k = 818m 119mm
Preuve :
Pour la notation, se referer à la figure.
N.B.: le point C' est le projeté orthogonal de C sur le cotès du carré.
De plus on pose r>9 le rayon du cercle, k le cotès du parc. on déduit les égalités suivantes :
k = 2r
OK = r
On considère les triangles :
C'CK, rectangle en C'
C'K = 9
C'C = 8
KC = (Théorème de Pythagore)
ET
tan() = tan() = = arctan()
OKC, quelquonque
OC = r
OK = r
KC =
ET
= - = - arctan()
D'après le théorème d'Al-Kashi :
Dans le triangle OKC :
OC² = OK² + KC² - 2 OK KC cos()
Par équivalence, grâce aux égalités sus-mentionnés et à des formules de trigonométrie de base on obteint :
r² - r 290(cos(arctan() + sin(arctan()) + 145
On obtient un polynomes du second degrès :
disriminant :
= 290²(cos(arctan()) + sin(arctan()))² - 4145
= 84100 (1 + sin(2 arctan())) - 580
167040,00000069281
Les 2 racines réels de ce polynomes sont donc :
r1 = 0.3544714484...
r2 = 409.0597442...
Seul r2 est conforme à la condition r>9
Donc r = 409.0597442m
Donc :
k = 818m 119mm
Clôture de l'énigme
La bonne réponse était : 58 mètres.
Une petite mise en équation du problème conduit à une équation du 2nd degré, où on trouve comme solution pour le rayon du cercle 5 ou 29.
Pour trouver le côté du carré, il faut multiplier ces valeurs par 2 (certains vont s'en vouloir d'avoir oublié ça !).
En ce qui concerne la 2ème solution, 10 mètres, elle correspond à une autre situation que celle décrite par le dessin, où les distances données seraient celles par rapport aux murs opposés à un coin.
Ceux qui m'ont donné les 2 solutions ont bien parlé de ce "problème", donc j'ai accepté les réponses.
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