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Enigme récurrence
Bonjour, voici un exercice/une énigme de mon DM portant sur le raisonnement.
Quand Cunégonde joue aux cubes,elle commence par construire une succession de châteaux cubaines de petits cubes dont les dimensions vont en croissant pas a pa,chaque petit cube mesurant un centimètre d'arête.
Cunégonde installe ensuite ses châteaux cubiques les uns sur les autres,du plus grand au plus petit et obtient ainsi une construction de 78cm de hauteur. puis elle démolit le tout d'un coup de pied,et range alors sagement ses cubes dans une boîte carrée,plate,aussi petite que possible.
On demande ici la longueur de chaque côté de la boîte carrée de Cunégonde...
Merci d'avance
Bonsoir,
Commencez par déterminer combien de chateau sont nécessaires pour atteindre 78cm de haut. Sachant que la tour est composée par un château de 1cm, un chateau de 2cm, un chateau de 3cm, etc
Bonjour,
nota le mot "cubaine" en français n'a aucun rapport avec les cubes, mais avec les habitantes de Cuba
heureusement que c'est corrigé dans la suite du texte ("ses châteaux cubiques les uns sur les autres")
donc par exemple dans ce que je comprends, elle empile
un cube (un "château cubique") formé de 64 petits cubes (4 couches de 4x4 cubes)
puis un cube formé de 27 petits cubes (3 couches de 3x3 cubes)
puis un cube formé de 8 petits cubes (2 couches de 2x2 cubes)
puis un dernier cube isolé
cet empilement a une hauteur de 4 + 3 + 2 + 1 = 10 cubes, c'est à dire de 10 cm
et comporte 64 + 27 + 8 + 1 = 100 cubes
la boite la plus petite (encore faudrait-il s'entendre sur ce terme) pour contenir ces 100 cubes a pour dimensions 4x5x5 (cm)
ou 10x10x1 selon la compréhension du mot "plate"
(ceci dit le nombre de cubes en tout sera toujours un carré parfait, c'est peut être le but final de l'exo : prouver / observer que la somme des cubes successifs 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 est toujours un carré, remarque hors sujet ou pas ... qui sait)
bien entendu le problème consiste à aller au delà de ces 10cm d'exemple, puisqu'on demande pour 78cm de haut ...
salut
je dois avouer que je n'avais rien compris ... donc merci mathafou
en gros on construit donc une pyramide ... de cubes ... formés de petits cubes ...
oui, ce n'était pas clair et j'ai eu de mal à comprendre tout ça aussi.
à noter qu'il y a plein de trucs planqués dans cet exo sur les propriétés des nombres triangulaires (alias somme des entiers) et cubiques (alias cubes)
l'exo pouvant se faire à plusieurs niveaux :
- faire une somme d'une douzaine environ de nombres est accessible à un élève de collège !!
- ou avec des formules, des suites, et des récurrences (niveau affiché = Terminale)
je pense que au niveau Terminale l'exemple de 78 est un peu léger et que l'exo va se poursuivre par de bonnes démonstrations générales ...
ou la réalisation d'algorithmes.
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