Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques EnigmesTentez votre chance à l'énigme du jour pour gagner le concours mensuel... 2 *Les énigmes faciles [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau 2 *
Partager :

Enigme de clemclem 11**

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 22-12-04 à 11:12

Bonjour à tous,

Voici l'énigme du mercredi 22 ( bientôt noël ) :

Simplifiez au maximun cette expression :

sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)

Vous trouvez le résultat le plus simple possible et vous expliquerez votre raisonnement...

Bonne chance à tous

Clotûre le 25.

Posté par ametist (invité)ok pas trop dur en fait ! 22-12-04 à 11:55

gagnéE=sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)
je vais utiliser cos^2(x)+sin^2(x)=1
donc sin^4(x)=(sin^2(x))^2=(1-cos^2(x))^2
et   2sin^2(x)+4cos^2(x)=2+2cos^2(x)
donc l'Expession E vaut
E=1-2cos^2(x)+cos^4(x)-cos^4(x)+2+2cos^2(x)

d'où       E=3

on peut verifier avec des valeurs quelconques et ça marche !

Posté par alexandra-cloez (invité)heu... 22-12-04 à 11:57

perduSalut!!!c'est un peu trop dur pour moi mais bon je dirais: 0.  C'est ça?? chao

Posté par
lolo5959re : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 12:17

gagnéCette belle petite expression est égale à 3

En effet:
sin^4(x)=(sin^2(x))^2
        =(1-cos^2(x))^2
        =1-2cos^2(x)+cos^4(x)

2sin^2(x)=2(1-cos^2(x))
         =2-2cos^2(x)

Je remets ces 2 expressions dans la formule de départ, on obtient alors:
sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)
=1-2cos^2(x)+cos^4(x)-cos^4(x)+2-2cos^2(x)+4cos^2(x)


Les termes en italique s'annulent ainsi que les cos^4(x).

On a alors:
sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)=1+2=3.

J'ai essayé d'être le plus clair possible mais je ne manie pas le Latex, donc dur dur...

Posté par pietro (invité)re : Enigme de clemclem 11 22-12-04 à 12:37

Cette expression vaut 3.
En effet, elle vaut :
(sin²(x)-cos²(x)).(sin²(x)+cos²(x))+2.sin²(x)+4.cos²(x)  or la 2e ( ) vaut 1
= sin²(x)-cos²(x)+2.sin²(x)+4.cos²(x)
=3.sin²(x)+3.cos²(x)
=3.(sin²(x)+cos²(x))
=3.1
=3

Posté par
Ksilverre : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 13:04

gagnésin(x)^4-cos(x)^4+2sin(x)²+4cos(x)²
=(sin(x)²+cos(x)²)(sin(x)²-cos(x)²)+2sin(x)²+4cos(x)² (identité remarquable a²-b²)

=sin(x)²-cos(x)²+2sin(x)²+4cos(x)²       (on utilise sin²+cos²=1)

=3sin(x)²+3cos(x)²
=3

je pense pas qu'on puisse trouver plus simple que 3 comme expresion.

Posté par
isisstruissre : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 13:49

gagnéUtiliser sans modération cos^2(x)+sin^2(x)=1 et les identités remarquables.

\sin^4(x)-\cos^4(x)+2\sin^2(x)+4\cos^2(x)
=\big(\sin^2(x)-\cos^2(x)\big)\big(\sin^2(x)+\cos^2(x)\big) +2\big(\sin^2(x)+\cos^2(x)\big)+2\cos^2(x)
=\sin^2(x)-\cos^2(x)+2+2\cos^2(x)
=\sin^2(x)+\cos^2(x)+2
=3

Posté par
Nofutur2re : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 13:52

gagnéJ'ai fait le pari que l'expression était une constante .
Soit f(x) = sin4(x) - cos4(x) + 2 sin2(x)+ 4 cos2(x).
f'(x) = 4 sin(x) cos(x)[sin2(x)+cos2(x)]+4 cos(x) sin(x) -8 sin(x) cos(x)=
4 sin(x) cos(x)+4 sin(x) cos(x)- 8sin(x) cos(x)=0
f(x) est donc constante, donc
f(x) = f(0)=-1+4  .
f(x)= 3

Posté par
noluckre : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 13:57

perduon trouve 2 en factorisant sin4x-cos4x grace a l identite remarquable et en utilisant cos2x+sin2x=1.

Posté par gilbert (invité)re : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 14:57

gagnésin4x - cos4x + 2sin2x + 4cos2x= (cos2x + sin2x)(sin2x - cos2x) + 2sin2x + 4cos2x = 3sin2x + 3cos2x = 3
L'expression est égale à 3.

Posté par
Ptit_belgeRe: Enigme de clemclem 11 22-12-04 à 15:43

gagnéBonjour,

Soit E l'expression à simplifier. Je trouve E=3

Explication:

sin4(x)-cos4(x) = sin2(x)-cos2(x)
d'autre part, 2sin2(x)+4cos2(x) = 2 + 2cos2(x)

Donc, E = sin2(x)-cos2(x) + 2 + 2cos2(x) = sin2(x)+cos2(x) + 2 = 3

Posté par papé (invité)re : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 15:48

gagnéBonjour
sin^4x-cos^4x+2sin^2x+4cos^2x=
(sin^2x-cos^2x)(sin^2x+cos^2x)+(2sin^2x+2cos^2x)+2cos^2x=
(sin^2x-cos^2x)(1)+(2)+2cos^2x=
sin^2x+cos^2x+2=1+2=3

Posté par
Lopezre : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 15:57

gagnéBonjour,

A = sin^4(x) - cos^4(x) + 2sin^2(x) + 4cos^2(x)
  = ( sin^2(x) - cos^2(x) )( sin^2(x) + cos^2(x) ) + 2sin^2(x) + 4cox^2(x)
  = sin^2(x) - cos^2(x) + 2sin^2(x) + 4cos^2(x)  car sin^2(x) + cos^2(x) = 1
  = 3sin^2(x) + 3cos^2(x)
  = 3

Posté par daniel12345 (invité)Enigme de clemclem 11 22-12-04 à 16:05


sin^2(x)=1-cos^2(x) \\ \\   donc   sin^4(x)=1-2cos^2(x)+cos^4(x)

Posté par daniel12345 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 16:25


désolé j'ai effectué un envoi prématuré du précédent message
(1) sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)

sin^2(x)=1-cos^2(x)

d'ou sin^4(x)=1-2cos^2(x)+cos^4(x)

l'expression (1)  devient 1-2cos^2(x)+cos^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)

en simplifiant on obtient :1+2sin^2(x)+2cos^2(x)

d'ou resultat final 1+2(sin^2(x)+cos^2(x))=3

Posté par
franzre : Enigme de clemclem 11** 22-12-04 à 18:06

gagné\large \array{ccl$ \sin^4x - \cos^4x + 2\sin^2x + 4 \cos^2x & = & \(\sin^2x\)^2 - \(\cos^2x\)^2 + 2\sin^2x+ 4 \cos^2x \\ \vspace{5} \\ & = & \relstack {\underbrace {\(\sin^2x +\cos^2x \)}}{1} \(\sin^2x-\cos^2x \) + 2\sin^2x+ 4 \cos^2x \\ \vspace{5} \\ & = & 3\sin^2x + 3 \cos^2x

               \Large \array{|c300|$\hline \vspace{5} \\ {\sin^4x - \cos^4x + 2\sin^2x + 4 \cos^2x = 3} \\ \vspace{5} \\\hline}

          

Posté par
etienneJ ai la réponse ! 22-12-04 à 19:18

gagnéBonjour,

Voici ma solution : 3 (j'ai pas réussi à copier les détails du calcul mais la formule principale est : cosinus carré de x + sinus carré de x = 1).

Bonne soirée

Posté par ericbfd (invité)re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 00:08

gagnéLa forme la plus simple est : 3

Mon raisonnement est le suivant:
sin4(x) - cos4(x) + 2sin2(x) + 4cos2(x) =
sin4(x) - cos4(x) + 2[sin2(x) + cos2(x)] + 2cos2(x) =
sin4(x) - cos4(x) + 2cos2(x) + 2 =
(puisque sin2(x) + cos2(x) = 1)

En remplaçant cos2(x) par 1 - sin2(x), on obtient:
sin4(x) - [1 - sin2(x)]2 + 2[1 - sin2(x)] + 2 =
sin4(x) - 1 + 2 sin2(x) - sin4(x) + 2 - 2sin2(x) + 2 = 3

Posté par pinotte (invité)re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 02:19

gagnésin^4(x) - cos^4(x) + 2sin^2(x) + 4cos^2(x)
\Longleftrightarrow (sin^2(x))^2 - (cos^2(x))^2 + 2sin^2(x) + 4cos^2(x)
\Longleftrightarrow (\frac{1 - cos(2x)}{2})^2 - (\frac{1 + cos(2x)}{2})^2 + 2(\frac{1 - cos(2x)}{2}) + 4(\frac{1 + cos(2x)}{2})
\Longleftrightarrow \frac{1 - 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} - \frac{1 + 2cos(2x) + cos^2(2x)}{4} + (1 - cos(2x)) + 2(1 + cos(2x))
\Longleftrightarrow \frac{-4cos(2x)}{4} + 3 + cos(2x)
\Longleftrightarrow -cos(2x) + 3 + cos(2x)
\Longleftrightarrow 3

Alors cette expression est équivalente à 3! Pour ce qui est des explications, si la démonstration n'est pas suffisante, bah... il suffit de remplacer cos^2(x) et sin^2(x) par des identités trigonométriques équivalentes! Tout se simplifie par la suite.

Posté par mikemikemike (invité)re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 11:41

gagnésin4x-cos4x+2sin2x+4cos2x
=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sin2x+4cos2x
=(sin2x-cos2x)1+2sin2x+4cos2x
=3sin2x+3cos2x=3(sin2x+cos2x)
=3

Posté par
Archange21re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 12:53

gagnéSalut a tous !!,

En remplaçant  sin^2x  par  1-cos^2x  on obtient, sauf erreur de ma part:

(1-cos^2x)(1-cos^2x)-cos^4x+2(1-cos^2x)+4cos^2x
=1-cos^2x-cos^2x+cos^4x-cos^4x+2-2cos^2x+4cos^2x
=3+cos^4x-cos^4x-2cos^2x-2cos^2x+4cos^2x
=3-4cos^2x+4cos^2x
=9$3

Voilà.bon je vous souhaite à tous un joyeux noêl!!!
Allez, @+

Posté par DivXworld (invité)re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 13:23

gagnéon sait que :
sin2()=(1-cos(2))/2
cos2()=(1+cos(2))/2

donc :
sin4()-cos4()
=((1-cos(2))/2)2-((1+cos(2))/2)2
=[(1+cos2(2)-2cos(2))-(cos2(2)+1+2cos(2))]/4
=(-4cos(2))/4
=-cos(2)


de plus :
2sin2()+4cos2()
=2[sin2()+cos2()]+2cos2()
=2+(1+cos(2))
=3+cos(2)



donc :
sin4()-cos4()+2sin2()+4cos2()
=-cos(2)+3+cos(2)
=3

Posté par MPSI-1 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 23-12-04 à 22:35

gagnésin^2(x)+cos^2(x)=1
d'où 2sin^2(x)+2cos^2(x)=2
et 2sin^2(x)+4cos^2(x)=2+2cos^2(x)
de plus sin^4(x)-cos^4(x)=sin^2(x)-cos^2(x)=1-2cos^2(x)
par somme on obtient: sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)=2+1=3


réponse: sin^4(x)-cos^4(x)+2sin^2(x)+4cos^2(x)=3

Posté par somarine (invité)re : Enigme de clemclem 11** 24-12-04 à 17:36

gagnéBonjour,

on utilisera la propriété qui dit que
sin2(x)+cos2(x)=1

sin4(x)-cos4(x)+2sin2(x)+4cos2(x)
=
sin4(x)-cos4(x)+2sin2(x)+2cos2(x)+2cos2(x)
=sin4(x)-cos4(x)+2+2cos2(x) (grâce à la ppté)

Par ailleurs
a4-b4=(a²-b²)(a²+b²)

avec a=sin(x) et b=cos(x)

on a sin4(x)-cos4(x)=(sin2(x)-cos2(x))(sin2(x)+cos2(x))
= (sin2(x)-cos2(x)) d'après la ppté

Donc on a
sin2(x)-cos2(x)+2+2cos2(x)
=sin2(x)+cos2(x)+2
=1+2 (d'après la ppté)
=3

La réponse est 3
C'est bon?


Posté par bben_1 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 00:56

perdula quantité vaut en factorisant
(sin(x)²-cos(x)²) [car sin(x)²+cos(x)²=1]
ce qui equivaut a 1-2cos²(x) c est le resultat cherché.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 18:48

Bravo à tous,

J'espère que vous avez passer un bon Noël

Et à l'année prochaine pour ma prochaine énigme

A plus

Posté par
franzre : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 20:51

gagnéBonjour et joyeux Noël à tous,

Si je peux me permettre ( et spécialement en ce jour de Noël), je trouve que le poisson de daniel12345 est particulièrement sévère d'autant qu'il est facile de se tromper entre les deux boutons POSTER et Aperçu.

  


Je suggère qu'en dépit du règlement , les bien-aimés correcteurs de l' fassent preuve de clémence .

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 20:55

Bonjour franz,

Je savais qu'on allait me faire remarquer ce poisson...
Mais je suis désolé, je dois faire respecter le réglement du forum énigme à la lettre...

Désolé que ca soit tomber sur toi daniel12345.

A plus

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 20:57

De plus si on part du principe qu'il est facile de se tromper entre les deux boutons POSTER et Aperçu.
Il est aussi facile de se tromper en écrivant son message, on peut aussi facilement se tromper de touches sur son clavier...

Donc je me dois d'être impartial

A plus

Posté par daniel12345 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 21:28



   Bonsoir à tous et joyeux Noël

      Merci Franz pour ta remarque.

Posté par
franzre : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 22:18

gagnéJe me permets d'insister.

J'accepte la remarque qu'il est facile de se tromper en écrivant son message, mais on peut toujours relire. En revanche, il n'y a pas de garde-fou une fois qu'on clique sur poster.
Quand on veut faire un aperçu intermédiaire d'une formule \LaTeX, qui n'a rien d'évident dans la fenêtre de message, une confusion des touches est impardonnable. Or cela est manifestement ce qui s'est passé dans le cas du message de daniel12345.

Cela ne plaide pas pour une utilisation de \LaTeX, ce qui est à mon sens dommage surtout sur un site mathématique.

Ce n'est que mon avis. J'aimerais qu'il permette d'initier un débat sur une solution à ce genre d'erreur.

A bientôt.

Posté par Decdec71 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 25-12-04 à 23:51

Je ne sais pas si cela est bon, mais on va bien voir :

sin4x - cos4 + 2sin²x+4cos²x
= ( sin4x - cos4 ) + 2sin²x+4cos²x
= ( sin²x - cos²x ) ( sin²x + cos²x ) + 2(cos²x+sin²x) +2cos²x
= 1( sin²x - cos²x ) + 2 + 2cos²x    ( car (cos²x+sin²x)=1  )
= sin²x + cos²x + 2
= 3

J'espére avoir bon...

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 11** 26-12-04 à 13:41

Après quelques discutions avec le conseil des sages du forum :
Tu as droit à ton smiley daniel12345...

A plus

Posté par
franzre : Enigme de clemclem 11** 26-12-04 à 15:23

gagnéBravo aux conseil des sages pour l'intelligence de son jugement. Il est louable de savoir rester dans l'eprit de la loi sans s'enfermer dans des positions trop rigides.

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Enigme de clemclem 11** 26-12-04 à 15:32

Le conseil des sages porte bien son nom

A plus

Posté par daniel12345 (invité)re : Enigme de clemclem 11** 26-12-04 à 17:35



   Merci beaucoup a Franz et au conseil des sages.

       A bientôt.

Challenge (énigme mathématique) terminé .
Nombre de participations : 0
:)0,00 %0,00 %:(
0 0

Temps de réponse moyen : 13:22:00.

Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !