS (6A).

Si le mot se termine par AS (AA…), on peut supprimer le S par la règle 3.
Si le mot se termine par ASS (AA..), on supprime des S par application de la règle 2 , ce qui donne ASSS (AA..), puis par la règle 4 (AAA..).

2. En cas de succession de deux S. Si à droite il y a 3 A ou plus, on applique la règle 2, puis la règle 4, pour n'obtenir que des A. S'il y a moins de 3A, on applique avant la règle 1, pour être ramené au cas précédent.

3. En cas de S seul. Si à droite il y a 5 A ou plus, on applique deux fois la règle 2, puis la règle 4, pour n'obtenir que des A. S'il y a moins de 5A, on applique avant la règle 1 une ou deux fois, pour être ramené au cas précédent.

En résumé, il est toujours possible d'éliminer tous les S d'un mot à partir de la droite.

Il est donc possible d'obtenir un mot qui ne comporte que des A à partir d'un mot quelconque.

Re

Ma réponse sera oui pour toutes les questions et voici les démos :
je notrai les regles respectivement a,b,c et d

1) A (regle a)--> 5A (regle a)--> 13A (regle b)--> SSS SSSA (regle d)--> SSSAA (regle b)--> S SSS (regle d)--> S d'où le passage de A à S.

2) S (regle a)--> SSAAA (regle b)--> SSSA (regle d)--> AA (regle a)--> 7A (regle b)--> ASSS (regle d)--> A d'où le passage de S à A.

3)soit X un mot quelconque contenant au moins un S:
X (regle a)--> XXAAA (regle a)--> XXAAAXX6A on pose Y=XXAAAXX (regle a)--> Y6AY9A soit Z=Y6AY on obtient donc un passage de X à Z9A

Z contient plus qu'un S donc peut s'écrire sous la forme Z = Z'S(nA) n
on obtient donc:
Z9A --> Z'S(n+9)A (regle b)-->Z'SSS(n+5)A (regle d)--> Z'(2n+10)A

on peut remarquer facilement que le nombre de A à la fin du mot augmentera à chaque fois qu'on utilise cette procédure, ce qui rends l'illiminations consécutive des S de gauche à droites toujours possible.

D'ou le passage d'un mot quelconque à un mot constitué uniquement de A est toujours possible.

merci pour l'énigme .

Bonjour monrow

1) En partant de A on peut arriver à S :

A
AAAAA (Règle 1)
AAAAAAAAAAAAA (Règle 1)
SSSSSSA (Règle 2)
SSSAA (Règle 4)
AAAA (Règle 4)
SS (Règle 2)
SSSSAAA (Règle 1)
SAAAAAA (Règle 4)
SSSS (Règle 2)
S (Règle 1)

2) En partant de S on peut arriver à A :

S
SSAAA (Règle 1)
SSSA (Règle 2)
AA (Règle 4)
AAAAAAA (Règle 1)
ASAAAA (Règle 2)
AAA (Règle 3)
AAAAAAAAA (Règle 1)
ASAASAA (Règle 2)
A (Règle 3)

3) En partant d'un mot quelconque, on peut arriver à un mot qui ne comporte que des A :

En utilisant la règle 1 trois fois, on obtient un mot terminé par 9 A.
Or si un mot est terminé par au moins 8 A, on peut le transformer en un mot qui ne contient que des A.

Si le mot ne comporte pas que des A (auquel cas, c'est terminé) il s'écrit :

XSAAAA...AAAA  (les points représentant un nombre quelconque de A, éventuellement nul)

Ce mot devient :
XSSS...AAAA (Règle 2)

Puis :  
X...AAAA...AAAA (Règle 4)

C'est à dire un mot terminé par au moins 8 A et comportant un S de moins que le mot inital.
En recommençant, on élimine successivement tous les S du mot initial, de la droite vers la gauche. A la fin, il ne reste plus que des A.
CQFD


Cordialement
Frenicle

Merci Monrow pour cette énigme, que je trouve très dure!
Je pense avoir trouvé une solution.
Je présume que la règle 4 s'applique même si la syllabe SSS est suivie du vide. Autrement dit, si un mot se termine par SSS, on peut obtenir un nouveau mot en enlevant ces trois lettres.

Question 1: Le dictionnaire ne contient au départ que le mot A. En respectant les règles, on peut former la suite de mots:
AAAAA (5 A consécutifs) puis AAAAAAAAAAAAA (13 A consécutifs)
puis SSSASSS puis SSSA puis AA
puis S, qui peut donc être mis dans le dictionnaire.

Question 2: Le dictionnaire ne contient au départ que le mot S.
On forme la suite de mots SSAAA puis SSSA puis AA puis AAAAAAA (7A consécutifs)
puis ASSS puis A, qui peut donc être mis dans le dictionnaire.


Question 3:
On part d'un mot quelconque dans le dictionnaire.
On lui applique la règle  3 tant qu'on le peut.
On crée donc un mot P1,Q1,P2,Q2,..,Pn-1,Qn-1,Pn, où P1, ..Pn sont des suites de S et Q1,..Qn-1 des suites de A.
Les suites P2,..,Pn-1 comportent au moins 2 S . P1 et Pn sont des suites de S éventuellement vides.
Chaque suite Qi comporte au moins un A.
Si  certaines suites Pi comportent plus de 3 S, on remplace les 3 S les plus à droite de celle de ces suites qui est le plus à droite par ce qui la suit dans le mot, en application de la règle 4. On diminue ainsi de proche en proche la longueur des suites Pi jusqu'à ce qu'elles ne comportent pas plus de 2 S.

On applique la règle 1.
On crée le mot P1,Q1,P2,Q2..,Pn-1,Qn-1,Pn,P1,Q1,P2,Q2,.,Pn-1,Qn-1,Pn,A,A,A.
Il peut y avoir une simplification si un S apparaît entre 2 A.
Cela peut créer une séquence SSS, que l'on fait disparaître comme précédemment à l'aide de la règle 4.
De toute façon, on crée un mot de la forme
R1,S1,R2,...Rl,Sl où R1,...Rl sont des suites de S; R1  a 0,1 ou 2 éléments et les autres Ri à exactement 2 éléments, S1..Sl des suites de A, Sl comportant au moins 2 éléments.
On applique encore un coup la règle 1, créant un mot terminé par au moins 5 A.
Après application éventuelle des règles 2 ,3 et 4, on crée un mot de la forme
T1,U1,T2,...Tk,Uk où T1,..Tk suites de S (T2,..,Tk comportent chacune 2 éléments) et U1,..Uk suites de A, Uk comportant au moins 4 A.
Tk comporte exactement 2 S. On leur adjoint les deux A qui le suivent, ce qui fait apparaître le groupement SSS. En appliquant la règle 4, on crée un nouveau mot, en remplaçant Tk,Uk par E' suite de A comportant au moins 4 A.
On réitère jusqu'à T2, créant ainsi un mot de la forme T1,G, où G est une suite de A comportant au moins 5 A.
Si T1 est vide, c'est terminé.
Si T1 comporte 2 S, on les associe aux 2 A qui suivent. On remplace le SSS obtenu par les A qui le suivent. C'est terminé.
Si T1 comporte un seul S, on le regroupe avec les 4 A qui le suivent. On remplace  le SSS obtenu par les A qui suivent.

Je ne suis pas allé à fond dans les détails mais il me semble bien qu'on peut conclure:
En partant d'un mot quelconque du dictionnaire, on peut construire un mot ne contenant que des A.

Dur!dur!
Bonne nuit!

bonjour,
1) passer de A à S

ma technique :former en utilisant les règles  une chaine de 14 A

A-R₁->AAAAA-R₁->(AA)(AA)(AA)AAAAAAA-
R₂->SSSAAAAAAA-R₄->(AAAA)(AAAA)(AAAA)AA-R₃->AA->S

2)passer de S à A

ma technique:former en utilisant les règles une chaine de 9 A
S-R₁->SSAAA-R₂->SSSA-R₄->AA-R₁
->(AAAA)AAA-R₃->AAA-R₁->
AAAAAAAAA-R₂etR₃->A

3)partant d'un mot quelconque peut-on arriver à un mot ne comportant que des A
soit un mot quelconque,on peut éventuellement en simplifier l'écriture
*tout suite SSS peut etre remplacée par une suite ne comportant aucun triplet de S (on commence par éliminer la suite SSS la plus à droite du mot)
** de même tout groupement ASA peut être supprimé (R₃)
*** toute suite de A peut se ramener à A ou à AA c'est à dire S

tout mot peut donc se ramener à l'une des formes suivantes:
a) S(ASS)(ASS)(ASS).....(ASS)A une chaine de (ASS) avec éventuellement S en tête et A en queue


b) A(SSA)(SSA)(SSA).....(SSA)S une chaine de(SSA) avec éventuellement A en tête et S en queue
d'autre part
ASS->AAA soit AS ou SA
SSA->AA soit S
finalement je trouve que tout mot admet une écriture formée uniquement d'une suite de A( j'ai je l'espère étudié tous les cas possibles)

merci pour cette enigma,je pense que je devrais pouvoir améliorer la 3) mais je suis en vacances et il fait trés beau

Bonjour,

Je numérote les règles de 1 à 4 pour expliquer mes réponses.

1) A (1)-> AAAAA (2)-> SSA (1)-> SSASSAAAA (2)-> SSASSSAA (4)-> SSAAAAA (2)-> SSSAAA (4)-> AAAAAA (2)-> ASAS (3)-> S

2) S (1)-> SSAAA (2)-> SSAS (1)-> SSASSSASAAA (3)-> SSASSSAA (4)-> SSAAAAA (2)-> SSSAAA (4)-> AAAAAA (1)-> AAAAAAAAAAAAAAA (2)-> AAAAAAASSSAA (4)-> AAAAAAAAAAA (2)-> AAAAAAAASA (3)-> AAAAAAA (2)-> ASSS (4)-> A

3) Oui c'est possible.
A partir du moment où l'on a que des S, on peut arriver à avoir uniquement des A:
Peut importe le nombre de S, on peut toujours les réduire à 1, 2 ou 3 (règle 4)
Avec 1 S, on a vu que c'était possible.
Avec 2 S: SS (1)-> SSSSAAA (4)-> SAAAAAA (2)-> SSSAA (4)-> AAAA.
Avec 3 S: SSS (1)-> SSSSSSAAA (4)-> SSSAAAAAA (4)-> AAAAAAAAAAAA.

Et avec un mot quelconque, il y aura toujours moyen d'arriver à un mot composé uniquement de S.
AA donne S
ASA donne rien.
Il y aura toujours moyen de combiner les lettres pour arriver à des S.


Merci pour cette énigme.

Bonjour,

réponse 1 (de A vers S) :

A
AAAAA
SAAA
SAAASAAAAAA
SAAAAAAA
SSSSA
SASA
S

réponse 2 (de S vers A) :

S
SSAAA
SSSA
AA
AAAAAAA
AASAS
AS
ASASAAA
ASAA
A

réponse 3 (sans conviction) :

Puisqu'il s'agit d'un mot quelconque du dictionnaire, celui est à la base créé depuis la lettre A et par construction de mots successifs respectants les règles.
Puisqu'en partant de la lettre A il est possible d'arriver à lettre et inversement, j'en déduis qu'en partant d'un mot quelconque du dictionnaire, il est possible d'arriver à un mot ne comportant que les lettres A.

Monsieur Larousse

Présentation

On dispose d'un alphabet contenant 2 lettres : A et S
On dispose de 4 règles de base permettant de générer de nouveaux mots à partir d'un mot donné :
(X et Y correspondent à des chaines de longueur quelconque -éventuellement nulle- composées de caractères A et S)



Problème

1) Peut on obtenir S à partir de A ?
2) Peut-on obtenir A à partir de S ?
3) Peut-on obtenir un mot composé uniquement de A à partir d'un mot quelconque ?

Synthèse

1) Il est équivalent d'accepter ou de refuser d'inclure le mot vide dans le dictionnaire
2) La réponse est OUI aux trois questions posées

Développements

Les notations

On note « A » une syllabe composée de n fois la lettre A. De même pour « S »
On appelle motA tout mot ou toute syllabe non vide de la forme A . Si cette syllabe est en fin de mot, on l'appelle motA terminal.

On note « X (Rx) Y » la transformation du mot X en le mot Y par la règle Rx (sans toutefois expliciter sur quelle syllabe s'effectue cette transformation).
On note « X (p*Rx) Y » cette transformation effectuée successivement p fois.
On note « X=Y » le fait que « X » et « Y » sont deux représentations du même mot.

De nouvelles règles


XA_{6}Y=XA_{2}A_{2}A_{2}Y\rightarrow\text{(3*R2)}XS_{3}Y\rightarrow\text{(R4)}XYY









Ces trois dernières règles montrent que l'on peut, à condition qu'un mot se termine par un nombre suffisant de A, réduire ce nombre de A de 1, 2, ou 3 unités. Associées à R5, elles permettrons de réduire tout motA terminal de longueur suffisante en un motA de longueur 1, 2 ou 3.

Le mot vide

En appliquant R3 au mot ASA, on obtient un mot de longueur 0. Doit-on l'accepter ?
Avec les règles définies, il n'existe que deux mots à partir desquels on peut obtenir le mot vide : ASA et SSS
Avec les règles définies, il n'y a qu'un seul mot qu'on puisse déduire du mot vide : en appliquant R1, on obtient AAA
On va voir qu'on peut obtenir ce mot AAA à partir de ASA ou SSS sans passer par le mot vide :



Donc accepter la chaine vide dans le dictionnaire revient uniquement à obtenir AAA de manière plus rapide à partir de ASA ou SSS.

Les MotA

On va voir qu'on peut obtenir n'importe quel motA à partir de n'importe quel autre motA.
· de tout motA de longueur l non nulle, on peut obtenir un motA de longueur supérieure à n'importe quel nombre donné
En appliquant successivement R1 au mot A initial, on obtient une suite de motA de longueurs u suivant la loi géométrique :
pour
De manière plus générale, on appliquant successivement R1 sur un motA de longueur l, on obtient les motA de longueurs : v=l,
· On peut obtenir A de tout motA suffisamment grand
Pour p 0 :





· Tout mot peut être obtenu à partir d'un motA
Soit X un mot quelconque, considérons le motA Y obtenu en remplaçant tout S de X par AA. En appliquant R2 à Y sur toutes les paires SS ajoutées, on obtient à nouveau X.

Les deux premières réponses

Comment obtenir S à partir de A ?



Comment obtenir A à partir de S ?



La dernière réponse

· On peut à partir d'un mot quelconque obtenir un mot qui se termine par une chaîne de longueur strictement supérieure à 8 de A

· Tout mot qui se termine par un nombre supérieur strictement à 8 de A peut être transformé en un motA
Soit , n>8,
Si X est la chaîne vide, le problème est résolu.
Sinon, X se termine par A ou S
Soit X=YA :
Soit X=YS :
Et dans les deux cas, nous obtenons un mot Y strictement plus court que X, prolongé par une chaîne de A de longueur toujours strictement plus grande que 8.
Donc en appliquant la méthode successivement, on obtient une suite de mots Y de longueur strictement décroissante, donc la suite est finie.

Bonjour,

J'espère que mes explications seront assez claires (et surtout pas fausses).

1. Pour passer de "A" à "S"
règle 1 : on ajoute "XAAA" à "X" : A > AAAAA
règle 1 : on ajoute "XAAA" à "X" : AAAAA > AAAAAAAAAAAAA
règle 2 : on remplace cetains "AA" par "S" : AAAAAAAAAAAAA > ASASSSAS
règle 4 : on remplace "SSS" par "AS" qui suit : ASASSSAS > ASAASAS
règle 3 : on supprime les "ASA" : ASAASAS > S

2. Pour passer de "S" à "S"
règle 1 : on ajoute "XAAA" à "X" : S > SSAAA
règle 2 : on remplace cetains "AA" par "S" : SSAAA > SSSA
règle 4 : on remplace "SSS" par "A" qui suit : SSSA > AA
règle 1 : on ajoute "XAAA" à "X" : AA > AAAAAAA
règle 1 : on ajoute "XAAA" à "X" : AAAAAAA > AAAAAAAAAAAAAAAAA
règle 2 : on remplace cetains "AA" par "S" : AAAAAAAAAAAAAAAAA > ASAASAASAASAA
règle 3 : on supprime les "ASA" : ASAASAASAASAA > A

3. Pour créer un mot ne comportant que des A
> Avec les règles 2 et 3, en éliminant les séquences "ASA" et en remplaçant les "AA" par des S,
on peut obtenir à partir de n'importe quel mot un mot ne comportant jamais 2 A consécutifs.
> Ensuite, en utilisant 2 fois la première règle, on peut créer un mot comportant 6 A en fin de mot.
(ou même 7 si le mot initial "purgé" se termine par SSA).
> On a donc un mot sans 2 A consécutif, sauf les 6 ou 7 derniers (on élimine un éventuel "AA" créé en milieu de mot par un S)
> Il suffit ensuite de changer 2 des A finaux pour avoir une séquence de 3 S à la fin qu'on remplace par les A finaux restant.
En effet, un S ne peut pas être isolé entre 2 A car la séquence "ASA" aura précédemment été éliminéé, ils se retrouvent donc par groupe de 2 ou 3
> On remonte ainsi la chaîne en remplaçant à chaque fois les 3 derniers S par les A finaux, en créant précédement un S si besoin.

Illustration avec le mot XSSAAA : on applique la séquence :
XSSAAAAAA
XSSSAAAAA
XAAAAAAAAAA

On se rend compte que le nombre de A finaux a augmenté, donc on ne manquera jamais de A pour créer les S nécessaire.

Il est donc possible, en partant d'un mot quelconque du dictionnaire, d'arriver à un mot qui ne comporte que les lettres A. _{(ouf! laborieux)}

Salut à tous !

1) On ne peut former S avec A, car on ne peut obtenir un nombre impair de A (2x+3)...c'est un cercle vicieux
2) S -> SSAAA -> SSSA -> A
3)Oui, car on peut toujours obtenir un nombre de A pour former SSS ou ASA à la fin du mot...on obtient à la fin un nombre impair de A.

matovitch

ENIGME CLOTUREE

Je félicite vivement dhalte pour son raisonnement très détaillé ...

Enigme abordable si on s'y met un peu ... y a juste la 3ème question qui était un peu moins dure

Merci à tout le monde

bonsoir,
personnellement j'ai trouvé la 1) et la 2) très simples mais la 3) moins facile à expliquer

La démonstration de Frenicle est lumineuse!

> rogerd
Merci